1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Можно выбрать в качествеопределения повышающего оператора его коммутатор (7.2) с J3 . Оператор J− с коммутатором, удовлетворяющим правилу (7.3) назовем понижающим. Понижающий оператор на единицу уменьшает m:J− |λ mi = am |λ, m − 1i,(7.5)где am коэффициент. Сравнивая (7.4) c (7.5) и пользуясь тем, что повышающий и понижающий операторы в нашем случае получаются друг из друга эрмитовым сопряжениемJ+ = Jy− ,можно вывести связь между коэффициентамиam = bm−1 .Лестница состояний|λ, m + 2i(7.6)Теперь подействуем на вектор |λ mi несколько раз повышающим оператором.
Согласно (7.4) его номер m будет каж|λ, m + 1дый раз увеличиваться на единицу. Если же действовать понижающим оператором, номер будет уменьшаться. Главный во|λ, mпрос, будет ли этот процесс продолжаться до бесконечности в|λ, m − 1ту и другую сторону или оборвется. Если процесс оборвется ис той, и с другой стороны, неприводимое представление полу|λ, m − 2чится конечномерным. Оказывается, всегда можно построитьунитарное конечномерное представление если группа компактна.
Мы сформулируем этоутверждение в виде теоремы 7.2 . В нашем случае все координаты на группе — углы иизменяются от нуля до π или 2π, но не до бесконечности, так что группа компактна.Чтобы построить конечномерные представления, сначала вычислим комбинацииоператоровiiiiJ− J+ = (J1 − iJ2 )(J1 + iJ2 ) = J21 + J22 + i[J1 , J2 ] = J2 − J23 − J3 ,J+ J− = (J1 + iJ2 )(J1 − iJ2 ) = J21 + J22 − i[J1 , J2 ] = J2 − J23 + J3 .487 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙОтсюда получим, чтоJ− J+ |λ mi = (λ − m2 − m)|λ mi,J+ J− |λ mi = (λ − m2 + m)|λ mi.(7.7)(7.8)В нашем случае J2 — эрмитовский неотрицательно определенный оператор, значит λ —вещественное положительное число.
Но и комбинации J+ J− , J− J+ тоже эрмитовы и неотрицательно определены, потому что(J+ J− )y = Jy− Jy+ = J+ J− ,λ m|J+ J− |λ mi = am am = |am |2 .h(7.9)Поэтому числа λ − m2 m не могут стать отрицательными.Отсюда следует, что есть крайние векторы, один из которых |λ mmax i обращаетсяв нуль повышающим оператором, а другой |λ mmin i — понижающим:J+ |λ mmax i = J− |λ mmin i = 0.Из (7.7), (7.8) видно, что такое может случиться, когда22− mmax = λ − mmin+ mmin = 0.λ − mmaxОбозначим mmax j, тогда λ = j(j + 1), а для mmin получилось квадратное уравнение.Выберем тот из корней, который не превосходит mmax , откуда mmin = −j.
Итого имеется2j + 1 векторов:dim D(j) (g) = 2j + 1.Число ступенек лестницы состояний 2j + 1 должно быть целым, поэтому j может бытьтолько целым или полуцелым.Чтобы разобраться с вопросом, все ли значения j допустимы, мы восстановим спомощью экспоненциальной формулы элемент группы, вращение вокруг оси 3 на уголθ:eiJ3θ = eimθ .Если m принимает только целые значения, все в порядке, получилась 2π - периодическая функция угла θ. Если же m полуцелое, период функции станет вдвое больше,e2πim = −1. Отсюда следует, что набор матриц четного порядка, отвечающих полуцелыми j, не является представлением группы SO(3). Другая формулировка того же фактадается теоремойТеорема 7.1 .
Неприводимые унитарные представления группы SO(3) всегда имеют нечетную размерность.Что касается полуцелых j, они дают неприводимые представления унитарной группы SU(2). В квантовой механике эти представления описывают частицу с полуцелымспином. В предыдущей лекции было построено гладкое отображение SU(2) → SO(3),которое оказалось двулистным накрытием. Поэтому в унитарной группе функции угла могут быть и 4π - периодическими. Целым j отвечают представления той и другойгрупп.Замечание 7.1 . Иногда в литературе представления с полуцелым j называют двузначными представлениями группы SO(3). Мы не пользуемся таким термином потому, чтосогласно нашему исходному определению, представление — это гомоморфизм.
Значиткаждому элементу группы отвечает одна матрица.7.2. Базис неприводимого представления49Вычисление матричных элементовДля краткости вместо λ = j(j + 1) будем писать в векторах j. Матричные элементыпонижающего и повышающего операторовam = hj m − 1|J− |j mi,bm = hj m + 1|J+ |j miвычисляются с помощью соотношения (7.6) и формул (7.9), (7.7), (7.8): |am |2 = j(j + 1) −m2 + m, |bm |2 = j(j + 1) − m2 − m. Тогда с точностью до фазыqqj(j + 1) − m(m − 1),am =bm =j(j + 1) − m(m + 1).Можно преобразовать формулы для матричных элементов, разложив подкоренные выражения на множителиqam =q(j + m)(j − m + 1),bm =(j − m)(j + m + 1).Именно в таком виде эти формулы приведены в справочниках.7.2.Базис неприводимого представленияДля нахождения базиса построим представление группы вращений на гладкихфункциях координат Рассмотрим множество гладких функций f(x, y, z), определенныхв R3 .
