1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Теорема Гидьберта — Шмидта Для симметричных операторов К(х,у) =К(у,х), удовлетворяющих условию интегрируемостн модуля К(х,у) в квадрате О!К(*,у)!'д*ду <+ справеллива теорема Гильберта — Шмидта: Если У(х) прелставима через ядро К(х,у), Г(х) = / К(х,у)у(у) ду, то эта функпия может быть разложена в ряд по собственным функци- ям )тЗ„) интегрального оператора К, (1 — Л„К)!тЗ„) =0: Г(х)=~ ÄЄ(х) или !Г)=~ ~у„(Р„), и гле Г„т (Ф ! з ) .
и-т 3десь! Гг) =Рг!Я, Рг — — 1 — 2 ' /С")(С" ! — поперечный к векторам !С') г=! проектор, а вектора !С ) и (СР! предполагаются взаимно-ортогональными: (СР!С") = 6 р. Сформулированные выше утверждения представляют собой теорему (альтернатива Фредгольма), которая в общем случае гласит: ° Уравнение (8.5) имеет единственное решение, если однородное уравнение (8.9) имеет только тривиальное решение !тЗ) =О.
При этом сопряженное к (8.9) уравнение имеет также только тривиальное решение. ° Если однородное уравнение (8.9) имеет и линейно независимых решений, то сопряженное к (8.9) уравнение имеет ровно столько же линейно независимых решений (трь!, а для разрешимости уравнения (8.5) необходимо и достаточно, чтобы (рь)у) =О для каждого 8=!,...,п. При выполнении этого условия общее решение записывается в виде (8.1б).
202 Глава 8. Илтегральяме уравнения Используя эту теорему, можно установить, что ядро К(х,у) может быть предо!паимс в виде (билинейная формула): К(х,у) = 2 Л„'гР„(х)гР„'(р), (8Л 7) и=! или соответственно К ='>" Л„-'~Ф„)(Р„(. (808) «=! Пример! Локазать, что дая интегральных операторов вида КР = ~ К(х,у) р(р) ф(рай где р(х) >Π— вещественное и К(х,р)=К'(р,х), собственные функции с различными собственными значениями взаимно ортогональны с весом р(х): гр„'(х)!р (х)р(х) (х=д„.
Решение. Собственные функции ут„(х) и р,„(х) удовлетворяют уравнениям: К(х р)р(у)Р.(р)Я=НА (и) К(х,р)р(р)гр (р)ау= и тр (х). Сначала покажем„что все собственные значения р„щА„! — вещественные. Умножим обе части, например, первого равенства на р(х)гР„'(х) и проинтегрируем по х. Слева получится выра:кение К(х,р)р(у)р(х)Фь(9)фь(х)дх~$у, вещественное в аилу аимметрни К(х,р)=К'(р,х) (проверяется комплексным сопряжением н заменой переменных интегрирования х р). Вещественность правой части эквивалентна вещественности собственного значения. Лалее, умножим первое равенство на р(х)~4(х), второе— на р(х)ту„*(х) и проинтегрируем по х.
Левые части окажутся комплексно сопряженными друг пруту в силу той же симметрии ялра К(х, р). Условие же комплексной сопряженности правых частей, вместе с вещественностью р„н р, даст: (р„— р )~р(х)ф„(х)гР (х)Их=О. Отсюда и следует при р„рр,„ортогональность тг„(х) и тЗ (х) с весом р(х). 203 8.3. Теорема Лыьберта — Шмидта Применение теоремы Гильберта — Шмидта, в частности билинейной формулы, оказывается весьма важным для решения спектральной задачи лля оператора Штурма — Лиувилля ,8 I ИФ~ ТаР= — р — ( р(х) — ) +д(х)у=Лф ь~ (*у (8Л 9) ф(х)=Л~С(х, у)р(у)ф(у)ау, и где функция Грина является симметричной: 6(х, у) = С(у, х).
Отсюла, ис- пользуя теорему Гильберта — Шмидта, можно показать, что собственные функции лля оператора Гильберта — Шмилта ортогональны с весом р(х). При этом собственные функции образуют полный набор. Лримвр: Определить весовые функции для: а) функций Бесселя Х„(х); б) полиномов Лагеррв; в) полиномов Эрмита, исходя из дифференци- альных уравнениЯ, их определяюших.
