1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Разложим прямое произведение двух неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых представлений: Р = 9 сзР("1. А Найдем, сколько раз встречается тривиальное представление в Р. Для этого умножим характер 1((д) =?(('1'(9)?((Л1(д) представления Р на характер тривиального представления )(('Н(д) =! и просуммируем по группе; с, = — ) Х('1 «9)д(«1 (д)Х(ш(д) б Л !С! Последнее равенство получается в силу формулы (9.3). 20.4. Задачи 328. Образуют ли непрерывную группу; (а) повороты на плоскости; (б) растяжения и сдвиги на плоскости; (в) преобразования Лоренца; (г) дробно-линейные преобразования комплексной плоскости ал+ Ь се+ Ы 329. Какова размерность следуюших матричных групп Ли, если это: (а) полная линейная группа СР(п, С); (б) унимодулярная ~руина ЯР(п, С), включаюшая все матрицы, определитель которых равен 1; (в) унитарная группа У(п,С); (г) ортогональная группа О(п, К); (л) группа врашений ЯО(3).
330. Проверить, что для генераторов группы ЯО(3), параметризованной как в задаче 316, справеллнвы следуюшие коммутационные соотношения: 111( — 1(1~ =Хз, 1(1з — 1з1з =Д, 1з1~ — 1~1з = 1и 331. Пусть 1(д,р) — функция, заданная на сфере единичного радиуса, д — поворот на угол а вокруг оси Оз, которому соответствует матрица Т(9). (а) Пусть 1=5 (д,уг). Как действует(1з на ~? (б) Рассмотрим векторное пространство, натянутое на векторы Ус-ь 1ь-ы ь ° ° Ул Найти в этом базисе матрицу Р(д), соответствуюшую повороту на угол о вокруг оси Оз.
250 Глава 1О. Непрерывные группы 332. Показать, что повороты на один и тот же угол вокруг различных осей входят в один и тот же класс сопряженных элементов группы ЯО(3). 333. Найти характер 21+1-мерного представления группы ЯО(3) (нз задачи (б)).
334. Пусть Рб> и РОЗ вЂ” иеприводимые представления группы ЯО(3). Доказать, что РИ)гдРОО Рбеу)фРО+у Огй фР01 Рй (разложение Клебща — Гордана). 335. Найти коэффициенты Клебша-Гордана для разложения Р< цз1 В РОГЗ~ на неприводимые представления. 334. Сколько независимых компонент у тензора 2-го ранга, инвариантного относительно действия группы С, если С=ВО(3)? 331. Сколько независимых компонент у тензора 3-го ранга, инвариантного относительно действия группы С, если а) С = ЯО(3); б) С является группой симметрий треугольника? 338.
Разложить тензор 2-го ранга на неприводимые части относительно действия группы С = ЯО(З). 339. Пусть У вЂ” пространство всех бесконечно дифференцируемых функций 1(х) в м~. Для каждой матрицы вращения Т(д), дЕЯО(3) положим (дГ)(х)=Г(Т '(д)х). Построить генераторы этого представления. 340.
Рассмотрим множество однородных полиномов степени и вида аы х уз", й,1,щ)0. ьщ+а=.е Все полиномы образуют векторное пространство. (а) Найти размерность этого пространства. (б) Найти размерность подпространства гармонических полиномов (т. е. полиномов, удовлетворяющих уравнению Лапласа). (в) Показать, что представление группы ЯО(3) на пространстве гармонических полиномов является неприволимым. 341. Движение в вещественном двумерном пространстве Жз состоят из вращений ТЕЯО(2) и сдвигов, Обозначим группу движений плоскости Мз. ПУсть д=дгп е — элемент гРУппы Мм задающий следУющее отображение плоскости на себя; 251 10.5. Ошеелгм Напишем соответствие между злементамн Мз и матрицами 3 х 3: г В-ЫВ В-~ ппв созв 0 0 1 (10.!7) Проверить, что (1О.
