1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 39
Текст из файла (страница 39)
По определению, преобразованные волновые функции есть $8(г') = У(2$)гР(г') = $в(г) — гР(К ' г' ) (11.9) Опуская штрихи, запишем эти равенства в виде сГ(К)гр(г) = гР(11 $г), гГ~'(ЩЯг) = тр(йг). (11.10) Для любых состояний $$ и у, которые получены из $в и у под действием оператора У(И), имеем аг)з(г)гЯ(г) = ~бг)" (г( 'г)гвгР(зт 'г) = = / Игу*(г)(22г) $г(г). (!1.11) (у(я) гр = $г тз, Пб)Ф„= Х, Ф, (11.$3) и набор операторов (О ), преобразуюшихся по нсприводимому представлению (11.8). Тогда справедливо следующее утверждение: лля того, чтобы матричный элемент Мг =($$„$О.($$,„) был отличен от нуля, необходимо, чтобы в разложении прямого произведения представлений Здесь мы испольювали замену переменных 2$ 'г — г и инвариантность меры интегрирования при поворотам.
Таким образом, мы доказали, что трансформационные свойства операторов г совпадают с трансформационными свойствами соответствующего матричного элемента (У$г (Й = 21 р(1$гр)гР). (!!.12) Для лругих операторов зто свойство доказывается аналогично. Примврг Пусть С=80(3) — группа вращений трехмерного прострайства. Неприводимые представления этой группы имеют размерность 21+ 1(1 =0,1,2,...), где 1 в физической литературе называется орбитальным моментом. Тогда: (а) лапласиан Л инвариантен относительно вращений, т.
е. преобразуется по тождественному представлению (1 =О): (б) тройка операторов г (п=1,2,3) — компонент радиус-вектора г— преобразуется по неприводимому представлению с орбитальным моментом 1= 1; (в) тройка операторов — проекций углового момента 1„= -1(г х зг)„— также преобразуется по представлению с 1= 1; (г) пятерка операторов — компонент тензора квадрупольного момента с!в=с,гр — убчггз преобразуется по неприаодимому прелставле- 1 нию с 1=2.
Рассмотрим теперь два набора волновых функций: (гр„) и (ф„), преобразуюшихся по неприводимым представлениям (г и $т группы С: 2б2 Глана 11. Применения теории групп е физике У'ЗФЗ И' в прямую сумму неприводимых хотя бы один раз встретилось то:кдественное представление. Для доказательства рассмотрим тождество М„'т = (ф„((7-'(д)!7(д)ОЗГГ-'(д)ГГ(д)!ф„) = = (ГГ(д)ф„(Г7(д)ОР-'(д) (Р(д)ф„), при выводе которою мы использовали унитарность оператора (7(д). Учитывая трансформационные свойства ф„, ф (11.13) и О (11.3), получаем М~~~ = Ъй(д)Фзу (д)И ты(д)Мз.. =Т„„,,(д)Мз,, (1!.14) Это равенство справедливо для произвольного элемента д из группы О, а матричный элемент Мз в этом равенстве никак от д не зависит. Матрицы Т„"„,,(д) образуют представление группы О, явллюшееся прямым произведением неприводнмых представлений У*, Ф н И'. Разложим это представление в прямую сумму непрнводимых Т(д) =~ схР~ 1(д) х и просуммируем обе части равенства (11.14) по элементам д группы О, При этом сумма матриц Р" (д), соответствуюгцих неприводимому представлению, отличному от тождественного, лает нуль.
Это является следствием соотношения ортогональности неприводимых представлений (9.2). Отсюда следует, что матричный элемент Мз может быть отличен от нуля, только если в разложении прямого произведения представлений Т =- У' З Ф З И' в прямую сумму непринодимых присутствует тождественное представление.
Согласно результату задачи 327, правило отбора можно переформулировать так: чтобы матричный элемент (ф„!О1!ф ) был отличен от нуля, необходимо (но нелостаточно!), чтобы в разложении прямого произведения представлений ФЗ Иг на неприводимые хотя бы один раз встретилось У. Заметим, что доказанное утверждение есть следствие только трансформационных свойств волновых функций и операторов, а также инвариантности меры. Если оператор О преобразуется по приводимому представлению, то следует разбить его на непринодимые составляюшие и установить перехолы, разрешенные для каждой неприводи мой компоненты отдельно. Многочисленные примеры использования теории групп в разнообразных физических задачах можно найти в книгах (ПТ67, МУ72, ЛЛ74, РФ701 263 11.4.
Лримеры 11.4. Примерьз 344. !!айти кратности вырождения собственных мод малых колебаний «молекулы», состоящей из трех одинакавыл атомов», которые могут двигатьея ннмько вдсыь окрухсности (рис. 1!.1). Гаиильтониан системы имев!я вид з з Н= — ~~з Рз+-~~~ (хз.— х!.!), хззвхь (11.15) з=! з=! где х — отклонение 1-го амана от лоло!кения равновесия, Р— сонряхсенный имнульс. Решение. Группа симметрии системы совпадает с группой Рз — — Яз симметрии равностороннего треугольника. Она разбивается на трн класса сопряженных элементов: е — единичный элемент, сгз — циклические перестановки всех трех атомов (содержит 2 элемента), оз — перестановки пары атомов (содерзкит 3 элемента).
