1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (828614), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ось в свою очередь задается двумя координатами, например, сферическими координатами θ, ϕ единичного вектора n на единичнойсфере. Всего необходимы три координаты, значит dim SO(3) = 3.1.2.Абстрактная группаЧтобы не рассматривать каждый пример симметрии отдельно, отвлекаются отнаглядных геометрических соображений и вводят общее понятие абстрактной группы.Определение 1.2 .

Группой G называется множество объектов с бинарной операцией, которая обладает следующими свойствами1. (a b) c = a (b c)2.91, 8a 2 G : 1 a = a 1 = a3.8a 2 G, 9a−1 : a−1 a = a a−1 = 1ассоциативность;существование единицы;существование обратного элемента.Операция обычно называется умножением и ее знак не пишут. Коммутативностьв определении не предполагается. Если все же все элементы группы перестановочны,группа называется коммутативной или абелевой. В абелевых группах операцию иногда обозначают знаком +.Можно рассматривать отображения одной группы на другую φ : G1 → G2 .

Еслитакое отображение сохраняет операцию, т.е. φ(ab) = φ(a)φ(b), то отображение называется гомоморфизмом. Если гомоморфизм к тому же оказался взаимно-однозначнымотображением, он называется изоморфизмом и обозначается G1 G2 . Изоморфныегруппы в математике считаются одной и той же группой, т.е. группы изучаются с точностью до изоморфизма. В физике иногда надо учитывать, что две группы различны,хотя и изоморфны. Мы будем в каждом таком случае это специально оговаривать.Начнем мы с изучения конечных групп. Конечную группу можно задать по крайней мере тремя способами:1. Таблицей умножения.2. Как подгруппу некоторой группы подстановок.1.3.

Группа треугольника73. Порождающими элементами и определяющими соотношениями.Последний способ применяется и для бесконечных дискретных групп.Пример 1.5 . Циклическая группа Cn порядка n порождается одним элементом Cn ,который мы обозначим r. Тогда определяющее соотношение rn = 1, а вся группа записывается как Cn = {1, r, r2, . . . , rn−1 }.

Циклическая группа, иногда называемая группойn-угольной пирамиды, естественно абелева. Чтобы не путать группы с элементами, например осями, мы будем обозначать их жирными буквами.Пример 1.6 . Группа призмы (или правильного многоугольника) Dn имеет кроме осиn-го порядка Cn еще и перпендикулярную ей ось второго порядка C2 , мы обозначимпорождающие элементы r и p, соответственно.

Группа неабелева, поэтому кроме очевидных соотношенийrn = 1, p2 = 1(1.1)имеется третье определяющее соотношение, которое показывает, как коммутируют порождающие элементы. Если повернуть систему на угол 2π/n, ось второго порядка перейдет в другую ось также второго порядка, значит(pr)2 = 1.(1.2)Tри соотношения (1.1),(1.2) порождают группу многоугольника (или диэдра) порядка|Dn | = 2n.1.3.Группа треугольникаДля определенности рассмотрим группу симметрии равностороннего треугольникаD3 , которая порождается поворотом r на 2π/3 вокруг оси третьего порядка, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр тяжести (мы представляем себе треугольник на рис. 1.1(a) изготовленным из однородного материала) иповоротом p на угол π вокруг медианы.

Группа задана первым способом, соотношениями r3 = p2 = (pr)2 = 1. Проверим, например, последнее. Для этого пронумеруемвершины треугольника и условимся, что r, p вращают против часовой стрелки, причемp вокруг вертикальной оси. Тогда32pr 1 42 = p 3 41 =21 43 ;23pr 1 43 = p 2 41 =31 42(1.3).треугольник вернулся в исходное состояние, значит (pr)2 = 1 — тождественное преобразование.Вместо вращения треугольника мы могли бы перемножать подстановки из трех номеров его вершин. В группе P3 как раз 6 элементов, циклические подстановки отвечаютr, r2 , а транспозиции (перестановки пар) соответствуют элементам p, pr, pr2:!1 2 3,1→1 2 3!1 2 3r→,3 1 2!1 2 3p→.2 1 3Можно убедиться, что определяющие соотношения получатся точно такими же r3 =p2 = (pr)2 = 1 :!1 2 3pr =2 1 3!!1 2 31 2 3=,3 1 21 3 21 2 3(pr) =1 3 22!2!1 2 3== 1.1 2 381 СИММЕТРИИТаблица 1.1.

Таблица умножения D3 .1rr2pprpr211rr2pprpr2rrr21prpr2pr2r21rpr2pprpppr2pr1r2rprprppr2r1r2pr2pr2prpr2r1Поскольку вращения треугольника (1.3) свелись к перестановкам номеров его вершин, мы построили изоморфизм групп P3 D3 . Кстати, мы задали группу треугольника еще и вторым способом.