Решение. а) Уравнение Бесселя может быть переписано в виде за- дачи на собственные значения: ( ).= э\ х — х — +х ~ у„(х) =п,у„(х), ах йх так что весовая функция р(х) = 1. В целом соотношение ортогональности выглядит так: ах —./„(х)Х,„(х) =О, тип, х о б) Уравнение лля полиномов Лвгерра переписывается в виде: е х — е х — Ь„(х) = -пЪ„(х) о — т й -е ин-1 ~ т т ах ах и р(х)=е *х в) Уравнение, опрелеляюшее полиномы Эрмита, переписывается в виде: ра' РИ е* — е * — Н„= -2пН„, 4х ах ог так что р(х) =е * .
с однородными граничными условиями и некоторыми функциями р(х) и а(х). В этом случае уравнение (8Л9) посредспюм функции Грина может быть представлено в виде интегрального уравнения 8.4. Обратная задача дяя оператора ШреЪингера 205 с$е! У = 1а/ — 1Ь! = !. (8.27) Последнее соответствует обычному закону сохранения: И'+141'=1, где г =; — коэффициент отражения, а б = —, — коэффициент прохожлеь 2 ния. Из (8.24) и (8.25) следует также, что при 1ай=О а(й) =а'(-й), Ь(й) = Ь'(-й).
(8.28) В силу определения (8.22), (8.23) функции Йоста Ф и Ф аналитически продолжимы в верхнюю полуплоскость й (!шй > 0), соответственно Ф* и Ф' аналитичны в нижней полуплоскости (см, задачу 257). Поэтому функция а(й) согласно (8.26) аналитически продолжима в верхнюю полуплоскосгь. Поскольку при й ос Ф е'"*, Ф е '"*„функция а(й) при й- оо стремится к единице. Точки верхней полуплоскости, где а(й„) =О, соответствуют дискретному спектру. Вронскиан в этих точках согласно (8.26) равен нулю, т. е. функции Ф и Ф линейно зависимы; Ф(й ) =С,Ф(й ).
С другой стороны, это есть решение уравнения (8.20), затухаюшее как при х оо, так и прн х — -сю (по определению функции йоств (8.22) и (8.23)). Таким образом, данное решение описывает связанное состояние, а нули функции а(й) й„= 1к„расположены на мнимой осн. Совокупность величин а(й), Ь(й), к„и С„образуют полный набор данных рассеяния лля оператора 2. 8.4.2. Уравиеиие Гельфавда-Левитана — Марчевко Для решения обратной задачи, т. е. восстановления потенциала У(х) по данным рассеяния, сушественную роль играют аналитические свойства функций йоста Ф и Ф.
Поскольку Ф аналитически продолжима в верхнюю полуплоскосп 1шй > 0 (см. задачу 257), то функция 3Ь(х,й) может быть представлена в виде ф(х,й) =е *+ / К(х,у)е' тау, (8.29) где К(х,у) — некоторое действительное ядро. Из этого представления сразу следует, что 3Ь аналитична при 1ш й > О. Это представление называют треупыыгых. Подставим (8.29) в уравнение (8.20).
В результате дифференцирования получим: У(х)ецх — — 1К(х,х)е' *~ — — К(х,у) е + дх дх з + / — К(х,у)енвбу = — (У(х)+й ) з~ К(х,у)егле Ну. 206 Глава 8. Иатаегравьяые уравнения Заменяя в последнем интеграле -йге'ьт= — те'ьк и интегрируя дважды по частям, найдем, что ГОг Вл ~" —,«(х,у)- г«(х,у)+Их)К(х,у)~е*' ду+ + ГГ(х) — 2 — К(х,х) е' *=О. Это равенство должно быть выполнено при всех й. Поскольку функ- ции е'"з при различных значениях у линейно независимы, то это равен- ство удовлетворяется тогда и только тогда, когда Ва От — К(х,у) — — К(х,у)+ Щх)К(х,у)=О, О з * Оуз д (Г(х) = 2 — К(х, х). дх (8.30) (8.31) Полученное уравнение (В.ЗО) с граничным условием (8.31) представляет собой так называемую задачу Гурса, которая при условии К(х,х+у)- О при х оо 1 ~~ьч —,-ц') "'в-/вака..ьц~-'г ° + /т(й)е ' т1дй+ ~К(х,в) / т(й)е~~1™дй.
