1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для поиска убывающего на бесконечности решения можно выполнитьпреобразование Фурье (13.7) и получитьGk,ω =1.+ k2−ω2Обратное преобразование Фурье по ω выражается интеграломGk (t) =∞Z−∞exp(−iωt) dω.k2 − ω2 2πВ отличие от уравнения теплопроводности, имеется трудность: полюсы подынтегрального выражения попали на контур интегрирования. Это означает, что интеграл расходится.
Чтобы получить конечное выражение, надо сдвинуть контур с полюсов хотя быв из окрестностях. Выбор контура называется правилом обхода полюсов. Каждый изполюсов в нашем случае можно обойти сверху или снизу, значит всего возможны четыреправила и нет никакого способа выбрать между ними, кроме физических соображений.Мы уже сталкивались с подобным примером, когда искали фундаментальное решениеуравнения Гельмгольца. Без физических соображений нельзя было выбрать одну издвух функций G+ или G− .В данном случае подходящим физическимсоображением является принцип причинности.ωНам надо найти такую функцию, которая обращается в нуль при t < 0. При t < 0 контур замыкается сверху.
Чтобы получился нуль, надо и-k+kполюса обходить сверху. При t > 0 контур замыкается снизу, тогда интеграл равен сумме вычетов!Θ(t)e−ikt eiktGk (t) = −2πi−.+2π2k2k13.2. Гиперболические операторы95Осталось выполнить обратное преобразование по k. Если перейти в сферическую систему координат с осью z вдоль вектора r, то интегралы по полярному и азимутальномууглам сразу возьмутся, а интегралы по k сложатся в один интеграл в бесконечных пределах∞Z Θ(t)Θ(t)(δ(r + t) − δ(r − t)) .eikt − e−ikt eikr dk = −G(r, t) = − 28π r4πr−∞Первую из получившихся δ-функций можно не писать, потому что она никогда не работает. При t < 0, когда ее аргумент мог бы обратиться в нуль, вклад первого слагаемоговсе равно нулевой из-за Θ-функции.Осталось восстановить в ответе штрихованные переменныеG(r, t; r 0, t 0) =Θ(t − t 0 )δ (R − (t − t 0 )) ,4πRR = r − r 0.Функция, полученная с таким правилом обхода полюсов, называется запаздывающейфункцией Грина.
Именно запаздывающая функция используется в классической электродинамике. Решение неоднородного волнового уравнения выражается в виде 4-кратногоинтеграла, который благодаря δ-функции сводится к 3-кратномуZZ1 Θ(t − t 0 )δ(R − (t − t 0 )) 0 01dr 000f(r 0 , t − R)f(r , t ) dr dt =u(r, t) =4πR4πRи называется запаздывающим потенциалом. В ответ вошло значение правой частине в момент времени t, а в более ранний момент t − R/c. Запаздывание происходит навремя, необходимое сигналу, чтобы дойти из точки r в точку r 0 .В частности, если f(r, t) = 4πδ(r − ρ(t)), т.е.
для точечного заряда, который движется по траектории r = ρ(t), интеграл берется и получаетсяu(r, t) =1,_R − ρRR=ctкоторый называется потенциалом Лиенара — Вихерта.Пользуясь формулами (13.12), можно найти и компоненты функции Грина второгорода1 ∂1(1)(2)GS =δ(R − t), GS =δ(R − t).4πR ∂t4πRРешение второй полуоднородной задачи выражаетсяинтегралом (13.10), который называется формулойКирхгофа.
Главное свойство этой формулы состоитв том, что решение в момент времени t выражается только через начальные условия на сфере радиусаR = ct, описанной вокруг точки наблюдения r. Этосвойство называется принципом Гюйгенса — Френеля и справедливо только в случае трех пространственных переменных.rУпражнение 13.1 .
Найдите функции Грина одномерного и двумерного волновых уравнений (формулы Даламбера и Пуассона, соответственно) и убедитесь, что для них принцип Гюйгенса — Френеля не выполняется.Лекция 14РезольвентаНиже мы введем понятия дискретного и непрерывного спектра и спектральногоразложения оператора. Затем мы покажем, как можно использовать технику построения функций Грина для решения простейших спектральных задач.14.1.Дискретный и непрерывный спектрВ конечномерном линейном пространстве и количество собственных значений исобственных векторов конечно.Пример 14.1 .
В пространстве CN задача на собственные значения для эрмитовой мат^ Aψ^ n = λn ψn , где ψn 2 CN — вектор-столбец, а λn 2 R — число, имеет Nрицы A^ − λE) = 0решений. Все они являются корнями характеристического уравнения det (Aстепени N.
Некоторые из собственных значений могут совпадать, тогда каждый кореньнадо считать столько раз, какова его кратность.В бесконечномерном гильбертовом пространстве имеется уже счетное число собственных значений и собственных функций.Пример 14.2 . Пусть дифференциальный оператор2^ =−dAdx2ψnn=41123xn=3n=2n=1−1^ из примера 14.2 , удовлетворяющиеРис.
14.1. Собственные функции ψn оператора Aнулевым граничным условиям на концах отрезка [0, π]: n = 1, 2, 3, 4. Номер моды равенколичеству нулей на [0, π). Справа показаны собственные значения — уровни энергии впрямоугольной яме с бесконечными стенками.9614.1. Дискретный и непрерывный спектр97действует на пространстве функций, которые обращаются в нуль на концах отрезка[0, l]: ψ(0) = ψ(l) = 0. Нормированные собственные функции и собственные значениятогда равныs2π2 n2xψn (x) =sin πn , λn = 2 , n = 1, 2, . .
