1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Два линейно независимых решения — это тг(т) = Ло(йт), удовлетворяющее условию регулярности при йг О, и зз(т) = .Уо(Ь) + 13'~(йг), переходящее в расхоляшуюся цилиндрическую волну при й~ оо, где й = зУа. Асимптсчнку второго решения можно проверить, пользуясь определением Функции Неймана .У„(х)совки —.У „(х) !'о(х) = йгп т о ми хи (7.37» получится Ло(х) ?! — соз !хх — — л1, уо(х) ту! — огп !хх — — ), У ах 4 'т' ях 4 оьт лз(г) Ч яь'йт Уо(+х? — Уо(-х) = -2$.70(х).
Сравнивая выражение дьгь» дь -и = ьяуо(йг)Уо(йг) с (7.19), найдем собственные функции непрерывного спектра 1 фь( ) = — ~о(йт). й2 Вронскиан можно найти из аснмптотики при г — оо: Иг(г') = Действуя аналогично задаче (200), получим резольвенту д,(г, г') = —,Уо(йг<) (.Уо(йг)) + ь37г(йг>)) . Ветвь з/л в плоскости л, разрезанной по ?йь, выбираем из условия ~г! = +1 на верхнем берегу разреза. При переходе через разрез четная функция,Уо(х) не меняется, а скачок то находится из формулы .У„(-х) = ем".У„(х) н определения (7.37): )87 7,4, Примеры Полчеркнем, что зги функции нормируются условием ф„'(т)фт(т) т й = б(й~ — йа). 217. Найти резальвенту онератора -<з в трех измерениях в сферических координатах и настроить сферически симметричную нормированную собственную функяию.
Решение. Уравнение (* + <з) 22,(т,)' ) = 6(т — т ) решается преобразованием Фурье, потому что зто уравнение Гельмгольца с граничными условиями 22, О при !ш зй > О и т — оо (задача 20б). Получается ЬЯ< — т') > е 22,(т, т ) =— Резольвента определена в плоскости с разрезом вдоль )8<.
Можно разложить резольвенту в ряд по сферическим гармоникам 22,(т,т')т~: у~~(т,т')У) (в)1) (в), )ев где в = -,', ОО' = "-, — единичные векторы. Нас интересует только коэффициент пРи Уюз = —,, котоРый находнтса интегРиРованием по всем з ) четырем углам в сферических координатах в = (у, О)), ть' = (д',()'). Перейдем к интегрированию по углу ф между векторами ОО и в' у, (т, т') = 2я / )(ф яп ф72, ()т — т'')), О а затем к переменной ! = )т — т')з = тз + т'з — 2тт' соз ф (тттт ОО( е )и) е\<М <н) е\е))< <) е\е<< яп /х < 4)')' Л 2т~'(ь)э тт'з~з (т-т)з Функция ум аналитична в плоскости л, разрезанной вдоль положительной вешественной полуоси )й, Скачок на разрезе л = йз е(О" япйт< — е (О'-япйт< 2)з)пйтз!пйт' Уьг МО Уьз-и— )стт' 'ктт' приравниваем к -2я(фь(т)фь(т').
Так можно найти сферически симметричные собственные функции непрерывного спектра яп йт фз(т) = — Кю(в). т4я)й< И8 Глава 7. Мемед функций Грина Подчеркнем, что эти функции нормируются условием збь(г)зби(е) бг = б(йз — йа), где интеграл берегся по всему трехмерному пространству. 213. ггайти значение резильеенты В,(х, х') оператера дз Й = — — + б [б(х+ а) + б(х — а)[, дх2 при х = 0 и х' = О. Каи еедет сейл В,(0, 0) при Са » !? Решение.
Резольаента удовлетворяет уравнению (л — Й)Л,(х, х') = б(х — х') и может быть представлена в виде (7,20) е(х<)и(х>) й,(х,х) = где и(х) и е(х) — решения однородной задачи (з — Й)я(х) = (з — Й)и(х) = О с асимптотическими условиямн: в(х) - 0 при х - +со и е(е) — 0 при х — -оо, И' = е(х)й(х) — и(х)е'(х) — их вронскиан. В интервалах х < -а, х '> а и -а < х < а однородная задача выглядит просто: ) = з+ — )и(х) = [е+ — )е(х) =0 бхз) [, Ихз) и их решения являются там линейными суперпозициями экспонент е'"*чг. Как функции параметра з онн однозначны в комплексной плоскости с разрезом от а = 0 до бесконечно удаленной точки. Асимптотическим условиям при х — хсо можно уловлетворить, если мнимая часть чуа знакопостоянна.
Зто так, если разрез проведен вдаль Кч. ВыбеРем а комплексной плоскости такУю ветвь зггз, что !ш з/х > О, тогда е(х) = е ' ', х < -а. в(х) = е ~, х > а; Значения в(х) и е(х) при -а < х < а (коэффициенты в линейных комбинациях экспонент ее'*чг) определяются из требования непрерывности этих функций при х = ха и скачков производной 189 7.4. Примеры в (а + О) — и (а — О) = Ои(а), е (-а+О) — е(-а — О) = Се( — а). В результате для -а < х < а получим м,/л — м,~*-,и 2тг'а г' 2тг'л -!х,/ю м4 щм4 10 т .
16 'мд' ~,л' и вронскиан г=;Г.~+ — '(-~ )~~ — "( ." )~. Отсюда следует, что искомое значение резольвенты равно 2,/;,;гз(1 азиат) 11,(0, О) = —— 2т'а 2т/а+ 16(1+ е™гт) функция В,(0,0) имеет точку ветвления при з = О, и ее скачок на разрезе К~ определяет точные собственные функции Й, принадлежащие непрерывному спектру. Пусть теперь Са Ъ 1, а а,"г.