(832) Прн у > х подынтегральная функция в левой части равенства стремится к нулю с ростом мнимой части й, поэтому контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскостн. Интеграл равен сумме вычетов в нулях функции а(й), однозначно разрешима. К этому следует добавить, что формула (8.31), смгзываюшая ядро К(х, у) с потенциалом ГУ(х), слеаует также нз асимптотического разложения треугольного представления при й со с последующим применением формулы (8.45» задачи 258. Перейдем теперь к выводу уравнений обратной задачи, определяющих связь ядра К(х,у) с данными рассеяния. Исходим из соотношения (8.24), которое поделим на а(й), затем вычтем нз правой н левой частей их асимптотическое (при й- оо) значение -е'~*, умножим далее на е'"т (у > х) и проинтегрируем по й от -оо до со: 8.4.
Обратная задача дчн оператора Шредингера 207 Если а(й) не имеет нулей, т. е. связанные состояния отсутствуют, то интеграл слева тождественно равен нулю, В результате получим К(х,у)+Р(х+у)+/К(х,в)Р(в+у)да=О, (8.33) где Р'(х) = — г(й) ег *дй. 2зг д Это уравнение и есть искомое уравнение обратной задачи рассеяния, называемое часто уравнением Гевмфанда — Левитана — Марченко (ГЛМ). Если а(й) имеет нули, то левая часть (8.32) равна сумме вычетов % ' Ф(х зич) -к в 2хгсз г,(' ) е "". ч (8.34) Р(х) = — г(й) е' *дй — ~~~~,, е "'*. (8.35) Если продолжить первое из равенств (8.28) на комплексные й, а(й) =а (-й ), то функция а(й) при мнимых й=дх чисто действительна: а(гн) =а'(йг). Отсюда следует, что производная а'(гн) чисто мнимая, так что коэффициент М„'= — —,,гх - действителен.
Более того, этот коэффициент положителен (см. задачу 279). Уравнение (8.33) позволяет найти ядро К(х, у), а вместе с тем и ГГ(х) =2~~К(х,х) по данным рассеяния а(й), Ь(й), н„ н С„. Обратимся теперь к простейшим решениям уравнения ГЛМ, когда в ядре Р(х) отсутствует интегральный член. Для таких решений коэффициент т(й) =О. Соответствующие потенциахы называются безотражательными, они полностью задаются набором (н„) — дискретным спектром оператора Б — и величинами Мз.
Пусть Р(х) определяется одним значением н: Р(х) =М е В точках й=йг„функции Ф и Ф связаны Ф(х,гн„) =С„Ф(х,зн„). Для Ф справедливо представление (8.29) через ядро К(х,у). Группируя все члены в уравнении, окончательно убеждаемся, что уравнение ГЛ М имеет ту же форму, только в Р возникает дополнительная сумма, отвечающая дискретному спектру оператора 72 гОВ Глава 8.
Интегральные уравнения Подставляя зто значение в уравнение ГЛМ, убеждаемся, что зависимость ядра К(х,у) от у полностью определяется: К(х р)=!Ро(х)е (8.36) Легко видеть, что в силу (8.30) функция !ро(х) есть собственная функция дискретного спектра, для нее (.* ) —, + Гу(х)) !)о(х) = н фо(х). Подставляя (8.36) в уравнение ГЛМ (ВЗЗ) и интегрируя, находим, что йуте-»»»/2»»84 3!о(х) = —, =- — сй н(х-д), !+и е т"* 2 т» где Мз 4 = — !и —. 2н 2н Соответствуюший потенциал И 2нт »Г(х)=2 К(х,х) 2 (8.37) »)х ' сит н(х - 9) Зтот потенциал является простейшим безотражательным потенциалом. В нем только одно связанное состояние с Е= -нз. Трааиционные методы решениа интегральных уравнений разобраны в книгах (Пет65, Соббб, Смн74с!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
