1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Построим операторы, которые превращают тензоры в симметричные —симметризаторы Юнга. Для этого сначала определим действие подстановки на тензоре.Определение 9.1 . Действия подстановки σкак соответствующую перестановку индексов2Pp на тензоре T2R(p) определим!σTi1 ...ip1 2 ... p== Tij1 ...ijpTj1 j2 . . . jp i1 ...ipПодстановка просто переставляет индексы, а значит коммутирует с элементомгруппы g 2 G, который действует в отдельном экземпляре Rn .Самые общие симметризаторы — это симметризатор и антисимметризатор1 Xσ,S^ =p! σ2PpX^ = 1Adet σ σ,p! σ2P(9.2)pгде det σ — четность подстановки, т.е. det σ = +1, когда подстановка σ четная, и −1,когда подстановка нечетная.Иногда симметризация тензора помогает найти неприводимое представление.
Этоутверждение не строгое и зависит от размерности пространства, конкретной группыи ранга тензора. Строго можно лишь утверждать, что симметризованные тензоры образуют инвариантное подпространство при действии преобразований группы. Этоследствие коммутативности перестановок индексов тензора и его преобразований g 2 G.Значит представление группы после симметризации базиса всегда приводится к блочно-диагональному виду. Однако сами блоки могут оказаться как неприводимыми, таки приводимыми.609.1.
Симметризаторы Юнга61^ полилинейная форма, о которойВ случае полностью симметричного тензора STговорилось в третьем определении тензора, становится просто однородным полиномомстепени p от n переменныхP(x1 , . . . , xn ) =Xmn2Cm1 ,m2 ,...,mn x1m1 xm2 xn .(9.3)m1 ,m2 ,...,mnm1 +m2 ++mn =pРазмерность пространства однородных полиномов равна размерности пространства симметричных тензоров S . Эту размерность можно подсчитать с помощью комбинаторики,так же, как мы нашли квантовую кратность вырождения (4.6).
Надо узнать число способов, которым можно распределить p шаров по n ячейкамdim Sp(n) = Cpp+n−1 =(p + n − 1)!.p!(n − 1)!(9.4)^ ненулевые компоненты только те, у которых всеУ антисимметричного тензора ATиндексы различны, а таких возможностей всего Cpn , p 6 n. Размерность пространства Aантисимметричных тензоровpdim A(n)p = Cn =n!.p!(n − p)!Заметим, чтоn!(p + n − 1)!+6 n2 ,p!(n − p)!p!(n − 1)!p > 2,причем равенство достигается при p = 2. Значит при p > 2 симметричная и антисимметричная части не исчерпывают всех компонент тензора.Пример 9.1 . Разбить на неприводимые части тензор второго ранга в пространстве R3 .Имеется в виду обычный тензор, компоненты которого преобразуется при вращении.По определению его следует называть тензором относительно группы SO(3).Антисимметричная часть (9.1) сворачивается с eijk в вектор bi = eijk Ajk , содержит3 компоненты и преобразуется по неприводимому векторному представлению l = 1.Судя по разложению Клебша — Гордана (8.13), симметричная часть Sij , содержащая6 различных компонент, приводима и должна разлагаться в прямую сумму скалярного и тензорного представлений l = 0, 2.
След тензора Skk очевидно преобразуется поскалярному представлению, а бесследовая часть1Qij = Sij − δij Skk3по неприводимому тензорному представлению l = 2.Пример 9.2 . Рассмотрим тензоры ранга p = 3 в пространстве R3 . Согласно (9.4), пространство симметричных тензоров имеет размерность 10.
Антисимметричный тензорвсего один (это eijk ), а всего у общего тензора имеется 27 компонент. Какую симметриюимеют другие части Tijk ?Вспомним, что группа подстановок из 3 объектов изоморфна группе треугольника P3 D3 . Каждому неприводимому представлению группы P3 отвечает отдельный629 ПРАВИЛА ОТБОРАсимметризатор!!!1 2 31 2 31 2 31^= 1+++S1 2 33 1 22 3 126!!!1 2 31 2 31 2 31^ =1++−A12331223126!!!!^=1 2 1 2 3 − 1 2 3 − 1 2 3 .B1 2 33 1 22 3 13!!!!2 31 2 31 2 3++1 31 3 23 2 1,2 31 2 31 2 3−−1 31 3 23 2 1,!!!!^ получается из двумерного неприводимого представления групТретий симметризатор Bпы треугольника и представляет собой проектор на подпространство этого неприводимого представления. В случае матричного представления проектор на подпространствонеприводимого представления P (α) определяется формулой (4.11).
