Главная » Просмотр файлов » 1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002

1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 16

Файл №828614 1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (Кузнецов, Шапиро - Курс лекций) 16 страница1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614) страница 162021-02-07СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Если к тому же p = 1,формула еще немного упрощается. Фундаментальное решение становится зависящимтолько от переменных x> , x< , а значит симметричным по перестановке координат x ↔ x 0 .Так и должно быть, потому что в этом случае оператор — самосопряженный. Формула7410 ФУНКЦИЯ ГРИНАвыводится аналогично и в случае обыкновенного дифференциального уравнения болеевысокого порядка n.

В этом случае локальное интегрирование позволяет найти скачок(n−1)-й производной, а производные более низкого порядка непрерывны в точке x = x 0 .Фундаментальное решение неоднозначно, потому что пару независимых решений можновыбирать по разному.Вернемся к функции Грина. Чтобы ее найти из фундаментального решения, надо добавить линейную комбинацию независимых решений, а два коэффициента этойкомбинации найти из граничных условий. Функция Грина находится единственным образом, когда λm 6= 0. Если с самого начала выбрать u1 (x), удовлетворяющее граничномуусловию при x = a (u1 (a) = 0), а u2 (x), которое удовлетворяет второму условию приx = b (u2 (b) = 0), то формула (10.10) сразу даст функцию ГринаG(x, x 0 ) = g(x, x 0 ),G(a, x 0 ) = G(b, x 0 ) = 0,a < x 0 < b.^ 1,2 u|x=a,b = 0 неЗамечание 10.2 .

Бывает так, что однородные граничные условия Bудается разделить на левое и правое. Тогда вместо формулы (10.10) надо использоватьболее общую:Z(x, x 0 )G(x, x 0 ) =,∆^ uB∆ = ^1 1B2 u1^ 1 u2 B^ 2 u2 6= 0,Bg(x, x 0 )u1 (x)u2 (x) 00^ 1 g(x, x ) B^ 1 u1 (x) B^ 1 u2 (x) .Z(x, x ) = B^ 2 g(x, x 0 ) B^ 2 u1 (x) B^ 2 u2 (x)B(10.11)Если разложить определитель Z по первой строке, мы увидим, что он равен линейной комбинации фундаментального решения g и двух линейно-независимых решенийоднородного уравнения u1 , u2 . Причем минор при g равен ∆, поэтому при фундаментальном решении стоит единичный коэффициент. Чтобы показать, что получилась функцияГрина, осталось проверить выполнение граничных условий. Подействуем на определи^ 1,2 .

В первом случае у получившегося определителя совпадут пертель Z операторами Bвая и вторая строки, а во втором — первая и третья. Значит функция G удовлетворяети граничным условиям.Пример 10.2 .d2G(x, x 0 ) = δ(x − x 0 ),dx2dG = 0,G|x=0 + G|x=1 −dx x=1dG dG += 0.dx x=0dx x=1Два решения однородного уравнения — константа и линейная функция u1 (x) = 1, u2 (x) =x. Вронскиан W = 1, фундаментальное решение дается формулой (10.10)x 0, x < x 0,0g(x, x ) =x, x > x 0 .^ 1 здесь сумма значений функции минус производная в единице, а B^ 2 — суммаОператор Bзначений производных в граничных точках x = 0, 1. Осталось выполнить граничныеусловия.

Найдем определители (10.11): > 0xZ= x11 x2 0 = 4x> − 2(x + x 0 ),0 22 0 = 4.∆=0 210.4. Дополнительная литература75Отсюда получится функция ГринаG(x, x 0 ) =|x − x 0 |.2(10.12)Действительно, эта функция непрерывна, имеет, где надо, единичный скачок производной и удовлетворяет граничным условиям.10.4.Дополнительная литератураПоследовательное изложение теорем функционального анализа можно найти вучебниках [30–32]. Теория функций Грина изложена в книгах [6, 33, 34], в учебнике[35] рассмотрен также случай несамосопряженных операторов. Теоремы единственности многих краевых задач можно найти в [36]. Функция Грина конкретных уравненийШредингера приведены в книгах по физике, см., например, [4, 37, 38].Лекция 11Обобщенная функция Грина11.1.Нулевые модыРассмотрим вторую часть альтернативы Фредгольма (стр.

72), когда у оператораимеются нулевые моды. Пусть первые k собственных функций принадлежат нулевомусобственному значению: λm = 0, m = 1, . . . , k. Можно записать вместо (10.7) условнообратный оператор^ −1Lo =∞XX0 11|mihm| |mihm|.λmλmmm=k+1(11.1)Здесь штрих возле знака суммы означает, что суммирование идет только по ненулевыммодам. Получилась сумма по проекторам в ортогональное дополнение к k-мерному подпространству нулевых мод. Условно обратный оператор всегда определен, а при k = 0он переходит в обычный обратный оператор. Соответствующее интегральное ядро0^ −1G0 (x, x 0 ) = hx|Lo |x i =X 0 um (x)u (x 0 )mλmmназывается обобщенной (или модифицированной) функцией Грина.

