1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Многообразие M Rn — это множество, каждая точка которогоимеет открытую окрестность, допускающую взаимно-однозначное и взаимно-непрерывноеотображение в открытое подмножество Rn .На рис. 5.1 показана точка a 2 M и две ее окрестности U, V, которые отображаютсяв R функциями f, g, соответственно. В образах окрестностей f(U), g(V) серым показанобраз пересечения окрестностей. Точка a отображается в точки x = (x1 , x2 , .
. . , xn ), y =(y1 , y2 , . . . , yn ). Если мы захотим перейти от точки x к точкеy, можно построить композицию отображений g f−1 . Если функция y(x) = g f−1 (x) является гладкой, то Mназывают гладким многообразием.Другими словами, в окрестности каждой точки многообразия можно локально ввести декартовы координаты (карту). Если переход с карты на карту осуществляетсягладкой функцией, то и многообразие гладкое.
Если любые две точки многообразия Mможно соединить кривой, целиком лежащей в многообразии, M называется связным.Если всякий замкнутый путь на многообразии M можно непрерывно стянуть в точку,M — односвязное многообразие. Замкнутое ограниченное многообразие будем называтькомпактным.Более подробно топологические и геометрические вопросы, связанные с гладкимимногообразиями, изложены в книгах [18,25]. Последовательное, но вполне элементарноевведение в топологию с многочисленными иллюстрациями имеется в книге [26]. Дляnff(U)Ux=f(a)ay=g(a)Vgg(V)MRnРис.
5.1. Отображение окрестностей U и V точки a гладкого многообразия M в евклидовопространство Rn . Функция y = g f−1 (x) должна быть гладкой.31325 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИнаших целей надо представлять себе, что характерным признаком многообразия служит«равноправие» всех точек.Пример 5.1 .
На прямой R отрезок (сегмент) a 6 x 6 b не является многообразием, поскольку концевые точки a, b неравноправны с внутренними точками. Интервалa < x < b — многообразие, вся числовая ось R тоже многообразие. Интервал можно,растягивая, непрерывно отобразить на всю числовую ось, поэтому говорят, что интервал и ось гомеоморфны.
Окружность S1 : x2 + y2 = 1 тоже одномерное многообразие наплоскости, но в отличие от предыдущего, компактное. Чтобы отобразить его на интервал, нужно разорвать окружность, удалив одну точку, либо склеить концы интервала,добавив одну точку. Отображение с разрывами или склейками не непрерывное, поэтомуS1 и R не гомеоморфны.В качестве двумерных примеров рассмотрим сферу S2 : x2 +y2 +z2 = 1 и тор T 2 .
Сфера представляет собой односвязное многообразие. На торе имеются контуры, которыенельзя гладко стянуть в точку, поэтому многообразие неодносвязное. Оба примера —связные компактные многообразия, а их объединение S2 [ T 2 — тоже многообразие, нонесвязное.5.2.Группа ЛиОпределение 5.2 . Группа Ли G — это непрерывная группа, которая одновременноявляется гладким многообразием. Предполагается также, что групповая операция инахождение обратного элемента задаются гладкими отображениями GG → G и G → G.Чтобы проверить, является ли данная группа группой Ли, вводят локальные координаты x = (x1 , x2 , .
. . , xr ). Процедура введения координат называется параметризацией группы, а минимально необходимое число действительных параметров r — размерностью группы r = dim G. Начало координат принято выбирать в единице группы.Вместо таблицы умножения непрерывная группа задается функцией 2r переменных.Пусть при умножении элементов с координатами x, y получился элемент с координатойz: g(z) = g(x) g(y). Тогда z = ϕ(x, y) называется функцией умножения.
Если припроверке оказалось, что функция ϕ(x, y) — гладкая, то G — группа Ли.Групповое свойство накладывает три ограничения на функцию умножения:1) ϕ(ϕ(x, y), z) = ϕ(x, ϕ(y, z));2) ϕ(x, 0) = ϕ(0, x) = x;3)x y : ϕ(x, y) = ϕ(y, x) = 0.8 9В приложениях нас будут интересовать матричные группы Ли G < GL(n, R) илиG < GL(n, C), т.е. подгруппы группы всех невырожденных преобразований n-мерноголинейного пространства над полем действительных или комплексных чисел.Размерность полной группы линейных преобразований dim GL(n, C) = 2n2 . Ееподгруппы задаются набором некоторого числа k уравнений связи, поэтому имеют мень2шую размерность r = 2n2 − k.
В пространстве R2n k уравнений задают r-мерное многообразие. Если условия задаются равенством нулю вещественно-аналитических функций координат, то многообразие получается гладким. В матричной группе GL(n, C)можно ввести координаты. Вычтем из матриц A, B единичную матрицу E и обозначимA − E = X, B − E = Y, а элементы матриц X, Y будем считать координатами матриц A, B.5.2. Группа Ли33Найдем координаты произведения и тем самым функцию умножения (которая тожепредставляет собой квадратную матрицу)ϕ(X, Y) = (E + X)(E + Y) − E = X + Y + XY.Можно убедиться, что все три свойства выполнены. Проверим, например, первое:ϕ(ϕ(X, Y), Z) = ϕ(X, Y) + Z + ϕ(X, Y)Z = (X + Y + XY) + Z + (X + Y + XY)Z,ϕ(X, ϕ(Y, Z)) = X + ϕ(Y, Z) + Xϕ(Y, Z) = X + (Y + Z + YZ) + X(Y + Z + YZ).Пример 5.2 .
