1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Сначаламы будем исследовать полуоднородную задачу (10.1), а в лекции 12 вернемся к решениювторой полуоднородной задачи (10.2).Функции, удовлетворяющие однородному граничному условию, образуют линейное пространство, потому что если две функции удовлетворяют однородному условию,то и их линейная комбинация удовлетворяет тому же условию. Пространство превращается в гильбертово, если ограничиться разумными функциями и задать скалярноепроизведение. Напомним, что гильбертово пространство — это полное счетномерное нормированное линейное пространство, где норма вектора определяется скалярным произведением. Элементы (векторы) такого пространства — функции, удовлетворяющие однородному граничному условию. Скалярное произведение двух функцийv(x), u(x) определим как интеграл по области D :Z(v, u) = v (x)u(x) dx hv|ui.DНесложно проверить, что скалярное произведение удовлетворяет трем необходимымсвойствам:1.

(v, λu1 + u2 ) = λ(v, u1 ) + (v, u2 )линейность;697010 ФУНКЦИЯ ГРИНА2. (u, v) = (v, u)эрмитовость;3. (u, u) > 0, причем (u, u) = kuk2 = 0 ⇒ u 0неотрицательность нормы.Скалярное произведение мы будем обозначать круглыми скобками, как принято в функциональном анализе, либо треугольными скобками, как принято в квантовой механике(обозначения Дирака). Через скалярное произведение можно определить и сопряженный оператор^ = (L^ yv, u),(v, Lu)(10.3)т.е. оператор переходит в сопряженный при перебрасывании на другую обкладку скалярного произведения.Для иллюстрации общих определений будем использовать оператор Штурма — Лиувилляab2^ = p(x) d + q(x) d + r(x),(10.4)Ldx2dxDкоторый определим на функциях u(x), равных нулю на концах отрезка a 6 x 6 b:u(a) = u(b) = 0.

Значит для такого оператора n = 1, N = 2, область D — отрезок [a, b],а граница S состоит из двух точек. Функции p(x), q(x), r(x) считаем действительными.^ y для оператора Штурма — Лиувилля.Пример 10.1 . Найдем сопряженный оператор LПо определению сопряженного оператора (10.3), выпишем интеграл для скалярногопроизведения и проинтегрируем по частям^ =(v, Lu)Zbh^dx = v (x)p(x)u 0 (x) − (v (x)p(x)) 0 u(x) + q(x)v (x)u(x)v (x)Lu(x)ibaaZb!d2d+ u(x)(p(x)v (x)) −(q(x)v (x)) + r(x)v (x) dx. (10.5)2dxdxaВ силу нулевых граничных условий для функций u(x), v(x) внеинтегральный член (10.5)исчезает, получается2^ y = p(x) d + (2p 0 (x) − q(x)) d + r(x) − q 0 (x) + p 00 (x).Ldx2dxЗдесь функции p(x), q(x) предполагаются гладкими.10.2.Разложение оператора по проекторам^ =Самосопряженным будем называть оператор, совпадающий с сопряженным L^ , если у них одинаковые области определения.

Запишем спектральную задачу дляL^самосопряженного оператора Ly^ m (x) = λm um (x),Lu(10.6)где um — собственные функции, а λm — собственные значения. Скалярно умножим (10.6)на um , получится^ m = λm (um , um ) .um , Lu10.2. Разложение оператора по проекторам71В обеих частях стоят действительные матричные элементы:(um , um ) = kuk2 > 0,^ m , um = um , Lu^ m = Lu^ mum , Lu,значит собственные значения тоже действительны.

Теперь скалярно умножим уравнение (10.6) на ul (x), затем поменяем местами индексы l ↔ m, выполним комплексноесопряжение, а затем вычтем друг из друга:^ m − um , Lu^ lul , Lu= (ul , λm um ) − (um , λl ul ) = (λm − λl ) (ul , um )В левой части получится нуль, откуда(λm − λl )(ul, um ) = 0.Отсюда следует, что либо собственные значения совпадают, либо собственные функцииортогональны друг другу. Собственные функции, принадлежащие одному собственномузначению, тоже можно выбрать ортогональными.Если собственные функции выбрать еще и нормированными, то соотношение ортогональности запишется особенно просто(um , ul ) = δml .Соотношение полноты базиса будет иметь видXum (x)um (x 0 ) = δ(x − x 0 ).mЕстественно, не у всякого оператора имеется полная система функций.

Даже в конечномерном пространстве удается диагонализовать не всякую матрицу. Чтобы диагонализация удалась, достаточно симметричности для действительной матрицы или эрмитовости для комплексной матрицы. Аналогичные теоремы имеются и для операторовв гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженного оператора Штурма— Лиувилля достаточно положительной определенности оператора и неограниченноговозрастания собственных чисел с номером λm → ∞, m → ∞.Перейдем к бра- и кет- обозначениям [29], считая, что um (x) = hx|mi, тогда задачана собственные значения запишется в инвариантном виде^ i = λm |mi,L|mа ее запись (10.6) в координатном представлении получится умножением слева на базисный вектор hx|.

Соотношения ортогональности и полноты выглядят какXhm|li = δml ,|mihm| = |.mСоотношение полноты записано как разложение единичного оператора |. Отдельные^m = |mihm| на одномерные подпространства, отвечающиеслагаемые — это проекторы Pзаданному базисному вектору с номером m.Аналогично можно записать разложения по проекторам прямого и обратного оператораXX 1^=^ −1 =Lλm |mihm|, L(10.7)|mihm|, λm 6= 0.λmmm7210 ФУНКЦИЯ ГРИНАСогласно теореме Рисса действие операторов на функции u(x), v(x) в гильбертовом пространстве можно записать в виде интеграловZZ000−1^^K(x, x )u(x ) dx , (L v)(x) = G(x, x 0 )v(x 0 ) dx 0 ,(Lu)(x) =DD^ 0 i, G(x, x 0 ) = hx|L^ −1 |x 0 i — ингде x = (x1 , .

