1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В качестве двух генераторов можно выбрать производные Хг — — (0,0,0) = ~0 .) =3тз, (,О -ву Г ог~ Х„= — (0,0,0) = = воз. дг '' Поскольку ГУ(4',0,>р) не зависит от р при 0=0, в качестве третьего генератора можно взять ! ОГГ г'О !'> Х„= —,— (О,О,О) = ~ . ) =го Ь вюг! д>р 318. Лопироипгь пзпаиорфизи группы ЯГг(2) пп группу ЯО(3). Реимиие. Матрицы из Яб'(2) имеют вид (-Р 'а) гле а и д — произвольные комплексные числа, подчиняюшнеся только условию аа>+Ду'= !. Группа ЯГ>(2) всех таких матриц — это группа линейных преобразований (!0.9) и=па +)уе, э= -)3 и +а о, 244 Глава 10. Непрерывные группы оставляюших инварнантной форму ии*+по'.
С помошью комплексных переменных можно определить три действительных переменные х~=и о+оп, хг=-з(и о-о и), из=ив — оп'. (10.10) При этом х, + хг + аз — — (и'и+ о*о) . (1О.! 1) Линейное преобразование (10.9), примененное к (10.10), индуцирует линейное преобраювание переменных хихг,хз, принадлежашее в силу равенства (10.1!) ортогональной группе ЯО(3). Выпишем это линейное преобразование: х, = — (а +а *-!3 -)3 )х~+ 2 ++а +а ' — !3 +)) )хг+ (-а)3 — а Л')хз, 2 г г» г г» хг = — (а - а - )3 +)3 ) х', + 2 ггм)» хг = (а!3'+а )3)х, +з(а"Д-а)3 )хг+ (аа -П!3')хз.
Это отображение ие точно, матрицы представляются единицей группы 50(3). 319. Показать, что трехмерное евклидова ярастрангтво, где скобкой Ли глузкит операция векторного умнохгения, есть алгебра Ли. Какой группе соответствует данная алгебра Ли? Решение. Лг есть линейное пространство, в котором задано векторное произведение: (а х Ь) Е Кз. Векторное произведение удовлетворяет всем свойствам скобок Ли. Поэтому Кз есть алгебра Ли, ее размерность равна 3.
Лля восстановления группы Ли по ее алгебре достаточно заметить, что любому вектору можно поставить во взаимно-однозначное соответствие аитисим мстричную матрицу 3 х 3: а -а, 0 аг Таким образом, Кз иэоморфно апгебре антисимметричных матриц 3 х 3, причем в этом случае векторное произведение переходит в коммутатор матриц. В качестве базисных векторов в алгебре можно взять единичные вектора, которые, как легко видеть, соответствуют генераторам уи гг, 1з— 245 10.3. Примеры инфинитезимальным матрицам поворота (найдены в задаче (а)). Отсюда слелует, что соответствующая группа есть группа ортогональных матриц 3х 3, которая представляет собой стандартное представление группы врашений ЯО(3).
Данное представление .01 гг неприводимо, соответствует моменту у = 1. 321. Пусть АнАг,Аз — антизрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношениям А~Аз — АгА~ =Аз, АгАз-АзАг = Ан АзАг — АгАг = Аг (10.12) Рассмотримлинейные комбинации Нь=гА~-Аг, Н =гАг+Аг, Н,=гАэ. (а) Показать, что (Нь Н-)т2Нг !Н*,Нз)=ТНь (б) Пусть ог — собственный вектор матрицы Нз, соответствующий собственному значению Л. Показать, что Н, ог — собственный вектор Нг, соответствующий собственному значению Л+1, а Н ог — собственный вектор Нг, соответствующий собственному значению Л вЂ” 1.
Найти норму векторов Йьиг если !!ой = 1. Решение. (а) Коммутационное соотношение получается прямым вычислением. Решение. (б) Пусть Нгог — — Лог — собственный вектор матрицы Нз, отвечающий собственному значению Л. Тогда, согласно коммутационному соотношению Ня с Нз, НгНеог — — Нь(Нг~1)ох =(Л~1)Ньеы Значит, Н,, Н вЂ” соответственно повышаюший и понижаюший опера- торы. Таким образом, Н,ог =)угоны, Н ог — — огог где числа аг и 13г определяются условиями нормировки 1эг~ = 1 лля всех Л. Найдем числа аг и гды Так как матрицы Н~ и Н эрмитово сопряжены, 320. Пусть У(в,уг) — функция, заданная иа сфере единичного радиуса, д — поворот на угол а вокруг оси Ог, которому соответствует матрица Т(д).
Найти УгУ(В,1о), где Тг — генератор поворота вокруг оси г. Решение. Поскольку Т(д)У(В,гр) =У(в,ьг-о), то Т(д)У(В, р)= У(В, р) — ' + ... =о угУ(В Р) =— ВУ(в, Р) дУ(в, уг) дуг дзз 246 7!>ава 10. Ненрврывные груням (Н+е»,е»+>) = б»(е»ь>,е»ь>) = )7», (е»,Н е»+>)= а»+>(еме»)= о»„>, поэтому 71»=о»+>. (10.13) Три генератора группы А>,А>,А» образуют замкнутую алгебру. Из них можно построить оператор, который коммугнрует со всеми генераторами группы (оператор Казимира) С= — (Аз+Аз»+Аз). Выразим оператор Казимира через матрицы Н: з С= — (Ньи +И И+)+И = 2 (10.14) 3 = из + и-Нь+Нз = из + Н+Н- Нз. » Пусть з максимальное собственное значение оператора Нз, т.е.