17) является представлением группы Мз. 342. Пусть У' обозначает пространство всех бесконечно дифференцируемых функций, определенных для всех х и у. Представление группы Мз из задачи 341 на г получается пугем преобразования каждой функции у(х,у) в функцию (д3)(х, у) = 1 ((х - ~) сох В+ (у - 9) з!п  — (х - Е) з!и В+ (у - 9) соаВ) . (а) Показать, что для инфинитезимальных операторов группы Ь| г з справедливы равенства в в в в Ь! Ьгж ~ Ьз=у х дх ду дх ду (б) Найти (ЬпЬз),!ЬпЬз), [Ьз,Ьз). (в) Пусть г и р — полярные координаты плоскости х,у, Ь+= Ь| хЬЬп Убедиться, что /д 4 д'! Ь = — е '"~ — ж- — 1, — в'~ю "! Ьз~- —, др' Ь+Ь =Ь Ь+ =г5. (г) Проверить, что гз коммутирует со всеми операторами Ь„Ьг,Ь,. 343.
Рассмотрим множество функций 10.$. Ответы 323. (г) Да, если ~0. а Ь 329. (а) 2пз вешественных переменных. (б) 2пз — 2. Ф„,(х, у) = егагу,„(аг), гле 7 (аг) — функция Бесселя порядка гп (а ФО). Показать, что на пространстве г', базисом которого являются функции Ф с целыми т, осуществляется неприводимое бесконечномерное представление группы Мг. 252 Глава !О. Непрерывные группы 33!. (а) 2/э/=пэ/. (б) Р(д) =ехр(/эа) = Ла 0 0 0 0 э(Е-!)а 0 0 0 0 э(! — 2)а О 0 0 0 а(! — 3)а 0 0 0 0 ...-Иа ева 0 0 0 0 ед''э" 0 0 О О ейэ-э! О 0 0 0 еэ!' э! 0 0 0 0 ...е'и' <,! яп (!+ !/2) !р 333 Х (ээ) = х! и (!э/2) 334. Указание: Воспользоваться тем, что для каждого Я Е ЯО(3) тг(Р!э> ЭРО>) =тгРО>тгРО"!. 335. Разложение представлении Р<эlэ>ЭРгэээ! на неприводимые представления эквивалентна задаче о сложении двух сливов Я~ — — у и Яэ — — х.
! ! В разложении присугствукп только два мультиплетас Я = ! (триплет, когда спины параллельны) и Я=О (синглет с антипараллельными спинами): !э!э! Рэцэ! эн ге! Коэффициенты Клебпэа — Гордана есть коэффициенты в разложении волновых функций. Для Я= ! (в) и'. п(п- !) 2 (д) 3. 0 0 0 0 253 16.5. Отвеем Для Я=О 336. Одна компонента. 337.
а) Одна компонента. 6) Четмре компоненты. 338. РО1 э Р1'1 = Р1Ь1 е РО1 бзР1З), представление Р1З1 реализуется на подпространстве симметричных бесследовых тензоров ранга 2, РО1 — на подпросгранстве кососимметрических тензоров, Р1ь>— на тензорах вида сбц, где с — число. д д д д д д 339. Ь!=ь — — у —, Ьз=х — — ь —, Аз=у — — я —. ду дз' дь дх' дх ду (и+ 1)(и+ 2) 2 (6) 2п+1. (в) Указание: Воспользовавшись формулой Родрига (П.37), получим х нгт т" У„(В,уз) а т"еькт(1 — соьзВ)~О ) (соьзВ- 1)", ~йамВ) пь=-н,— и+1,...,и. Переходя к декартовым координатам тсоьВ=ь, ть1пВе"=х+ьу, т =х +у +ь, з з з з можно установить, что т"У„м является однородным полиномом степени н. Любое ограниченное решение уравнения ь'.зт"/(В,р)=О=т" (и(и+1)+гзп)у лля функции 7, где гзп — угловая часть оператора Лапласа, можно записать в виде линейной комбинации сферических гармоник 25„,(В,р).
Поэтому линейная оболочка полиномов т"У„х, гп = -и, — и+ 1,...,и совпадает со всем пространством гармонических пслиномов. 342 (6) [Ь! Ьз) =О. (Ь!,Ьз)=-бз, (Ьз,бз)=йь 343. Указание: Пространство У' должно преобразовываться само в себв под действием каждого из операторов Ьн Ьз, Рз. Заметим, что ЬзФ,„=-ьгпФ,„, Ь Ф =-аФ,„ы, Ь Ф,„=аф„, ц Зто следует из рекуррентных соотношений .7 ш(з)= —,7' (ь)+ — ч(-, .г, 1(з)=г'(ь)+ ", .