. . , xm ), x = (x1 , . . . , xm ) 2 D , K(x, x ) = hx|L|xтегральные ядра прямого и обратного операторов, соответственно. Интегральное ядрообратного оператора G(x, x 0 ) задачи (10.1) называется функцией Грина первого рода.Перечислим простейшие свойства функции Грина.00001. Решение полуоднородной задачи (10.1) выражается интегралом ДюамеляZ(10.8)u(x) = G(x, x 0 )f(x 0 ) dx 0 .DЭто свойство прямо следует из определения интегрального ядра обратного оператора.^ — самосопряженный оператор, то функция Грина удовлетворяет принципу2. Если Lвзаимности:G(x, x 0 ) = G (x 0 , x).Принцип взаимности следует из разложения (10.7) обратного оператора по проекторам, если учесть, что все собственные значения самосопряженного оператора —действительные.3.

Функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению^LG(x,x 0 ) = δ(x − x 0 ).(10.9)^с граничным условием BG(x,x 0 )|x2S = 0. Уравнение получается, если подейство^ на разложение обратного (10.7) и умножить полученноевать прямым оператором Lравенство слева на hx|, а справа на |x 0 i, учитывая соотношение ортогональности00hx|x i = δ(x − x ). Дифференциальные уравнения обычно решать проще, чем суммировать бесконечные ряды, поэтому на практике это свойство и используется длянахождения функции Грина.Назовем фундаментальным решением функцию G(x, x 0 ), которая удовлетворяет уравнению (10.9), но не обязана удовлетворять граничным условиям.Замечание 10.1 . Мы предположили, что у оператора нет собственных функций, отвечающих нулевому собственному значению.

Такие функции будем называть нулевымимодами. Как известно, для операторов имеется альтернатива Фредгольма. Если нетнулевых мод, то неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части и имеетединственное решение. Второй случай альтернативы Фредгольма — это когда имеются нулевые моды, но выполнено некоторое условие разрешимости. Во втором случаеимеется бесконечное множество решений. Мы рассмотрим его на следующей лекции.10.3.Оператор Штурма — ЛиувилляРассмотрим однородную задачу (10.1) для оператора Штурма — Лиувилля (10.4)на отрезке a 6 x 6 b. Пусть u(a) = u(b) = 0.

Прежде, чем решать уравнение дляфункции Грина"#d2d^LG = p(x) 2 + q(x)+ r(x) G(x, x 0 ) = δ(x − x 0 ),dxdx10.3. Оператор Штурма — Лиувилля73локально проинтегрируем его, т.е. найдем интеграл по x от x 0 − ǫ до x 0 + ǫ, а затемустремим ǫ → 0. В правой части получится единица, а в левой последнее слагаемое в пределе 0обратится в нуль. Предпоследнее слагаемое даст скачок функции Гринаq(x 0 ) [G(x, x 0 )]xx 0 +0−0 и тоже обратится в нуль, если функция Грина непрерывна.

Останетсяпервое слагаемое"#x 0 +0dG(x, x 0 )0p(x )= 1.dxx 0 −0Отсюда получается, что функция Грина терпит скачок производной, равный 1/p(x 0 ).Вместо функции Грина ищем сначала фундаментальное решение g(x, x 0 ), от которого потребуем такого же скачка, но не будем требовать выполнения граничного условия. Пусть u1 (x), u2 (x) — два линейно - независимых решения однородного уравнения^ = 0, тогда фундаментальное решение можно искать в видеLuC1 u1 (x), x < x 0 ;g(x, x 0 ) =C2 u2 (x), x > x 0 .Коэффициенты C1 , C2 найдем из непрерывности функции и скачка производной в точкеx = x 0 . Получится система двух линейных уравненийC1 u1 (x 0 ) − C2 u2 (x 0 ) = 0,−C1 u10 (x 0 ) + C2 u20 (x 0 ) = p(x1 0 ) .Ее определительu1 (x 0 ) −u2 (x 0 )0 = W(x )∆=−u10 (x 0 ) u20 (x 0 ) совпадает с определителем Вронского в точке x = x 0 , который отличен от нуля, есливыбраны линейно - независимые решения.

Тогда из системы можно найти неизвестныекоэффициенты1 0p(x )u2 (x 0 )1 0 −u2 (x 0 ) =C1 = 1,00∆ p(x 0 ) u2 (x ) p(x 0 )W(x 0 )1 u1 (x 0 )C2 = 0 0∆ −u1 (x )0=u1 (x 0 ).p(x 0 )W(x 0 )Фундаментальное решение найдено:u1 (x)u2 (x 0 ) p(x 0 )W(x 0 ) ,0g(x, x ) =u (x 0 )u2 (x) 1,p(x 0 )W(x 0 )x < x 0,(10.10)x > x 0.Решение можно записать в одну строчку, если вести новые обозначения x< = min(x, x 0 ), x> =max(x, x 0 ):u1 (x< )u2 (x> ).g(x, x 0 ) =p(x 0 )W(x 0 )Если q = 0, то вронскиан не зависит от координаты.

Характеристики

Список файлов лекций