1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Группа связная,поэтому восстанавливается по алгебре. Если мы захотим перейти к группе унимодулярных матриц SU(n, C), то размерность уменьшится на единицу. Канонический видунитарной матрицы01eiφ10BC..C,U=B.Aiφn0eгде фазы φi — действительны. Поэтому для равенства единице определителя придетсядобавить одно условиеXφi = 2πN, N = 0, 1, 2, . . .
.iАлгебра ASU(n, C) состоит из антиэрмитовых бесследовых матриц, как следует из формулыdet exp A = exp tr A.(6.6)Поэтому размерность алгебры также n2 − 1.Для диагональной матрицы A формула очевидно выполняется. Если матрица Aприводится к диагональному виду Λ, то есть A = TΛT −1 , то в каждом слагаемом рядаТейлора внутренние T и T −1 сокращаются, а внешние выносятсяdet exp TΛT−1∞n∞XX1 Y1−1= detTΛT = detTΛn T −1n!n!n=0j=1n=0hi= det T (exp Λ) T −1 = det exp Λ = exp tr Λ.426 ГРУППЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ И УНИТАРНЫХ МАТРИЦВ общем случае, когда матрица A сводится к прямой сумме жордановых клеток, доказательство формулы (6.6) приведено в сборнике задач [1].Пример 6.4 .
Группа SU(2), dim SU(2) = 3, параметризуется двумя комплекснымичислами a, b с одним дополнительным условием!ab,U=−b a|a|2 + |b|2 = 1.Перейдем к действительным параметрам a = x4 + ix3 , b = x2 + ix1 , тогда!x4 + ix3 x2 + ix1U=.−x2 + ix1 x4 − ix3Найдем генераторы, дифференцируя по трем независимым координатам x1 , x2 , x3L1 =L2 =L3 =!∂U ∂x1 x1 =x2 =x3 =00 i= iσ1 ,=i 0!0 1== iσ2 ,−1 0∂U i 0== iσ3 .0 −i∂U ∂x2 x1 =x2 =x3 =0!∂x3 x1 =x2 =x3 =0Мы выразили генераторы через матрицы Паули (6.4) σ = (σ1 , σ2 , σ3 ). Теперь можно,пользуясь из свойством, найти коммутатор[Li , Lj] = −[σi , σj ] = −2ieijk σk = −2eijk Lk .Отсюда видны два следствия. Во-первых, можно разделить все генераторычисло -2:iLiIi = − = − σi22и убедиться, что получатся в точности те же соотношения, что и в примере 6.2геброй ASO(3): [Ii , Ij ] = eijk Ik .
Таким образом, мы доказали изоморфизм алгебрASU(2) ASO(3).~ i наL(6.7)с ал(6.8)Во-вторых, мы можем умножить все генераторы Ii на −i, переходя к новым генераторамJi = −iIi = −iLi /2.Тогда для новых генераторов получатся соотношения[Ji , Jk ] = ieijk Jk ,известные из квантовой механики как алгебра угловых моментов.6.2.Гомоморфизм SU(2) → SO(3)После того, как мы доказали изоморфизм (6.8) алгебр Ли, можно было бы осторожно предположить, что совпадают и группы Ли, указанные в заголовке. Мы построимгомоморфизм унитарной группы в ортогональную и убедимся, что группы не совпадают.6.2. Гомоморфизм SU(2) → SO(3)43Сначала рассмотрим эрмитову матрицу вида!zx − iy.H=x + iy−zЭта матрица получилась как скалярное произведение H = r σ, где r = (x, y, z) 2 R3 ,а σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) — вектор, составленный из матриц Паули. Если теперь преобразоватьматрицу H с помощью унитарной матрицы U 2 SU(2):!0yH = UHU ,z0x 0 − iy 0H =,x 0 + iy 0−z 00мы получим новую матрицу H 0 с параметрами x 0 , y 0 , z 0 , но определитель будет тем жесамым в силу унитарности U:−det H = x2 + y2 + z2 = x 02 + y 02 + z 02 = −det H 0 .Даже не выписывая явно преобразования r → r 0 , можно понять, что оно линейное:r 0 = Rr,а матрица R должна быть ортогональной, чтобы сохранялась норма вектора r.