При расчете симметризаторов Юнга вместо матриц представления D(g) в формуле (4.11) записываютсяподстановки. Сумма проекторов на все неприводимые представления равна единичному оператору, поэтому все компоненты тензора попадают в какое-нибудь из подпространств. Вернувшись к тензору второго ранга (9.1), заметим, что в полном согласии стеорией его разбиение на симметричную и антисимметричную части происходит в соответствии с таблицей характеров группы C2 , у которой всего два одномерных непри1водимых представления: четное и нечетное. 11 −1^ ,Итак, остальные 16 компонент тензора третьего ранга входят в тензор Bijk = BTкоторый, как легко проверить, удовлетворят соотношению симметрии, напоминающемутождество ЯкобиBijk + Bkij + Bjki = 0.Тождество дает как раз 11 условий:B123 + B312 + B231B112 + B211 + B121B113 + B311 + B131B223 + B322 + B232= B213 + B321 + B132 = 0= B221 + B122 + B212 = 0= B331 + B133 + B313 = 0= B332 + B233 + B323 = 0B111 = B222 = B333 = 0.Таким образом, симметризаторы Юнга можно строить с помощью таблицы неприводимых характеров группы подстановок из p объектов, где p — ранг тензора.
ГруппаPp всегда имеет единичное представление, которому соответствует симметризатор S^ вформуле (9.2). Антисимметризатор получается из одномерного неприводимого представления фактор-группы Pp /Ap , где Ap — нормальная подгруппа четных подстановокиз p объектов.Иногда симметризованный тензор сразу становится неприводимым, как антисимметричная часть тензора второго ранга в примере 9.1 . Иногда представление надо дальше разлагать на неприводимые, как в случае с симметричной частью тензора второгоранга. Чтобы разлагать симметричную часть на неприводимые представления группывращений бывает удобно использовать изоморфизм пространства симметричных тензоров и пространства однородных полиномов. Например, для рассмотренного в примере9.1 тензора p = 2, n = 3 можно утверждать, что симметричная часть преобразуется какквадратичная формаS(x, y, z) = a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz.9.2. Инвариантные тензоры63Всего имеется 6 различных коэффициентов, но чтобы разбить на неприводимые представления, следует выделить скалярную часть S0 (x, y, z) = x2 + y2 + z2 , которая не преобразуется при вращении.
Оставшаяся бесследовая часть содержит 5 компонент и преобразуется по неприводимому представлению с l = 2.Замечание 9.1 . Тензорное представление — это прямое произведение представленийD(g), взятых такое количество раз, каков ранг p у тензора. Поэтому характер тензорного представления равен χi (g) = χp (g), где χ(g) — характер представления D(g).
Еслитензор обладает некоторой симметрией по перестановкам индексов, то характер тензорного представления вычисляется по более сложной формуле, которая выводится спомощью процедуры симметризации базиса, описанной в [2, §94]. Для тензора второгоранга вывод приведен в Дополнении. Приведем готовые формулы для тензоров 2-го и3-го ранга:χs (g) =χs (g) =9.2.i1h 2χ (g) + χ(g2 ) ,2χa (g) =i1h 3χ (g) + 3χ(g)χ(g2) + 2χ(g3) , χa (g) =6i2h 3χ (g) − χ(g3 ) .χb (g) =312hiχ2 (g) − χ(g2 ) ;h16iχ3 (g) − 3χ(g)χ(g2) + 2χ(g3 ) ,Инвариантные тензорыОпределение 9.2 .
Тензор называется инвариантным относительно группы G, еслиего компоненты не меняются под действием преобразований группы.Чтобы удобнее записать действие элемента группы на тензор, выстроим его компоненты в один столбец длины np . Тогда условие инвариантности запишется как0D1t1B Ct2 C .T =B A...(g)T = T,(9.5)Исходное представление D можно разложить на неприводимые представления D(α) группы G (среди которых могут быть и одинаковые)DKD(g) =(α)(g).α=1Разложение можно найти с помощью усреднения по группе характера тензорного представления χ(g) = [χ(1) (g)]p, где χ(1) (g) — характер векторного представления.
Тогда (9.5)запишется в правильном базисе как01D(1) (g)BB..D (g)T = B.B0......0......D(K) (g)0tt...11CCB CC B 2CC AA01t1B CB= t2 C... A.(9.6)Просуммируем теперь (9.6) по группе. В матрицах неприводимого представленияв силу ортогональности на всех местах суммарной матрицы будет нуль, кроме подпространства единичного представления, где получится порядок группы |G|. Значит в таком базисе все компоненты тензора обращаются в нуль, кроме отвечающих единичномупредставлению. Сформулируем правило подсчета количества независимых компонентинвариантного тензора.649 ПРАВИЛА ОТБОРАТеорема 9.1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
