1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ь (6.17) (6.18) Правые части усредненных уравнений содержат фурье-компоненты вы- нуждающей силы. 168. Найти и исследовать на устойчивость яредельный цикл уравнения Ван-дер-Поля й+ыьх = е(1 — х )х, где е- О. Решеияе. Усредняя вынуждающую силу 7(х, х) = -(1 — х')й по периоду, получаем согласно формуле (6.17) е е Г 12~ ,7 = — С(,7) = —.7~1 — — ).
ыр 2 х 4) 169. Найти зависимость от времени усредненной амнлитуды линейною осциллятора нри реюнансе с внешней силой 7(!) = Гь соз ые! я+ь'ьх = 1(!). Реюеяие. Перейдем к медленным переменным 1, д х = 1 сох ф, х = -1 ив мп ф, ф = ыь! + д. При точном резонансе явную зависимость внешней силы от времени можно выразить через быструю фазу оспиллятора ф в внле 7(!) = Гь соя (ф-д). Усредняя вынуждающую силу по периоду, получаем согласно формулам (6. ! 7), (6.18) уравнения для усредненных переменных ( 7, й): Гь . Гь Х = — — япй, й = — — созй.
2ыь 2ыь Это уравнение первого порядка имеет три стапионарные точки, в которых 2 = О, а именно й = О и л = х2. Первая из них при е > О неустойчива, а две других устойчивы. Устойчивая стапионарная точка соответствует предельному циклу в исходном уравнении второго порвдка. Уравнение Ван-дер-Поля описывает установление автоколебательного режима в генераторе. 154 Глава 6. Асимитонтческие методы Уравнение на й имеет одну устойчивую стационарную точку й = — у.
Средняя амплитуда колебаний нарастает линейно по времени: Х(!) = Ок. Зтот результат совпадает с асимптотикой точного решения на больших временах: х = О-ф~). 17!!. Найти зависимость ат времени усредненной иммитуды линейного осциееятора нри параметрическом резонансе Й = 2ыо, когда собственная чистота измеиветсв ло закону ь33(Ф) = ыоз(1+ е з!и Й!): й + ыо(1 + е з!и Й !)х = О. Решение. Перейдем к медленным переменным 1, б: х =1созф, й = — Уьгоо!пф, фод ьч!+б. Прн параметрическом резонансе член, описывающий возмущение, можно записать в виде -2еыозх сох (ф — б) нп (ф — д). Откуда, согласно формулам (6.17), (6.18), получаем уравнения для усредненных переменных (.У, й): еыо еыо . ,У= —,Усоо2й, й= — — мп2й. 4 ' 4 Уравнение на б иыеет две устойчивые стационарные точки б = О, либо б = и (бисгабильность).
Средняя ампяитуда колебаний меняется в обоих случаях зкспоненциахьно,У(!) =,Уо ехр (гз4'). !71. Найти зависимость ат времени амвлитуды колебаний асциллялюра с маеым кубическим затуханием й+ ех +мох = О. Рештше. Усредненное уравнение (6.17) У= — О(У) О(У) =-У ыо — / дфз!и фт--У ыо е 3 3 1, 4 3 3 3 ыо ' 2к 8 о легко интегрируется. Усредненная амплитуда колебаний затухает по следующему закону: ,У(!) = $» 1+ йдоыо! 3 33 172. Найти невииейныи сдвиг часттиы ангармонического всциееятора (!равнение Дн3ффиига) 3 3 й+ мох = -ех . 155 6,7.
Задачи 1зевгенме. Усреднение по формуле (6.17) дает У = О, что является следствием гамильтоновости системы. Усредняя по формуле (6.!8), получаем уравнение на усредненную фазу Зе,уз р = —. 8ые Величина д называется нелинейным сдвигом частоты ои -+ ыус = хе+ х-,- и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний: х = Усов (огуД). 6.7. Задачи 173. Найти асимптотическое разложение интегралов Френеля прн х- +ос Р~(х) = / соз(Р ) 66, 174. Найти асимптотическое разло:кение интеграла при а со Г дхе* 6'(а) = / з з. 2 о 175.
Найти асимптотическое разложение интеграла при ы +со, а = сопи Грехе "* Р(ы,а) = / —. ,/ а+а е 176. Найти асимптотику интеграла при и — +со т/2 ао = / 5!и 1 аг. о 177. Найти асимптотическое разложение функции ошибок при х -~+со ЕгГс х = / ехр (-1 ) М. Глава 6. Асиилтотиееекие методы 156 178. Найти асимптотическое разложенне интегральной показательной функции при я — +оо 179. Найти асимптотику интеграла при а — +со Указании Слепить замену переменной 1 = топ». 188. Найти аснмптотику полиномовЛежанлралля х > 1 при1 — +со 2» 1 г 2)(, ) = — 21~ (я+ й' -1 1) д1.
2а / е 181. Найти асимптотнку модифицированной функции Бесселя при я — ~ +со к 1 1„(х) = — ~ соаяВехр(ясоаВ) ВВ. е 182. Найти асимптотику функции Макдональда при я > О и и - +со 1Г К„(я) = — у ехр (-и1 — и сй 1) 81. 2,/ 183. Найти асимптотику функции К,(„— ", ) при и - оо и фиксированном а > О. 184. Найти асимптотику интеграла Френеля при я - +со Ф(я) = / ехр( ) гд 185. Найти главный член аснмптотики функции Эйри при х — -со ьи)= — '1 . ]'('-.и)]ю. Указание: Сделать замену 1 = ть»-й.