Мыввели правило, по которому каждой унитарной матрице U 2 SU(2) сопоставляетсяортогональная матрица R 2 SO(3). Если у нас имеется произведение двух унитарныхматриц U = U1 U2 , тоyyH 0 = U1 (U2 HU2 )U1 ,следовательно ортогональное преобразование тоже дается произведением матрицU1 → R1 , U2 → R2 , U → R = R1 R2 .Таким образом, искомый гомоморфизм построен.Является ли он изоморфизмом? Ответ — нет, потому что в правило входит параматриц U и Uy .
Если сменить знак U → −U, то у сопряженной матрицы тоже сменитH 0 не изменится. Значит двум различным унитарнымся знак Uy → −Uy , а матрица0матрицам ( 10 01 ) и −1отвечает одна ортогональная0 −1011 0 0BCR = 0 1 0A0 0 1и отображение не получилось взаимно-однозначным.С алгебраической точки зрения можно написатьSO(3) SU(2)/C2 ,т.е. ортогональная группа изоморфна фактор-группе унитарной группы по дискретнойнормальной подгруппе, состоящей из двух элементов (единичной и минус единичнойматрицы 2 2).С геометрической точки зрения SU(2) это единичная сфера S3 в пространстве R4 ,задаваемая уравнением x20 +x21 +x22 +x23 = 1, рис. 6.1.
Чтобы явно построить дифференцируемое отображение многообразия SU(2) на SO(3) ограничимся частным случаем однопараметрической подгруппы. В примере 6.2 мы построили генераторы группы SO(3),446 ГРУППЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ И УНИТАРНЫХ МАТРИЦ1Рис. 6.1. Многообразия групп SU(2) и SO(3): сфера S3 и проективная сфера RP3 , север-ное полушарие с отождествленными (как условно показано стрелками) диаметральнопротивоположными точками экватора.выберем генератор I2 . Из примера 6.4 возьмем соответствующий генератор SU(2), который согласно (6.7) равен −iσ2 /2:010 0 1BCI2 = 0 0 0A 2 ASO(3),−1 0 01 0 1iσ2/2 =2 −1 0!2ASU(2).Восстановим по генераторам элементы соответствующих групп:01os θ 0 sin θB10 CO(θ) = exp I2 θ = 0A 2 SO(3),− sin θ 0 os θ!L2os θ2 sin θ2U(θ) = expθ =− sin θ2 os θ22(6.9)!2SU(2).(6.10)Естественно задать отображение правилом U(θ) → O(θ)Однопараметрическая подгруппа отвечает меридиану, показанному на рис.
6.1:θ = 0 соответствует единичной матрице E2 (северному полюсу рисунка). Сам отсунокследует рассматривать как сечение единичной сферы S3 в четырехмерном пространстве. Увеличивая θ, мы непрерывно пройдем по меридиану через экватор θ = πюжному полюсу θ = 2π, U = −E2 . Матрица вернется к исходному значению U = E2только при θ = 4π. В группе SO(3) северное и южное полушария соответствуютодному и тому же вращению (6.9).
Вся сфера отображается на верхнюю полусферу,причем противоположные точки экватора считаются тождественными. На рис. 6.1отождествление противоположных точек условно показано стрелками. Каждый образO(θ) в SO(3) имеет два прообраза U(θ) и U(θ + 2π). в SU(2), как видно из (6.9), (6.10).В общем случае, когда у каждой точки образа имеются дискретные прообразы, отображение называют накрытием.Пример 6.5 .
В одномерном случае примером накрытия является отображение R → S1 .Числовую ось можно представить себе как нить, которая наматывается на окружность.Каждой точке окружности отвечает бесконечное число прообразов, поэтому данноеотображение — бесконечнолистное накрытие. Двумерным примером бесконечнолистного накрытия служит отображение плоскости R2 на тор T 2 . Плоскость делится на одинаковые прямоугольные клетки, противолежащие стороны каждого прямоугольника6.2.