и+ел =О, тогда из (ВЛ14) получим (ез,Сез)= 7(1+1). Выберем среди собственных векторов Из те, которые одновременно являются собственными векторами оператора С с собственными значениями .7(7+1). Они получаются из ез с помошью многократного действия оператора Н . Пусть Л вЂ” собственное значение. которое меньше,7.
Тогда 1 1 Н+е» > — — — Ньн е»= — (Н Н++2Н>)е»>в а» а» 1 = — (а»ь»3»+2Л)е»=>3» >е». а» Отсюда, учитывая (10.13), получаем 77»+2Л ы >5» (10.15) Если Л=.7, то Н+е»вЂ” - 0 и, следовательно, рзз >=2Х. Используя (10.15), по индукции легко получить Щ=.У(в+1) — Л(Л+1). Отсюда по (10.13) имеем а> =,7(Х+ 1) — Л(Л вЂ” 1). Таким образом, Н „=Л ч,=ч»»»-»>-», „ ч,, „>>» ° Ч»>~»„,„ 322.
Заказать, что все собственные значения матрицы Нз суть целые и>и новуцелые числа: -7,— 7+1,...„1 — 1,7. 10.3. Примеры 247 Ревшвве. Действуя последовательно степенями понижающего оператора Н на собственный вектор старшего веса ею получаем набор собственных векторов ез,вг ь..,. Последним вектором в этом наборе будет вектор е з, так как Н е з =О. Число всех собственных векторов в представлении с данным Х равно 2Х+!.
Значит, Х вЂ” целое или полуцелое число. 323, Найти нозффиииеншы Квебша — героина Сз = (2 т!у~ гп|Яз тз), Йт!узтз)=И~т1)ВУзтз) !3т)гв(3т Из) двя 1~ = 1 уз = 2, у = 1, г» = О. Рещение. Начнем с вектора с максимально возможным при у' = 1 зна- чением гв = 1 (вектора старшего веса), который разложим по возможным состояниям с моментами у, и Хн используя соотношение гп=т, +гпз, !11)г ш!10)!21)+4!1)~20)+ у(1 — 1)!22), (10 16) где коэффициенты п,)1,7 надлежит найти.
Обозначим буквой е' про- странство с базисом !! — !), 11 0), (! 1), а У вЂ” пространство с базисом )2-2), )2 — 1), !20), !2!), !22). Тогда повышающий оператор Х„действующий в пространстве УЭУ, можно записать как Х~ =Х~ВЕ +Е ЮХ„, гле Е',Е' — единичные операторы, а Х,', Хз — повышающие операторы, действующие в пространствах У, У. Подействуем на обе части (10.16) повышающим оператором Х, и воспользуемся формулой для его матричным элементов "г )=тБ+о:йаз м~. Получится 0= Г2а)11)(21)+2о!10))22)+ зГ61у!1!)!21)+зГ27!10))22), откупа найдем а Г2+(зГ6=0, 2о+узГ2=0 Третье соотношение дается нормировкой а +(1'+7~=1, отсюда а= Л =-',-' =-д Теперь подействуем на вектор старшего веса (!О.!6) понижающим оператором и приведем подобные члены.
Получится разложение зГ2(10) = (а42+ 27))1 — 1)!21) ч- (о46+Д Г2)!10)!20) +)узГ6!! 1)!2 — 1). 248 Глава 1О. Непрерывные группы В итоге найдем все три искомых коэффициента Клебша — Гордана )з С, »2,=С„2»=-) —, Ч 1О' »О 2 С!020 = и'1О 324. Сколько независимьп компонент у тензора 2-го ранга, инвариантного относительно действия группы С, если Р является группой симметрий треугольника? Рещение. Заметим, что симметрии треугольника образуют подгруппу группы собственных вращений трехмерного пространства. Далее, воспользовавшись тем, что повороту на угол уз соответствует характер 1+2соз»р, и тем, что след тензорного произведения матриц равен произведению следов сомножителей, можно вычислить характер представления группы треугольника.
Пусть а„оз, аз — классы сопряженных элементов группы треугольника, как в заааче 291, тогда а, аз гз 7« 9 О 1 Кратность вхождения единичного представления равна двум, значит имеется две независимые компоненты. Ь 325. Показать, что операния перестановки индексов каимутнрует с действием группы й на пространстве тензоров ранга г, Рещевие.
Этот факт устанавливается непосредственной проверкой. Пусть элементу д из С соответствует матрица Ро, тогда (ат)пт „= т„н, 0...=П„онзн,..,П „,п,нт„н,,лью= = Р,», Пт«(от)«, «, =»»ат) 326. Какова размерность надпространства симметричных тензоров 3-го ранга? Рещение. Для компонент симметричных тензоров 3-го ранга выполняются равенства: Яз« =Я м=б«2 =5 «=Я«2,=8»з, »=1,2,3, 3= 1,2,3, й=1,2,3. Легко видеть, что имеется 17 независимых условий на компоненты. Поскольку размерность пространства тензоров 3-го ранга равна 27, то надпространство симметричных тензоров имеет размерность 1О.
327. Представление Р' конечной группы б получается из данного Р путе«» простого комплексного сопряясения. (Если Р' и Р совпадают, то Р называют вен»есп»венным представлением.) Рассмотрим прямое произведение Р = Р»ьи 8 Р'»0 неприводиньп представлений группы 6. Доказать, что в ратолсении Р на нелриводимые тозкдественное представление моисею встретиться л»а»ько в том случае, ес.т Р»"' = Р»Л'. 249 10.4. Задачи Решение.