В ведущем приближении по (Са) ' резольвента имеет вид 1 — е™~ И,(0, О) щ - = 2 Гх 1+е" г" а особенностями в таком приближенном выражении оказываются полюсы на вещественной оси в точках, соответствующих значениям квадратного корня я(2п+ 1) ~ап— 2а Учет следующих порядков по (Са) ' дает для полюсов значения с иену- левой мнимой частью я(2п+ 1) я(2п+1) я(2п+ 1),а~(2н+ 1)~ 2а 2г 'аз 2Дтоз 46заз Мы видим, что знак мнимой части яе сооьтеетстеуем выбранной ветви функции т/а, и резольвента лля тех с, для которых мы ее строили, поляков ле имени.
Можно сказать, что ее полюсы лежат на другом листе римановой поверхности квадратного корня т/з. Тем не менее, при ба л 1 зги «нефнзические* полюсы лежат близко к разрезу, то есть к нашему листу римановой поверхности тГх, и зто дает основания для полюсной аппроксимации 72,(а, а'). Таким образом, для з из верхней полуплоскости резольвента может быть приближенно представлена в виде суммы полюсных вкладов в точках (7.38).
Глава 7. Мемед функций Грина Положения таких полюсов обычно интерпретируют как комплексные энергии распадаюшихся квазистационарных состояний, энергии которых имеют малую мнимую часть. Квазистационарные состояния используются лля описания распада радиоактивных ядер и нестабильных частиц [БЗП71[. Пользоваться, однако, полюсным приближением нужно с осторожностью, потому что, строго говоря, квазистационарные состояния прннадле:кат непрерывному спектру.
В частности, если определить собственные функции ф„(х) с комплексными энергиями через вычеты резсльвенты в таких полюсах, то онн окажутся экспоненциально растущими при [х[ со. Это, впрочем, не означает, что их нельзя использовать ни в каких задачах. В ограниченной области пространства волновая функция распадаюшегося состояния может быть представлена как линейная суперпозиция таких ненормируемых собственнмх функций с комлексными энергиями.
При этом необходимо, чтобы размер этой области был меньше, чем характерный обратный показатель экспоненциального роста функции ф„(х). г,5. Задачи 219. Найти функцию Грина оператора Б = у;+ 1, дейстауюшего на пространстве функций а(х), х Е [О, 1[, с периодическим граничным условием и(0) = и(1). 220. Найти функцию Грина и выписать решение неолнорсдного уравнения ин = у(х), если: (а) и(-1) = а(!) = О, х Е [-1, 1[; (б) а(0) = и'(1) = О, х Е [О, 1[. 221.
Найти функцию Грина уравнения третьего порядка им = у(х), если а(0) = а(!) = О, и'(0) = а'(!). 222. Построить функцию Грина задач с граничными условиями: (а) — + йб = б(х — х ), б(х, х') = 0 при х < х'! бб Их бгб (б) — + й~б = б(х — х'), б(х, х') = 0 при х > х'.
4х' 223. Построить функцию Грина лля оператора дг 2 Б= — — —, а(0) =О, и(оо) < ао, 0<к <со. !х2 хз 224. Найти функцию Грина слелуюших краевых зюыч лля уравнения колебаний струны ан + йги =,Г(х). х Е [О, 1[: (а) и(0) = и(1) = О; (б) и'(0) = а'(1) = 0; (в) и(0) = и(1), а'(0) = а'(1). 7.5.
Задачи 191 225. Найти функцию Грина уравнения ич-Ьги = 7(х) с граничными условиями: (а) а(0) = О, функция а(х) ограничена при х — +со на полуоси х > 0; (б) а(х) — 0 при х — хсо. 226. Используя функцию Грина из задачи (б), получить решение уравнения ?Ьч + Ь ггг = 7(х), 1т й = 0 с граничным условием гр ег"* при х — +со; у(х) — 0 при х — хоо. 227.
Найти функцию Грина уравнения г 1, ги и + — а — — и=~(х), хб(0 1) хг с граничными условиями: а(х) ограничена при х — О, и(1) = О. Почему функция получается несимметричной: 6(х, х') х С(х', х)? 228. Найти обобщенную функцию Грина для операторов: (а) Ь = —, и(0) = и(1), а'(0) = а'(1); (б) б = — + гг, и(0) = а(1) = 0; д дхг дг (в) 2 = — + я, а (0) = а (!) = 0; дхг ,1г (г) Ь= — — 1, и(0) =а(0), а(1) = а(1). дх 229. Как будет выражаться через обобщенную функцию Грина решение неоднородных уравнений с неоднородными граничными условиями: Ы (а) ба= У(х), а(0) =а, и(1) = Ь, б= — +я; ,! г дг (б) бу = Г(х), и(0) — а'(0) = а, и(1) — и'(!) =. Ь, А = — — 1? дхг При каких условиях на у(х) уравнения имеют решения? 230.
Найти функцию Грина трехмерного уравнения Пуассона гги = ,Г(х, у, е) в полупросгранстве е > 0 с граничным условием и(х, у, 0) = О. 231. Найти функцию Грина уравнения Пуассона гХа = Г(х,у,е) в области х > О, у > 0 с граничным условием и(0, у > О, е) = и(х > 0,0, з) = О. 232. Найти функцию Грина уравнения Гельмгольца сги-Ь и= Г(х,у,з) в полупросгранстве л > 0 с граничным условием и(х,у,О) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
