1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если к тому же p = 1,формула еще немного упрощается. Фундаментальное решение становится зависящимтолько от переменных x> , x< , а значит симметричным по перестановке координат x ↔ x 0 .Так и должно быть, потому что в этом случае оператор — самосопряженный. Формула7410 ФУНКЦИЯ ГРИНАвыводится аналогично и в случае обыкновенного дифференциального уравнения болеевысокого порядка n.
В этом случае локальное интегрирование позволяет найти скачок(n−1)-й производной, а производные более низкого порядка непрерывны в точке x = x 0 .Фундаментальное решение неоднозначно, потому что пару независимых решений можновыбирать по разному.Вернемся к функции Грина. Чтобы ее найти из фундаментального решения, надо добавить линейную комбинацию независимых решений, а два коэффициента этойкомбинации найти из граничных условий. Функция Грина находится единственным образом, когда λm 6= 0. Если с самого начала выбрать u1 (x), удовлетворяющее граничномуусловию при x = a (u1 (a) = 0), а u2 (x), которое удовлетворяет второму условию приx = b (u2 (b) = 0), то формула (10.10) сразу даст функцию ГринаG(x, x 0 ) = g(x, x 0 ),G(a, x 0 ) = G(b, x 0 ) = 0,a < x 0 < b.^ 1,2 u|x=a,b = 0 неЗамечание 10.2 .
Бывает так, что однородные граничные условия Bудается разделить на левое и правое. Тогда вместо формулы (10.10) надо использоватьболее общую:Z(x, x 0 )G(x, x 0 ) =,∆^ uB∆ = ^1 1B2 u1^ 1 u2 B^ 2 u2 6= 0,Bg(x, x 0 )u1 (x)u2 (x) 00^ 1 g(x, x ) B^ 1 u1 (x) B^ 1 u2 (x) .Z(x, x ) = B^ 2 g(x, x 0 ) B^ 2 u1 (x) B^ 2 u2 (x)B(10.11)Если разложить определитель Z по первой строке, мы увидим, что он равен линейной комбинации фундаментального решения g и двух линейно-независимых решенийоднородного уравнения u1 , u2 . Причем минор при g равен ∆, поэтому при фундаментальном решении стоит единичный коэффициент. Чтобы показать, что получилась функцияГрина, осталось проверить выполнение граничных условий. Подействуем на определи^ 1,2 .
В первом случае у получившегося определителя совпадут пертель Z операторами Bвая и вторая строки, а во втором — первая и третья. Значит функция G удовлетворяети граничным условиям.Пример 10.2 .d2G(x, x 0 ) = δ(x − x 0 ),dx2dG = 0,G|x=0 + G|x=1 −dx x=1dG dG += 0.dx x=0dx x=1Два решения однородного уравнения — константа и линейная функция u1 (x) = 1, u2 (x) =x. Вронскиан W = 1, фундаментальное решение дается формулой (10.10)x 0, x < x 0,0g(x, x ) =x, x > x 0 .^ 1 здесь сумма значений функции минус производная в единице, а B^ 2 — суммаОператор Bзначений производных в граничных точках x = 0, 1. Осталось выполнить граничныеусловия.
Найдем определители (10.11): > 0xZ= x11 x2 0 = 4x> − 2(x + x 0 ),0 22 0 = 4.∆=0 210.4. Дополнительная литература75Отсюда получится функция ГринаG(x, x 0 ) =|x − x 0 |.2(10.12)Действительно, эта функция непрерывна, имеет, где надо, единичный скачок производной и удовлетворяет граничным условиям.10.4.Дополнительная литератураПоследовательное изложение теорем функционального анализа можно найти вучебниках [30–32]. Теория функций Грина изложена в книгах [6, 33, 34], в учебнике[35] рассмотрен также случай несамосопряженных операторов. Теоремы единственности многих краевых задач можно найти в [36]. Функция Грина конкретных уравненийШредингера приведены в книгах по физике, см., например, [4, 37, 38].Лекция 11Обобщенная функция Грина11.1.Нулевые модыРассмотрим вторую часть альтернативы Фредгольма (стр.
72), когда у оператораимеются нулевые моды. Пусть первые k собственных функций принадлежат нулевомусобственному значению: λm = 0, m = 1, . . . , k. Можно записать вместо (10.7) условнообратный оператор^ −1Lo =∞XX0 11|mihm| |mihm|.λmλmmm=k+1(11.1)Здесь штрих возле знака суммы означает, что суммирование идет только по ненулевыммодам. Получилась сумма по проекторам в ортогональное дополнение к k-мерному подпространству нулевых мод. Условно обратный оператор всегда определен, а при k = 0он переходит в обычный обратный оператор. Соответствующее интегральное ядро0^ −1G0 (x, x 0 ) = hx|Lo |x i =X 0 um (x)u (x 0 )mλmmназывается обобщенной (или модифицированной) функцией Грина.
Более удачнымпредставляется термин обобщенная функция Грина, потому что в случае отсутствиянулевых мод она переходит в обычную функцию Грина. Перечислим основные свойстваG0 .1. Обобщенная функция Грина ортогональна нулевым модам. Если умножить уравнение (11.1) слева на hl|, то в силу ортогональности мы получим^ −1l|Lo =hX 0 hl|mihm|= 0,λmml = 1, . . . , k.(11.2)2. Обобщенная функция Грина подчиняется уравнению^ 0 (x, x 0 ) = δ(x − x 0 ) −LGkXum (x)um (x 0 ),(11.3)m=1где um (x) — нормированные нулевые моды. Подействуем на уравнение (11.1) опе^ получитсяратором L,X0m|mihm| =∞Xm=176|mihm| −kXm=1|mihm|.11.1.
