1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если А — матрица п х и, то ее характеристический много- член равен у(Л) т!А — ЛЕ(=(-1)" [Л" -егЛ" ! +... +(-1)"аь], где а~ — — ТгА. Пусть Т вЂ” невырожденная матрица, тогда [Т 'АТ вЂ” ЛЕ[= [Т '(А-ЛЕ)Т[=[Т '~(.(А-ЛЕ)-'1Т~1т(А-ЛЕ(. Таким образом, матрицы А и Т 'АТ имеют одни и тот же характеристический многочлен и тем более один и тот же слеп. Поэтому матрицы Т(у, 'уд,) = Т '(у~)Т(у)Т(у~) и Т(у) имеют равные следы, т.е. Х(у~ Ууд =Х(у). 2М. Показать, что всякое престааление конечной группы эквивалентно унитарному (нредстааление унитарно, если его натриям унитарны). Решение. Пусп Т(у), у 6 С вЂ” комплексное представление степени и конечной группы б и пусть у~ = 1,уи...,Уг — элементы группы С.
Тогда М = Е+Т1(дз)Т(дз)+... + Тг(д,)Т(у ) — положительно определенная эрмитова матрица, так как каждое слагаемое в отдельности есть положительно определенная эрмитова матрица. Заметим, что для любого у б гл Тг(д)МТ(д) Я Тг(д)Т1(д )Т(д.)Т(д) ом = ~~г,тг(дд)Т(дгд) =2 Тг(й)Т(й) =М. (9,6) он тг(у)(с ')гс 'т(У) =(с ')гс ', откуда (С-'Т(д)С) (С-'Т(д)С) =, поэтому представление 2 (у) =С 'Т(д)С унитарно. 291. Написатыпаслииу характерое группы Рь Решение.
Группа Рз имеет три класса сопряженных элементов: о, = (1), аз= (р р'), аз = (с рс р с). В курсе линейной алгебры доказывается, что для любой положительно определенной эрмитовой матрицы М существует такая невырожденная матрица С, что С1МС = Е. Отсюда получаем М = (С ') С '. Подставляя это выражение для М в тождество (9.6), получаем гзз 9.4. Задачи Поэтому сушествует три неприводимых представления группы Яз размерности пз, пз и пз. Пользуясь формулой (9.5), получаем и!+аз+из=!27з!=6. з з з Это равенство выполняется только, если и, =1, из=1, из=2.
Группа Яз имеет два одномерных представления, которые можно отождествить с их характерами; а) тРивиальное пРедставление 71'(д)=1 — гомомоРфизм гРУппы Яз на группу, состоящую из одного элемента; б) представление зз(у)=х1 — гомоморфизм группы Яз на группу (1, — 1), ядром которого является подгруппа, порожденная поворотом на Т.
Т.е., если р — поворот на Т, то 1,р,рз- 1, а с,рс,рзс- -1. Из оргогональности столбцов таблицы характеров (9.3) получим 9.4. Задачи 292. Показать, что в любой группе (аЬ) ' = Ь 'а ' и вообще †! †! †! (а!аз...а„ за„) = а„ а„ ,...аз а, 293. Показать, что а и а ' — элементы равных порядков. 294. Показать, что если элементы х и у сопряжены, то они имеют равные порядки.
295. Показать, что элементы аЬ и Ьа имеют равные порядки. 296. Показать, что преобразования симметрии равностороннего треугольника образуют группу. Построить таблицу умножения. Найти подгруппы. 297. Пусть б — группа,Н вЂ” подгруппа С. Доказать, что мно:кество правых смежных классов равномошно множеству левых смежных классов. 298. Показать, что (а) элемент х группы С сопряжен сам с собой; (б) если х сопряжен с у, то у сопряжен с х; (в) если х сопряжен с у, а у сопрязкен с х, то х сопряжен с х; 234 Глава 9. Группы и представления (г) группа С есп объединение непересекающихся классов сопряженных элементов: С=С, +...
+Св. 299. Показать, что единственной конечной группой с двумя классами сопряженных элементов является группа порядка 2. Мб. Показвгь, что в группе преобразований пространства повороты на угол р вокруг двух осей сопряжены, если в группе существует преобразование, переводящее одну ось в другую.
МП Показать, что повороты вокруг одной и той же оси ОО' на углы р и -1р сопряжены, если: (а) имеется ось второго порядка, перпендикулярная 00'; (б) имеется зеркальная плоскость, прохолящая через ось ОО'. 302. Найти классы сопряженных элементов для следующих групп симметрии: (а) равностороннего треугольника; (б) квадрата; (в) правильного тетраэдра.
303. Подгруппа Н в С инвариантна тогда и только тогда, когда каждый левый смежный класс Нх есть также и правый смежный класс хН. 304. Пусть Н вЂ” гомоморфный образ группы С. Рассмотрим множество Т элементов1Е С, отображаюшихся на единицу группы Н. Показать, что Т вЂ” инаарнантная подгруппа в С. М5. Показать, что группа симметрий куба гомоморфна группе подстановок трех символов.
300. Доказать, что если порядок конечной группы не простое число, то группа имеет нетривиальные' > полгруппы. 307. Множество элементов Я(С), перестановочных со всеми элементами группы С, называется кенарем группы С. Доказать, что если — — циклическая группа, то С вЂ” абелева группа. и х1ау 308. Доказать, что все непрнводимые представления абелевой группы одномерны. 309.
Пусть С вЂ” группа симметрии квадрата. (а) Показать, что эта группа порождается двумя элементами симметрии а и Ь, которые удовлетворяют соотношениям а" = 1, Ьз = 1, (аЬ)З = 1, Ч тривнвлвнмми прлсруппвми нвумввнн слннипу труппы и свну группу.