Поскольку Ьн Хз, Ьз — линейные комбинации операторов Ь+, Ь, Аз, получаем, что пространство т' Глава 1О. Непрерывные еруяяы переходит в себя под действием группы Мз. Действуя оператором Ь~ на функцию Ф лля любого гя, получаем необрывающийся рял, поэтому представление бесконечномерно. Для доказательства непривздимости надо воспользоваться тем, что множеспю функций (сФ 1, из=О,ж1,ж2,..., сЕС, сИО, исчерпывает все собственные векторы оператора Ьз в пространстве У; и тем, что в любом Мз-инвариантном подпространсгве содержится собственный вектор Ьз. Далее, действуя операторами Ь+ и Ь, получим весь набор функций Ф, из=0,~1,~2,..., Глава 11 Применения теории групп в физике 11.1.
Гармонические колебании молекул В классической механике гамильтониан молекулы, состоящей из и атомов с массами Мн! =1,...,и, в гармоническом приближении имеет вид 3 а (,)З ! 3 а ~)- Ь + ~Ч, ~~; Уа„аа13 а 1 Ы~ а,дап,ыщ 2М~ Здесь Š— о-компонента малого смещения атома относительно положения равновесия в некоторой декартовой системе координат, ра— сопряженный импульс, а У! — постоянные коэффициенты. В дальад нейшем лля упрощения записи будем объединять индекс декартовой компоненты о ц номер атома 1 в один индекс Ь, меняющийся от 1 до Зн (Ь=З(1-1)+о).
Уравнения движения за Мьох = — ~~ь Кьуо! (11.2) определяют набор собственных частот ыз и собсьтееаных мод (нормольных лоеебоялй) о„. Будем искать решение уравнений (11.2) в виде оь= !ь1 оьсгм(ы!+Ь). Подставляя зги зависимости в (1!.2), получаем систему алгебраических уравнений на коэффициенты оь..
за з ы Мьоь=~~' Уьуо . у=! В терминах амплитуд Ьь=Л4ьоь задача определения нормальных колебаний системы сводится к задаче о диагоналнзацин эрмитовой матрицы Вь!. За Уьт ы Ьь=~,Вь Ь, Вь = (!!.3) ,ГгМьМЗ ' Симметрии нашей системы — это перестановки атомов с одинаковыми массами, повороты н отражения векторов малых смещений атомов, 256 Глава 11. Применения теории груня н физике сохраняюшие вид гамильтониана (11.1). Иначе говоря, группа симметрии молекулы — это некоторая подгруппа прямого произведения группы Я„ перестановок н атомов и и экземпялров группы несобственных врашений О(3) (поворотов и отражений): Я„х О(3) х... х О(3). Любой ее элемент можно представи~ь в виде прямого произведения просгых перестановок Т пары атомов и линейных преобразований В Е О(3)— поворотов и отражений координат Ьз каждого атома. Напомним, что перестановка номеров Ь и ! в любой матрице В осуществляется линейным преобразованием В Т(„„'ВТ„,1, Т„'и = И, (1!.4) где матрица Т(н! получается из единичной перестановкой Ь-ого и 1-ого столбцов.
При действии на данный вектор Ь матрица Т(м1 пересшаляет его Ь-ю и 1-ю компоненты. Таким образом, в пространстве компонент Зп-мерных векторов-амплитуд 6 = (Ьн..., Ьз„) действует линейное представление группы симметрии молекулы, причем перестановкам атомов соответствуют преобразования Т, а поворотам и отражениям — преобраюваиия Й.
Симметрия системы относительно перестановки одинаковых атомов Т, поворотов и отражений В или их комбинаций ('„1 означает, что В=(3 'В(к м» (В,(() =О, (11.5) гле (г — любая матрица из предсшвхения группы симметрии, осушествляюшая перестановки, повороты и отражения компонент Зп-мерных векторов амплитуд, Это представление (мы будем называть его исходным) чаше всего является приводимым. С другой стороны, равенство (11.5) означает, что если Ь вЂ” собственный вектор матрицы В, то и ОЬ вЂ” тоже собственный вектор, соответствуюший тому же собственному значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