Нулевые моды77Первая сумма в правой части в силу полноты равна единичному оператору. Переходя к координатам x, x 0 , получим уравнение (11.3).3. Решение уравнения (11.3) определеноPk неоднозначно, к нему можно добавить линейную комбинацию нулевых мод m=1 Cm um (x). Однако, неопределенность исчезает и все константы Cm находятся однозначно, если потребовать выполнения kусловий ортогональности (11.2):Zum (x)G0 (x, x 0 ) dx = 0, m = 1, . .
. , k.(11.4)DЕсли оператор не самосопряженный, то надо требовать ортогональности нулевыммодам сопряженного оператора.Пример 11.1 . На единичном отрезке найти функцию Грина оператора2^= dLdx2на пространстве функций с равной нулю производной на концах единичного отрезкаdu du == 0.dx x=0dx x=1Однородное уравнение u 00 = 0 имеет общее решение u(x) = C1 + C2 x, но из граничного условия получаем C2 = 0, значит k = 1 и имеется всего одна нулевая мода. Изусловия нормировки найдем C1 = 1, тогда уравнение (11.3) на обобщенную функциюГрина получается видаd2 G0= δ(x − x 0 ) − 1.2dxРешение можно составить из частного решения неоднородного уравнения u1 (x) = −x2 /2и общего решения однородного уравнения: 2− x2 + A1 x + B1 , x < x 0 ,G0 (x, x 0 ) =2− x2 + A2 x + B2 , x > x 0 .Из граничных условий находим два коэффициента A1 = 0, A2 = 1. Из непрерывностив точке x = x 0 получаем соотношение B1 = B2 + x 0 .
Однако условие единичного скачкапервой производной не добавляет уравнения, а приводит к тождеству 1 = 1. Нам нехватило ровно одного условия, потому что мы пока не использовали требование ортогональности (11.4):Zx 0Z1 2Z1xdx + B1 dx + (B2 + x) dx = 0.−200x0Вычисляя все три определенных интеграла, находим B2 = −x 0 2 /2 − 1/3, откуда 202− x + x + x 0 − 1 , x < x 0 ,2 23G0 (x, x 0 ) =02− x + x + x − 1 , x > x 0 .23Ответ можно переписать и в одну строчку: G0 = −(x2< + x2> )/2 − 1/3 + x> .7811 ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА11.2.Уравнение ПуассонаУравнение Пуассонаu = f(x)4обычно решают при двух граничных условиях. Условия видаu|S = 0называются задачей Дирихле, а∂u = 0∂n S— задачей Неймана.
Здесь ∂/∂n обозначает производную по внутренней нормали кповерхности S , Конечно, в теории уравнений в частных производных рассматриваютсяи более сложные задачи, в которых задана линейная комбинация функции и ее нормальной производной, производная взятая под углом к нормали (задача о наклоннойпроизводной), нормальная производная на одной части поверхности и функция на другой ее части и т.п. Но мы здесь ограничимся только простейшими постановками Дирихлеи Неймана, на примере которых можно понять, как строится функция Грина. Начнеммы, как договорились, с уравнения Пуассона с однородным граничным условием, а вследующей лекции перейдем к уравнению Лапласа с неоднородным условием.ЕдинственностьПрежде, чем строить функцию Грина, надо убедиться, что у задачи нет нулевыхмод.
Иначе нам следует построить обобщенную функцию Грина.Теорема 11.1 . Принцип максимума. Гармоническая в D функция, непрерывнаявплоть до границы, может достигать максимума только на границе S .Предположим противное:M = max u(x) = u(x0 ) > max u(x) = m.x2Dx2SВведем вспомогательную функциюw(x) = u(x) +где d — диаметр областиM−m(x − x0 )‘2 ,2d2Dd = diam Dmax kx − x k.0x,x 0 2DМаксимум функции w в области равен по крайней мере M = w(x0 ). Значение функцииw на границе S не превосходитw|S 6 u|S +M−m 2 M+md =< M,2d22значит ее точка максимума тоже лежит внутри области D .
Пусть этот максимум достигается в точке x1 2 D , тогда все вторые производные в этой точке неположительны∂2 w6 0,∂x2ii = 1, . . . , n,11.2. Уравнение Пуассоназначит и их сумма,79w, тоже равна нулю или отрицательна. С другой стороны,4(M − m)n(M − m)n=> 0.2dd2w = 4u +4Полученное противоречие и доказывает требуемое утверждение.Следствие 1 — принцип минимума.
Гармоническая функция u(x) может достигать своего минимума только на границе. Для доказательства достаточно применитьпринцип максимума к гармонической функции −u.Следствие 2 — единственность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.Задача4u = 0,u|S = 0имеет только нулевое решение u 0. Действительно, если гармоническая функцияравна нулю на границе, она вследствие принципов максимума и минимума не можетотличаться от нуля и в области.Фундаментальные решенияКонкретный вид фундаментального решения уравнения Пуассона зависит от размерности пространства.