Имеется 3 неэквивалентных неприводимых представления этой группы, и соответствуюшая таблица характеров приведена в решении задачи 291. Поскольку в данном случае движение каждого Рве.11.1. Массы на кельне, атома одномерно, то исходное представление молглируюшие *молекулу группы Рз действует в трехмерном пространстве векторов-амплитуд. Чтобы найти вырожаение по частотам, разложим исходное представление на неприводимые. Для этого найдем характер этого представления. Он равен числу векторов-амплитуд атомов, не подвергающихся изменению при действии данного элемента группы: х(е)=3, х( з)=-О, х(оз)т1.
Разложим характер в сумму неприводимых характеров х(у) = Е сзх!(у), гле Хз(у) — характер элемента у в 1-и неприводимом представлении, а с, — кратность вхождения представления в разложение. Воспользовавшись ортогональностью характеров, найдем коэффициенты сз! с, =1, сз = О, сз = 1. Таким образом, исходное представление разлагается на одно единичное и одно двумерное неприволимые представления. Это означает, что система имеет две собственные частоты, одна из которых лвукратно вырождена.
Найдем эти частоты. Собственным лля тозкдественного представления является вектор-амплитуда, не меняюшаяся при любых 264 Глава 11. Применения теории групп в физике групповых преобразованиях, т.е. перестановках атомов. Это, очевидно, Ь! = ( 1, 1, 1). Из уравнений движения г — — |е Ь! —— — 2Ь! + Ьг + Ьз Ь вЂ” — и| Ьг=Ь! 2Ьг+Ьз Ь г — — ы Ьз=Ь|+Ьг — 2Ьз Ь (11.16) нахолим, что собственная частота моды Ь' равна нулю (однородная трансляция влоль окружности не требует сжатия пружин).
Ортогональное дополнение к Ь' образует двумерное собственное подцросгранство. Выберем в нем какой-нибудь вектор, например Ьв=(0,1,— 1), и подставим в (11.16). В результате получим выражение для второй частоты: -=Л Правильность нахождения частоты симметричного колебания легко проверить, заметив. что при таком движении неподвижными остаются атом и середина противоположной «пружины», поэтому жесткость «пружины», действующей на массу гп, составляет ЗЬ. Решение. Группа симметрии системы совпадает с группой 22«симметрии квадрата. Последняя состоит из 8 элементов и содержит 5 классов сопряженных элементов; е — единичный элемент, ог — поворот вокруг центра на 180.
ссз — отражения относительно двух диагоналей, |г, — отражения относительно двух прямых, прохоляших через середины противоположных сторон кналрата, |гз — повороты вокруг центра на 90' и 270'. Размерности неприволимых представлений можно найти из условия (9.5). Только одна сумма пяти квадратов дает число 8, именно 1'+1'+1'+1'+2'=8. Так что имеется 4 одномерных представления Е, Аг, А |, А4 и одно двумерное представление В. Соответствуюшая таблица характеров имеет вил 345.
Го нсе дея системы из четырех одинаковых атомов, распололсеиных в равновесии е вершинак квадрата. Гаиил«тониаи получаетсл из (11.15) заменой верхнего предела суммирования по у на 4 и периодического граничного условия на х«|вне. 265 11.4. Примерк Характер четырехмерного исходного представления Т(д) в пространстве векторов-амплитуд: Х(е)=4, Х(иг)=0, Х(с'з)=2, Х(ае)=0, Х(иу)=0. Воспользуемся ортогональностью характеров неприводимых представлений и с помощью усреднения по группе найдем коэффициенты разложения исходного представления по неприводимым: Т=ЕбуАзбуВ.
Зто означает, что имеется две невырожаенные и одна лвукратно вырожденная частоты колебаний. Частота, соответствующая тождественному представлению, как и в прелыдущей задаче, равна нулю: ь'=(1,1,1,!), к' = О. Для определения нормальных мод, преобразующихся по представлениям Аз, В, воспользуемся тем, что оператор Рлте — ~~',Х! ~'(д)Т(д)=(Х1~1 (д)Т(д)) лап является с точностью до численного множителя проектором на инвариантное подпространство, соответствующее неприводимым представлениям Я=Е,Ау или В, если последнее встречается в разложении Т(д) по неприволимым ровно один раз. Усреднение проводится здесь по всем элементам группы, а Х!лу(д) обозначает характер представления К(д)'1.
В нашем случае неприводимые представления Аз и В встречаются ровно по одному разу. Проще всего построить проектор на подпространство, преобразуюшееся по представлению В. Для этого, как это видно из таблицы неприводимых характеров, нужно знать явный вид матриц исходного представления Т только для двух элементов е и из: 1 Рв = — (2Т(е) — 2Т(из) ), О о о о уоо!о~ 0 1 0 0 0 0 0 1 Т(')=~О О ! О~ Т('")се ! О О О(. 0 0 0 1 0 1 0 0 Действуя последовательно оператором Рв на базисные векторы исходного представления (достаточно первых двух), получаем, что подпространство, преобразующееся по представлению В, является двумерным пространством с базисом: ь~(1,0,-1,0), ь'=(о, 1,о,-!). Ч Если олно неприюлимое прелставленпе встречается более оаното раза, то ри проектирует в прянув сумму полпространств, а котормк щаствумт прсастаалении Л(ру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