Размерность группы всех линейных преобразований над полем комплексных чисел dim GL(n, C) = 2n2 , потому что всего в матрице n2 комплексных чисел.Символ SL(n, C), где буква S означает «специальную» группу, состоящую из унимодулярных матриц (матриц с равным единице определителем). Равенство единице определителя — это одно дополнительное комплексное условие или два действительных, поэтому dim SL(n, C) = 2n2 − 2.U(n, C) означает группу унитарных матриц, т.е. таких, для которых эрмитовскисопряженная совпадает с обратной U−1 = Uy .
Чтобы найти размерность, пересчитаем дополнительные условия: первая строка должна быть ортогональна (n − 1) строке, вторая — (n − 2) строкам,. . . , предпоследняя — одной, последней. Всего получаетсяn(n−1)/2 комплексных условий или n(n−1) действительных. Имеется также n действительных условий нормировки на единицу каждой строки. Вычитая из 2n2 количествоусловий, найдем dim U(n, C) = n2 . В обозначении унитарной группы для краткостииногда не пишут знака поля комплексных чисел, а подразумевают.SO(n, R) — группа ортогональных унимодулярных матриц: g−1 = gT , det g = 1. Изразмерности dim GL(n, R) = n2 надо вычесть n(n − 1)/2 (соотношений ортогональностистрок или столбцов) и n условий нормировки. Получится dim SO(n, R) = n2 − n(n −1)/2 − n = n(n − 1)/2. В обозначении группы ортогональных матриц тоже иногда пропускают для краткости знак поля действительных чисел. Группы SO(p, n − p, R) — этогруппа преобразований сохраняющих норму ρ2 = x21 + + x2p − x2p+1 − − x2n .
В частныхслучаях p = 0 или n такая группа изоморфна SO(n, R). При других p и фиксированномn группы отличаются, но размерность остается той же самой.Параметризация группы Ли может быть разной, но число координат остается равным размерности группы.Пример 5.3 . Поворот g 2 SO(3) можно рассматривать как последовательность поворотов на угол α1 вокруг оси x, на угол α2 вокруг оси y и на угол α3 вокруг оси z.
Тогдаматрица поворота дается произведением трех ортогональных матриц010101os α2 0 sin α2os α3 − sin α3 0100BCBCB10 A 0 os α1 − sin α1 C(5.1)g(α1, α2, α3) = sin α3 os α3 0A 0A.001− sin α2 0 os α20 sin α1 os α1В соответствии с нашим соглашением g(0, 0, 0) = E.Замечание 5.1 . Обратите внимание, что знак синуса во второй матрице (5.1) не такой,как в первой и последней. Чтобы разобраться в знаках, обратимся к рисунку 5.2. Вместотого, чтобы повернуть вектор OA в положительном направлении на угол α, мы поворачиваем на тот же угол координатные оси, но в отрицательном направлении.
Опустим източки A перпендикуляры AP и AD на старые координатные оси, тогда OP= x, OD= y.Опустим перпендикуляры AC и AB на новые оси, тогда OB= x 0 , OC= y 0 . Опустим также перпендикуляры PQ и PR на новые оси из точки P. Теперь заметим, что углы QOP,345 ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИCDOy’yARαααPxBQx’Рис. 5.2. К выводу матрицы вращения вокруг оси z на угол α.z(a)xzy(b)xzy(c)yxРис. 5.3. Схема вращения вокруг координатных осей.OPR и BAP равны α.
Отсюда x 0 =OB=OQ-BQ=OPos α−AP sin α = x os α − y sin α.Аналогично, y 0 =OC=OR-RC=OP sin α+APos α = x sin α + y os α. Значит в матрицевращения вокруг оси z знак минус стоит перед синусом в первой строке, потому чтовращение идет от оси x к оси y, как показано схематически на рисунке 5.3 c. Аналогично знаки расставлены и при вращении вокруг оси x, см. рис. 5.3 a. Только при вращениивокруг оси y (рис. 5.3 b) поворот идет от оси z к оси x, поэтому знаки получаются другими.Можно поворот рассматривать как вращение на угол ψ вокруг единичного вектораn, координаты которого на единичной сфере даются углами θ, ϕ в сферической системе координат. Получилась другая параметризация.
Увеличим радиус единичного шарадо значения π, тогда можно отсчитывать координату ψ вдоль радиуса и каждая точкавнутри шара на рис. 5.4 соответствует элементу группы. Повороты на угол π 6 ψ 6 2πможно рассматривать как повороты на угол 0 6 ψ 6 π вокруг вектора −n. Однакоповорот ровно на угол π вокруг осей n и −n — это одно и то же преобразование, поэтому мы должны отождествить все пары диаметрально противоположных точек сферы(говорят, что сфера кусает сама себя). Получившееся множество и есть многообразиеSO(3), потому что отождествив противоположные точки сферы, мы убрали границу исделали все точки равноправными.
Многообразие получилось связным, но неодносвязным, потому что мы не можем стянуть в точку путь, проходящий через концы диаметрашара. Диаметрально противоположные точки останутся противоположными и нам неудастся свести их в одну. То, что нам не удалось нарисовать данное многообразие безсамопересечений, означает, что оно не вкладывается в трехмерное пространство. SO(3)вкладывается в четырехмерное евклидово пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