Гомоморфизм SU(2) → SO(3)45Рис. 6.2. Отображение R2 → T 2 : черными кружками показаны прообразы одной точкитора, а стрелками ориентация противолежащих сторон каждого прямоугольника приих склеивании.склеиваются. Каждой точке тора соответствуют счетное множество дискретных прообразов на плоскости, показанных на рис. 6.2. Пример двулистного накрытия известенpиз теории функций комплексной переменной. Риманова поверхность функции w = zпредставляет собой два экземпляра комплексной плоскости C, разрезанных, например,вдоль отрицательной действительной полуоси.
Верхний берег разреза каждого экземпляра склеивается с нижним берегом разреза другого экземпляра. Если полученнуюповерхность гладко отобразить на комплексную плоскость, получитсядвулистное наpкрытие. Каждый лист соответствует своей ветви квадратного корня 1 = 1Таким образом, хотя алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) изоморфны, сами группынеизоморфны. Окрестности единицы в этих группах устроены одинаково, а глобальнаятопология у них разная.
По экспоненциальной формуле восстанавливается односвязнаягруппа SU(2), в соответствии с теоремой 5.1 . Для группы SO(3), которую тоже можновосстановить по алгебре Ли, группа SU(2) является накрывающим множеством.Лекция 7Представления группы вращений7.1.Неприводимые представления ASO(3)В данной лекции мы построим неприводимые представления алгебры ASO(3),которая изоморфна алгебре угловых моментов[Ji , Jj ] = ieijk Jk .(7.1)Такой выбор генераторов удобнее, чем первоначальные операторы Ii , потому что всеJi = −iIi получились эрмитовыми.
Мы уже знаем одно точное трехмерное неприводимое представление матрицами (6.5), но нам надо проверить, есть ли неприводимыематричные представления других размерностей. Поэтому мы уже не предполагаем, чтоJi — матрицы 3 3, а ищем представления алгебры произвольной размерности. По представлению алгебры Ли можно будет потом по экспоненциальной формуле восстановитьпредставление группы.Оператор КазимираОпределение 7.1 . Оператором Казимира называется квадратичная комбинация генераторов, которая коммутирует со всеми генераторами.Оператор Казимира классифицирует неприводимые представления. Набор его собственных векторов, принадлежащих одному собственному значению, образует базиснеприводимого представления.
Это следует из леммы Шура.Пользуясь формулами (7.1) и тождеством [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C, вычислимдва коммутатора[J1 , J22 ] = J2 [J1 , J2 ] + [J1 , J2 ]J2 = iJ2 J3 + iJ3 J2 ,[J1 , J23] = J3 [J1 , J3 ] + [J1 , J3 ]J3 = −iJ2 J3 − iJ3 J2и сразу убедимся, что J2 = J21 + J22 + J23 как раз и является оператором Казимира:[J2 , J1] = 0.Точно так же можно показать, что с J2 коммутируют и остальные генераторы.467.1. Неприводимые представления ASO(3)47Повышающий и понижающий операторыПостроим операторы J = J1 iJ2 и найдем их коммутаторы с оператором J3 :[J3 , J+ ] = [J3 , J1] + i[J3 , J2] = iJ2 + J1 = J+ ,[J3 , J− ] = [J3 , J1] − i[J3 , J2] = iJ2 − J1 = −J− .(7.2)(7.3)Оператор J2 коммутирует с J3 , поэтому можно выбрать базис из общих собственныхвекторов. Обозначим собственные векторы |λ mi:J2 |λ mi = λ|λ mi,J3 |λ mi = m|λ mi.Тогда из (7.2)J3 J+ |λ mi = (J+ J3 + J+ )|λ mi = (m + 1)J+ |λ mi,значит J+ |λ mi — собственный вектор оператора J3 с собственным значением (m + 1).Такой вектор с точностью до постоянного множителя (обозначим его bm ) равен |λ, m+1i:J+ |λ mi = bm |λ, m + 1i.(7.4)Оператор с таким свойством называется повышающим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