Действие элемента группы на функциях мы определили формулой (3.5):gf(r) = f(g−1 r).Тогда"g(α1 , 0, 0)f(x, y, z) = f(x, y os α1 + z sin α1 , −y sin α1 + z os α1 );∂I1 f(x, y, z) ==g(α1 , 0, 0)f(x, y, z)∂α1α1 =0∂f∂f= (−y sin α1 + z os α1 )+ (−y os α1 − z sin α1 )∂y∂z#!α1 =0∂∂= −y + zf(x, y, z).∂z∂yОтсюда, циклически переставляя индексы, найдем все генераторыI1 = −y∂∂+z ,∂z∂yI2 = −x∂∂+z ,∂z∂xI3 = −x∂∂+y .∂y∂xМы видим, что получились компоненты векторного произведения радиус-вектора и вектора градиентаI = −[r r].Реализация генераторов в виде дифференциальных операторов удобна, если мыхотим найти базис неприводимого представления. Задача сведется к поиску собственных функций дифференциального оператора второго порядка — оператора Казимира I2(вывод см.
в Дополнении 2 конце лекции):I2 = [r r]2 = r2 4 −(rr)2 = r2 4Ω .(7.10)Получился угловой оператор Лапласа, который только знаком отличается от оператора квадрата углового момента. Его собственные функции (одновременно являющиеся507 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙсобственными функциями оператора I3 ) хорошо известны — это сферические гармоники|l mi = Ylm (θ, ϕ):4ΩYlm (θ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (θ, ϕ),I3 Ylm (θ, ϕ) = −imYlm (θ, ϕ).Таким образом, мы нашли базис неприводимого представления алгебры ASO(3).
Базиспредставления группы будет тем же самым, потому что собственные функции экспоненты оператора совпадают с собственными функциями самого оператора. Базис состоитиз сферических гармоник с фиксированным l и различными m = −l, −l + 1, . . . , +l.7.3.Примеры неприводимых представленийПредставления групп SO(3) и SU(2) восстанавливаются с помощью экспоненциальной формулы. Представление самой низкой размерности, которое у нас получилось,это неприводимое представление с j = 0. Это представление естественно не являетсяточным. Величины, которые не преобразуются при поворотах называются скалярами,а представление скалярным представлением. Истинный скаляр V(r) не меняется нетолько при поворотах, но и при отражениям: V(−r) = V(r). Если же знак меняется, товеличина — псевдоскалярная.Представление с j = 1/2 называется спинорным представлением группы SU(2).Матрицу представления обычно параметризуют тремя углами!eiϕ os θ2eiψ sin θ2U(ψ, θ, ϕ) =.−e−iψ sin θ2 e−iϕ os θ2(7.11)Представление группы SO(3) с j = 1 точное, оно называется векторным.
В общемслучае точное неприводимое представление наименьшей размерности называется фундаментальным. Спинорное представление (7.11) это фундаментальное представлениегруппы SU(2), а векторное (5.1) — фундаментальное представление группы SO(3). Векторы p в трехмерном евклидовом пространстве преобразуются при вращении c помощьюоператоров J , если от декартовых перейти к круговым компонентам вектораp = px ipy , p0 = pz .Круговые компоненты преобразуются при вращении как функции Y1m (θ, ϕ), m = −1, 0, 1.Истинный (полярный) вектор меняет знак при инверсии, которая, напомним, входитв полную группу ортогональных преобразований O(3), но не входит в специальнуюSO(3). Если знак не меняется: p(−r) = p(r), величина p — псевдовектор.Неприводимые представления с целым j = l > 2 называются тензорными ранга l,а величины, которые по ним преобразуются называют тензорами.
Примеры из физики —два тензора: квадрупольный момент и тензор инерции!ZZ1 2Qij =r δij − xi xj ρ(r) dr; Iij = (r2 δij − xi xj )ρ(r) dr,3где ρ в первом тензоре — плотность заряда, а во втором — вещества. Квадрупольныймомент — бесследовый тензор, поэтому преобразуется какY2m (θ, ϕ), m = −2, −1, 0, 1, 2.Тензор инерции имеет ненулевой след, поэтому у него 6 компонент, а не 5. Говорят, чтоэто приводимый тензор.
Если выделить след Iii , то он преобразуется по скалярному7.3. Примеры неприводимых представлений51представлению l = 0, а оставшаяся бесследовая часть — по тензорному представлениюl = 2.В заключении сформулируем общее утверждение про конечномерные представления.Теорема 7.2 . Каждое неприводимое унитарное представление компактной группы Ли конечномерно.Дополнение 1. Матрицы конечных поворотовПриведем для справок матрицы конечных поворотов, которые иногда называют^ можно параметризовать углами ЭйлераD-матрицами Вигнера. Конечный поворот Rα, β, γ: 1) поворот на угол α вокруг оси z, 2) поворот на угол β вокруг оси y (линииузлов), 3) поворот на угол γ вокруг оси z 0 (нового положения оси z). Углы Эйлераможно определять по разному: во втором повороте вместо оси y иногда вращают вокругоси x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