235 9.5. Овзвеязы (б) Пусть матрицы Т(а) и Т(Ь) такие, что «т(а)]'=Н, «т(Ь)]'=Н, «т(а)т(Ь)]'=Н. (9.7) Тогда, очевиано, отображение азвг - «Т(а)] «Т(Ь)]' задает представление группы С. Привести примеры матриц, которые удовлетворяют условиям (9.7). 316. Пусть Т(С) — представление конечной группы матрицами над С. Показать„что тогда: (а) характер Х(д) равен сумме корней из единицы; (б) х(д ') =х(д)' 311. Показать, что представление фактор-группы 17 (Не С) является и представлением С. 312. Разложить трехмерное представление группы Яз, матрицы кото- рого получаются из единичной перестановками строк, на неприводимые представления, 313.
Задать регулярное представление группы дз. 314. Разложить регулярное представление группы Яз на неприводимые. 9.5. Ответы 295. Указание: Они сопряжены. 29б. Воспользуемся обозначениями задачи 283. Тогда таблица умножения группы треугольника имеет следуюший вид; В группе треугольника имеется четыре подгруппы, отличных от единичной и всей группы: Н1=«!,р рз], Нз — -(1,с), Н,=(1,рс), Не = «1, рз с]. 297. Указание: Классу дН ставим в соответствие (дН) ~ =Ну '. 236 Глава 9.
Грунин и лредстаеленин 299. Указание: Пусть а! =1 и аз — классы сопряженных элементов группы С. Тонье 6'=и!+аз. Если (6(=в и (аз(=ш, то в=!+гп, причем гп лелит нацело в (задача (б)). 305. Указание: Пусть х,р,х — три прямые, соединявшие центры противоположных граней куба. Тогда симметрии куба индуцируют группу полста новак множества (х, у, а). 30$. Указанию Пусть дбгз и д~!. Рассмотрите подгруппу, состояшую из всех степеней элемента д: 1,д,дз,.... 309. (б) Приведем пример точного неприводнмого матричного представления группы квадрата: Т(')=(! О) Т(~)=(! О) Т(аб)=( О !) 312. Т(д) =Т! !(д) ЕТ!з!(д). 0 1 0 1 0 0 О О О 0 0 0 0 0 1 О ! 0 1 0 0 О 0 0 313.
Т((2, 3)) = О 0 0 0 0 ! 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ! 0 0 ((!23))010000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3!4. Т(д) =2Ч'!(д) Еуяз!(д) Е22Ч»(д) 30$. Указание Рассмотрим векторное пространство У, на котором абелева группа гз реализована как группа линейных преобразований. Пусть деб и д,-е1, тогда надпространство собственных векторов элемента д, отвечаюших некоторому собственному значению А, является 0-ннвариантным подпространством, а значит совпадает с Р. Преобразованию д соответствует матрица, пропорциональная единичной. Глава 10 Непрерывные группы 10.1. Группы и алгебры Ли Рассмотрим группу линейных преобраюваний, элементы матриц которых являются аналитическими функциями вещественных параметров. Пусть 9(апам...,а,) — элемент нашей группы С, Параметры а=(апат,...,а„) выбираются таким образом, что существует взаимно-однозначное соответствие между окрестностью начала координат в т-мерном пространстве параметров и окрестностью единичного элемента группы.
Причем нулевому набору параметров соответствует единица группы. Если 9(аназ,а„)9(а„ат,...,а,) =9(а,,а„...,а,), о Р Ф Ф аь =фа(амат,...,а„'аназ,...,а,), гг=!,...,г. Если функции 4ь бесконечно дифференцируемы по всем аргументам, то такие группы принадлежат к классу грува Ли. Число параметров г называется размерностью группы С. Агггброа Ли называется линейное пространство Ь, снабженное операцией, называемой скобкой Ли (коммугированием) и обозначаемой [х у], для которой выполняются следующие условия (х у х б г., а Е С): 1) [ох+у,г] =а[х,а]+ [у,а] (линейность); 2) [х,у] =-[у,х] (антисимметричность); 3) [х,[у х]]+ [а,[х,у]]+ [у,[г,х]] =О (тождество Якоби).
Примерами скобок Ли могут служить операции коммугирования квадратных матриц, скобки Пуассона и векторное произведение векторов нз Яз Рассмотрим матричную реализацию группы 6 линейных преобразований, имеющую матричные элементы да=да(ан...,а„). Введем в рассмотрение производные от этих матриц по параметрам аг в точке нуль, т. е. рассмотрим матрицы 4 с элементами ) Вди ~ (4)а= Глава 1О. Ненрерывные грулны Матрицы 1, называются инфиншнеэимальнмми анератврами (генераторами) группы С. Коммутатор (1ь,1)=1ь1,-1,1ь являвгся линейной комбинацией матриц 1 (1„1.)=У „н1п ! Линейная оболочка генераторов группы образует алгебру Лн Ь, поскольку введенный коммутатор удовлетворжт свойствам 1-3 скобки Ли.
Эта алгебра называется алгеброй Ли группы Ли. Коэффициенты сьи называются структурными константами алгебры Ли Ь группы Ли С. Группу Ли можно восстановить по ее алгебре Ли однозначно, если группа Ли связна и односвязна (многообразие называется опносвязным, если каждая замкнутая кривая может быть непрерывно стянута в точку).
Так, для восстановления однопараметрической группы справедливо зксланенциальнве отвдрагкениг: ехр(В1)=1+ВТ+ — В 1 +.. т1 10.2. Прййставпеиий группы вращений Представлением группы Ли С называется гомоморфизм С в группу преобразований Т(д) линейного пространства У. Представление группы Ли в векторном пространстве У называется приводимым, если У содержит инвариантное относительно С надпространство, отличное от У и нулевого подпространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