. .lllНесколько функций показаны на рисунке 14.1. Такой спектр называют дискретным(или точечным) и обозначается σp .Если область определения оператора некомпактна, то наряду с функциями дискретного спектра, появляются функции непрерывного спектра.Пример 14.3 . Попробуем найти собственные функции оператора^ = −i d ,Adxпринадлежащие L2 (−∞, ∞). Это значит, что функции должны достаточно быстро убывать на бесконечности, чтобы интеграл от квадрата модуля функции сходился.
Можнопроверить, что ψk = eikx удовлетворяет уравнению для собственных функций с собственным значением k 2 R. Однако такая функция не лежит в L2 , интеграл от квадратаее модуля расходится.Среди функций пространства L2 решений нашей спектральной задачи нет, но решения имеются среди функций, близких к ψk . Если умножить на весовую функциюw(k) 2 L2 и проинтегрировать:Zw(k)ψk (x) dk,Ψ(x) =σcгде σc = R, то интеграл уже лежит в нужном пространстве Ψ 2 L2 .Если выбрать весовую функцию (волновой пакет ширины ∆k = ǫ), локализованную вблизи некоторого k = k0 , то функция Ψ близка к функции ψk в сколь угоднобольшой области пространства ∆x ∼ 1/ǫ → ∞, ǫ → 0, но уже интегрируема вместе сквадратом. Такие собственные значения мы назовем непрерывным спектром, а множество таких значений будем обозначать σc .
В данном примере σc = R. Сами функциибудем называть собственными функциями непрерывного спектра. Выберем, например,w(k) =ǫ/π.(k − k0 )2 + ǫ2При малых положительных ǫ весовая функция переходит в w(k) → δ(k − k0 ). Пакетпри ǫ 6= 0 становится интегрируемым вместе с квадратом:Ψ(x) =∞Z−∞ǫ/πeikx dk = eik0 x−ǫ|x|22(k − k0 ) + ǫ2L2 .Интеграл вычисляется с помощью вычетов, причем правило замыкания контура зависитот знака x, поэтому в ответ входит |x|.В некоторых книгах предлагается представлятьсебенепрерывныйспектр оператора, как предел дисx>0k кретного спектра из примера 14.2 , когда размер ящика неограниченно возрастает l → ∞. Расстояние межk0+i εду соседними собственными значениями λn+1 − λn =k0-i ε9814 РЕЗОЛЬВЕНТАπ2 (2n + 1)/l2 при фиксированном n стремится к нулюи говорят, что собственные числа сливаются в непрерывный спектр.
Такое вычислениенадо делать аккуратно и следить за порядком предельных переходов.Поскольку функции непрерывного спектра не лежат в L2 , их нормируют иначе(ψk , ψk 0 ) = δ(k − k 0 ),это называется нормировкой на δ-функцию.Вместе с функциями дискретного спектра функции непрерывного спектра эрмитова оператора образуют полную систему. Интегральное ядро можно разложить по этойсистеме.XXZ(j)(j)000^ i = A(x, x ) =λψλ (x)ψλ (x 0 ) dλ,hx|A|xλn ψn (x)ψn (x ) +(14.1)njσcгде первая сумма дает известное нам разложение оператора по проекторам на базисные векторы дискретного спектра σp , а вторая представляет собой интеграл по непрерывному спектру σc .
Сумма по j учитывает вырождение. Если собственному числу λ(j)принадлежит несколько функций ψλ (x), то надо просуммировать по всем j. В первойсумме вырождение учитывается автоматически: если есть несколько слагаемых с одинаковыми λn , то все они входят в разложение. Формула (14.1) называется спектральнымразложением оператора.14.2.Резольвента дифференциального оператораОпределение 14.1 . Резольвентой называется интегральное ядро оператора^ z = (z − A)^ −1 ,R^ z |x 0 i,Rz (x, x 0 ) = hx|Rгде z — комплексный параметр.Перечислим простейшие свойства резольвенты.1. Резольвента есть функция Грина для задачи^ u(x) = f(x).z−A^ Такие значениеЗадача разрешима, если z не принадлежит спектру оператора A.^z2/ σ(A) называются резольвентным множеством оператора.^ Это свойство2.
Собственные функции резольвенты те же самые, что и у оператора A.получается простым вычислением:^ = λψ ⇒ z − A^ ψ = (z − λ) ψ ⇒Aψ^ ψ = ψ = (z − λ) R^ zψ ⇒ R^ zψ =^z z − ARψ.z−λ^ то собственные знаОтсюда видно, что если λ собственные значения оператора A,^чения оператора R равны 1/(z − λ).14.2. Резольвента дифференциального оператора99zλ+i ελnλ−i ε0Рис. 14.2. Контур, по которому обходится полюс при вычислении вычета, и контур, покоторому обходится разрез при расчете скачка (ε → +0) .3. Спектральное разложение (14.1) резольвенты имеет видX ψn (x)ψ (x 0 ) Zdλ X (j)(j)n0+ψλ (x)ψλ (x 0 ).Rz (x, x ) =z − λnσc z − λ jσp(14.2)Данное свойство следует из предыдущего.Из разложения (14.2) видно, что у резольвенты есть два типа особенностей: полюсы отдельных слагаемых суммы и разрезы в подынтегральном выражении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