157 6.7. Задачи 166. Найти асимптотику функции Бесселя целого порядка при и = сопз! и в -«+со ! !' ,У„(х) = — / ехр (1е з!и Гà — гги)) др. 2я,/ 167. Найти асимптотику функции Бесселя Х„(п) при и — +со. Указание: Использовать результат задачи 164. !66. Найти асимптотику функции Бессела Х„(,— ") прн п — +со и фиксированном О < Д < 7. 169. Найти секторы схолимости на бесконечности в комплексной плоскости следуюгдих интегралов е! — — ~ ехр ( — и ) де; лз = / ехр (!х ) да; Рз = / ехр (х ) дв, ОО -ОЭ и ) Π— целое.
196. Качественно изобразить на комплексной плоскости линии уровня вещественных и мнимых частей функций (а) м(л) = л; (б) щ(л) лз (в) и( ) аз. (г) м(е) =!па; (л) м(х) = 1п(лз 1); (е) м(л) = е*. !91. Найти стационарные точки ее функций м,(е) = л — 1; мз(е) = л; тиз(л) = 1п(л + 1). В каких направлениях от стационарных точек Функции Ке ю(я) убывают, а в каких возрастают? 192. Доказать тождестао А1(в)+ыА1(ых)+ы А!(и х) = О, где ы = ехр (2м), лля Функций Зйри !з А!(х) = — / ехр ~!( — + ж!) ~ дГ. 6.8.
Отвемы 175. При и — +со и фиксированном и ~« Р(и,о) ~~~ (-!)"— (иа)«+Г «=0 176. При и- +ос 8„~ — (!+О(п ')). у 2п 177. При х- +со ехР(-хх) х Г(п+ 1/2) ( Г(1~2) 178. При х- +со ехр (-х) «Г(х + ш) (-х) х" ~- Г(п) 179. При а- +со Р(а) у — ехр ~--а ~ (1+О(а 1)). 1'2х ~ З „,~ -2 3 Чз 188. При ! — +со и фиксированном х > 1 181. При х — оо и фиксированном и 1«(х) (! + О(х ')).
«~ 2хх 182, При и оо и фиксированном х > 0 «д«-~/ — '( — ") «~о(-'Я. 183. Прн и- со и фиксированном а > 0 К„( — ) х — ехр(и(а — сйа))(1+0(и ~)). Йа Т 2Р 184. Прн х +со 1е'* 2 ф(х) - — (1+ О(х-')). 160 Глава 6. лскилтотические методы 185. При х -оо А!(х), соз (- ]х] ! — — ) (1+ О(]х] ! )). 186. При х — +ос и Фиксированном в /2 / яв хт — ! Хн(х) т! — соа ~х - — — — /! (! + О(х )).
У'* ~ 2 187. При и +со 2„(в) ~ — / (!+О(в цз)). Г(!/3) /б т Ц 2х,/3 (,и/ 188. При и — +со и фиксированном б г„( — ~1 е — соз (в()3 — Гй]3)+ — /(!+О(и ')). ~саар~ )~ хигвг7 е 189. Секторы сходимости интегралов в комплексной плоскости переменной * =]х]его г,: де ] '-,'] е,: ее]0,'].]'-,.] ° 2я' х 2х З,г В). 9 — + — <В<9 — + —, 9 — целое. и 2и и 2в' 198.
Указание: Записать комплексную переменную в виде г = х + !р н найти уравнения кривых на плоскости (х, р) из Йам(г) = саин или !гам(г) = сопзг. Обратить внимание на нули и особенности функций м(г). 191. Все функции имеют одну стационарную точку го = О. Функции Кем~(г) и Кеиз(г) возрастают вдоль вешественной оси и убывают вэзль мнимой оси от седловой точки. Функция Ке мт(г) возрастает вдаль направлений В = О, ф, ф, а убывает вдоль направлений В = хт, к от стационарной точки.
где  — аргумент г = ]г]его. !92. Указание: Сделать замену переменной в интегральном представлении функции Эйри: ! „- во втором слагаемом тожлества и !- !ы в третьем слагаемом. Преобразовать сумму интегралов в олин контурный интеграл (см. рис,6.3). 193. При х +со е<Н - -- -р (- -,) о ( е (--, "')) . 1б! 6.8. Оглееты 194. При 1 — со и фиксированном  — ! РДсоз В) ~ —, зэп ~ В ( 1+ -) + — ) (1 + О(Г ) ); т1ипВ 2 4" В1 » ~, ( — В)1» 1. 195. Усредненная амплитуда осциллятора уменьшается по закону з(1) = .7(0) ехр(-71). 196.
Усредненная амплитуда осциллятора уменьшаеэся по закону .у(Ф) = Х(0) —, при 0 <1 < 471 яме У(0) яыо 47 197. Частота колебаний маятника равна мял — )/ (1 ), где а — амплитуда малых колебаний. 198. Уравнение на усредненную амплитуду колебаний имеет вид =' — '( -'— '). При е > 0 это уравнение имеет одну устойчивую стационарную точку 1 4 Эт Глава 7 Метод функций Грина г.1.
Функции Грина 1. Метод функций Грина позволяет решать неоднородные линейные дифференциальные уравнения с произвольными правыми частями. Функция Грина первого рода С(х, х'), х, х' Е уз С Йя краевой задачи (7.1) ~и=Л Щяев=б, где ь и 6 — некоторые линейные дифференциальные операторы, удовлетворяет уравнению СС(х, х') = д(х — х') (7.2) и граничному условию ВС(х, х'))еев — — О. Область 77 и ее граница Я схематически изобрюкены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