Осталось для полноты задать ее третьим способом, в видетаблицы умножения. Договоримся ставить p впереди, т.е. записывать группу в видеD3 = {1, r, r2, p, pr, pr2}.(1.4)Элементы, у которых впереди стоит r, выразятся через выписанные если воспользоваться соотношениями (1.1), (1.2), например, r2 p = pr, rp = pr2 и т.п. Получитсятаблица 1.1. Перед первым столбцом таблицы 6 6 мы написали нулевой столбец спервым сомножителем, а перед первой строкой — нулевую строку со вторым сомножителем.

Можно было этого и не делать, потому что нулевой столбец совпадает с первым,а нулевая строка — с первой благодаря свойствам единичного элемента.В каждой строке (и в каждом столбце) таблицы расположены все элементы группы (1.4), причем каждый встречается по одному разу и порядок расположения в каждой строке получился различным. Разграничивающие линии после третьего столбца итретьей строки проведены, чтобы подчеркнуть разницу между сегментами таблицы. Влевом верхнем и правом нижнем сегментах стоят степени r, а в правом верхнем и левомнижнем сегментах — только элементы, содержащие p.Речь шла о группе симметрии треугольника (или треугольной призмы) в трехмерном пространстве, где разрешаются перевороты, выводящие из плоскости. Равносторонний треугольник в плоскости обладает группой симметрии C3v , в которую включаютсяповороты вокруг оси третьего порядка и отражения в плоскостях, проходящих черезэту ось и медианы.

Если обозначить r = C3 , p = σv , то вернувшись к соотношениям(1.3), можно убедиться, что преобразования описываются теми же соотношениями (1.1)и (1.2), поэтому группа изоморфна рассмотренной: C3v D3 .Дополнительная литератураЗадачи по элементарной теории групп, можно найти в сборнике [1], содержание которого примерно соответствует настоящим лекциям.

Приложения теории групп в физике, в основном, в квантовой механике хорошо изложены, например, в учебниках Ландауи Лифшица [2], Петрашень и Трифонова [3], Мессиа [4]. В качестве введения в предмет можно также рекомендовать книги [5–8], где разобрано много простых примеров.Многие другие приложения теории групп в молекулярной, атомной и ядерной спектроскопии, физике твердого тела, теории поля, элементарных частиц и т.п. можно найти вкнигах [9–14].Введение в математическую теорию групп имеется в любом учебнике по общейалгебре, например, [15].

Строгое последовательное изложение теории групп содержится1.3. Группа треугольника9в [16], а теории представлений конечных групп — в [17]. По непрерывным группам первоначальные сведения можно почерпнуть из [18], подробности имеются в учебнике [19].Неприводимые представления групп Ли разобраны в справочнике [20], а доказательстватеорем имеются в книгах [21,22]. Дополнительные ссылки на литературу по отдельнымразделам приведены в соответствующих лекциях.Лекция 2Основные понятия теории групп2.1.Правые смежные классы. ИндексЧтобы разобраться со структурой групп, введем понятие смежных классов.

ПустьH — подгруппа, а g — элемент группы G. Обозначим Hg множество, состоящее из произведений элементов подгруппы на g: Hg = {hi g, hi 2 H}.Определение 2.1 . Правыми смежными классами группы G по подгруппе H называются множества Hgk , gk 2 G.Вся группа G разбивается на классы G = Hg1 + Hg2 + + Hgn , n = |G|, где мыпишем знак “+”, а подразумеваем объединение множеств “ [”.

Аналогично, можно былобы разбить группу на левые смежные классы G = g1 H + g2 H + + gn H. Число классовполучилось бы тоже самое, но сами классы были бы, вообще говоря, другими.Теорема (Лагранжа). Правые смежные классы не пересекаются либо совпадают.Пусть нашелся элемент g 2 G, который лежит сразу в двух смежных классах: g 2Hg1 , g 2 Hg2 . Тогда по определению правого смежного класса найдутся такие h1 , h2 2 H,−1что g = h1 g1 = h2 g2 . Отсюда g1 = h−11 h2 g2 . Тогда для любого h 2 H: hg1 = hh1 h2 g2 , т.е.Hg1 Hg2 . Поскольку группа не знает, как мы пронумеровали ее элементы, точно также можно показать, что Hg2 Hg1 .

Отсюда следует, что классы совпадают Hg1 = Hg2 .Любой элемент группы попадает в какой-нибудь класс, потому что в подгруппе естьединичный элемент. Значит мы разбили всю группу на равные по числу элементовмножества.Рассмотрим теперь только различные правые смежные классы, их количество называется индексом подгруппы в группе и обозначается |G : H|. Обозначение не случайно похоже на знак деления. Так как число классов целое, из теоремы Лагранжа следует,что индекс подгруппы равен отношению порядков|G : H| =|G|.|H|(2.1)Другое важное следствие — утверждение, что порядок подгруппы делит порядок группы. Если, например, порядок группы G — простое число, то можно сразу сказать, чтоподгрупп в ней нет, кроме 1 и самой группы G, которые иногда называют тривиальнымиподгруппами. Как видно из следующего примера, теорема Лагранжа позволяет найтипорядок группы.Пример 2.1 .

Характеристики

Список файлов лекций