Более удачнымпредставляется термин обобщенная функция Грина, потому что в случае отсутствиянулевых мод она переходит в обычную функцию Грина. Перечислим основные свойстваG0 .1. Обобщенная функция Грина ортогональна нулевым модам. Если умножить уравнение (11.1) слева на hl|, то в силу ортогональности мы получим^ −1l|Lo =hX 0 hl|mihm|= 0,λmml = 1, . . . , k.(11.2)2. Обобщенная функция Грина подчиняется уравнению^ 0 (x, x 0 ) = δ(x − x 0 ) −LGkXum (x)um (x 0 ),(11.3)m=1где um (x) — нормированные нулевые моды. Подействуем на уравнение (11.1) опе^ получитсяратором L,X0m|mihm| =∞Xm=176|mihm| −kXm=1|mihm|.11.1.

Нулевые моды77Первая сумма в правой части в силу полноты равна единичному оператору. Переходя к координатам x, x 0 , получим уравнение (11.3).3. Решение уравнения (11.3) определеноPk неоднозначно, к нему можно добавить линейную комбинацию нулевых мод m=1 Cm um (x). Однако, неопределенность исчезает и все константы Cm находятся однозначно, если потребовать выполнения kусловий ортогональности (11.2):Zum (x)G0 (x, x 0 ) dx = 0, m = 1, . .

. , k.(11.4)DЕсли оператор не самосопряженный, то надо требовать ортогональности нулевыммодам сопряженного оператора.Пример 11.1 . На единичном отрезке найти функцию Грина оператора2^= dLdx2на пространстве функций с равной нулю производной на концах единичного отрезкаdu du == 0.dx x=0dx x=1Однородное уравнение u 00 = 0 имеет общее решение u(x) = C1 + C2 x, но из граничного условия получаем C2 = 0, значит k = 1 и имеется всего одна нулевая мода. Изусловия нормировки найдем C1 = 1, тогда уравнение (11.3) на обобщенную функциюГрина получается видаd2 G0= δ(x − x 0 ) − 1.2dxРешение можно составить из частного решения неоднородного уравнения u1 (x) = −x2 /2и общего решения однородного уравнения: 2− x2 + A1 x + B1 , x < x 0 ,G0 (x, x 0 ) =2− x2 + A2 x + B2 , x > x 0 .Из граничных условий находим два коэффициента A1 = 0, A2 = 1. Из непрерывностив точке x = x 0 получаем соотношение B1 = B2 + x 0 .

Однако условие единичного скачкапервой производной не добавляет уравнения, а приводит к тождеству 1 = 1. Нам нехватило ровно одного условия, потому что мы пока не использовали требование ортогональности (11.4):Zx 0Z1 2Z1xdx + B1 dx + (B2 + x) dx = 0.−200x0Вычисляя все три определенных интеграла, находим B2 = −x 0 2 /2 − 1/3, откуда 202− x + x + x 0 − 1 , x < x 0 ,2 23G0 (x, x 0 ) =02− x + x + x − 1 , x > x 0 .23Ответ можно переписать и в одну строчку: G0 = −(x2< + x2> )/2 − 1/3 + x> .7811 ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА11.2.Уравнение ПуассонаУравнение Пуассонаu = f(x)4обычно решают при двух граничных условиях. Условия видаu|S = 0называются задачей Дирихле, а∂u = 0∂n S— задачей Неймана.

Здесь ∂/∂n обозначает производную по внутренней нормали кповерхности S , Конечно, в теории уравнений в частных производных рассматриваютсяи более сложные задачи, в которых задана линейная комбинация функции и ее нормальной производной, производная взятая под углом к нормали (задача о наклоннойпроизводной), нормальная производная на одной части поверхности и функция на другой ее части и т.п. Но мы здесь ограничимся только простейшими постановками Дирихлеи Неймана, на примере которых можно понять, как строится функция Грина. Начнеммы, как договорились, с уравнения Пуассона с однородным граничным условием, а вследующей лекции перейдем к уравнению Лапласа с неоднородным условием.ЕдинственностьПрежде, чем строить функцию Грина, надо убедиться, что у задачи нет нулевыхмод.

Иначе нам следует построить обобщенную функцию Грина.Теорема 11.1 . Принцип максимума. Гармоническая в D функция, непрерывнаявплоть до границы, может достигать максимума только на границе S .Предположим противное:M = max u(x) = u(x0 ) > max u(x) = m.x2Dx2SВведем вспомогательную функциюw(x) = u(x) +где d — диаметр областиM−m(x − x0 )‘2 ,2d2Dd = diam Dmax kx − x k.0x,x 0 2DМаксимум функции w в области равен по крайней мере M = w(x0 ). Значение функцииw на границе S не превосходитw|S 6 u|S +M−m 2 M+md =< M,2d22значит ее точка максимума тоже лежит внутри области D .

Пусть этот максимум достигается в точке x1 2 D , тогда все вторые производные в этой точке неположительны∂2 w6 0,∂x2ii = 1, . . . , n,11.2. Уравнение Пуассоназначит и их сумма,79w, тоже равна нулю или отрицательна. С другой стороны,4(M − m)n(M − m)n=> 0.2dd2w = 4u +4Полученное противоречие и доказывает требуемое утверждение.Следствие 1 — принцип минимума.

Гармоническая функция u(x) может достигать своего минимума только на границе. Для доказательства достаточно применитьпринцип максимума к гармонической функции −u.Следствие 2 — единственность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.Задача4u = 0,u|S = 0имеет только нулевое решение u 0. Действительно, если гармоническая функцияравна нулю на границе, она вследствие принципов максимума и минимума не можетотличаться от нуля и в области.Фундаментальные решенияКонкретный вид фундаментального решения уравнения Пуассона зависит от размерности пространства.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
931,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее