1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2 2 Найти кратности выронсдения состояний. Решение. В декартовых координатах переменные в этом уравнении разделяются. Для двумерного случая полагаем Ф(г) = Ф (х2)Ф (хг), г = (хн хг). На Ф'(х,) получаем одинаковые уравнения — — ~ — — хг) Фг(хг) = Е«Ф«(х;), у' = 1,2, Е = Е + Е . 2 ~д*,'. Это уравнение Шредингера для одномерного осциллятора, собственные функции и спектр которого найдены в задаче 134. Таким образом, энергия стационарного состояния равна сумме энергий Енг = и. + 1 одномерных осцилляторов Ен =и, йп +1тН+1, Кпннз т0,1,2, 123 5.4. Примеры а искомые собственные функции есть произведение функциЯ Ф„',(х~)х Фг,(хг), явный вид которых приведен в задаче 134. Кратность вырожлення Н-го уровня рь есть число линейно независимых собственных ФУнкций с оДинаковой энеРгией Е», т.е.
пз + пг = гзГ. Так как каждому п~ г соответствует только одна собственная функция, находим, что » 9» = 2 б(п~ + пг — 1зг) = Н+ 1. нам=в В трехмерном случае действуем аналогично. Поскольку энергия стационарного состояния определяется теперь суммой трех целых чисел 3 3 Ен =из+из+из+- ш Н+-, Мпппг,пз =0,1,2,..., то кратность вырождения уже другая: (Н+ 1)(Н+ 2) у» = у б(пг +иг+ пз — дг) = 2 в~,вз,из=В 136.
Найти собственные функции и энергию стационарных состояний уравнения Шрбйингвра йи трехмерного осциггятора в сферических координатах: --(г3 — т )Ф(з') = ЕФ(т). 1 2 Реаиаие. В сферических координатах переменные в уравнении Шредингера лля трехмерного осциллятора разделяются Ф(т) = Е(т)уг (Р, и). Здесь гг (й, и) — сферические функции, выражающиеся через решения уравнения Лежандра (задача 130). На рааиальную функцию получается уравнение г г1 г г 1(1+ 1)~ Е(т) + (2Š— т — — Е(~ ) — О тг ат ат Асимптотнка решения в регулярной особой точке т — 0 этого уравнения Е(т) тг, р(р+1) — 1(1+1) =О, р=1, р=-1 — 1, а в иррегулярной т со / тг~ Е(т) ехр (~ — ) . 2)' Выделяя асимптотики Е(т) = у(т)т'ехр(-у), для функции у(т) получаем — + ( — — 2т) — +2 (Š— ( — -) )'=О.
Г28 Глава 5. Специальные функции Сделаем неконформную замену переменной л = г'. д?У(з) У 3 ~ ф(л) Š— 1 — 3/2 х — + ~1+ — — ху! — + у(л) = О. а.* ~ 2 ( да 2 Зто вырожденное гипергеометрическое уравнение (5.7) сводится к уравнению Лагерра (П 58) с индексами и = 1+2, 2п = Е-1-2, если и — целое ! 3 неотрицательное число. Из условие убывания В(г) при г — оо получаем, что 7(з) равна обобшенному палимому Лагерра Ь"„(л), а собственные функции имеют вид Жьдт(г) = Аьг ехр1 — — ~й~„+?1?(г?Я (В,!р), 2,7' " 3 3 Ен = — + 1+ 2п гя К + —.
2 2' Лля вычисления кратности вырождения дн уровня с энергией Ен вспомним, что при фиксированном 1 имеется 21+ ! линейно независимых функций Р? с различными пь, поэтому !н/?! и (Е+ !)(87+2) дн = '?,Я (21+ !)8(1+2п — У) = ~ 2(Ф вЂ” 2п)+! = =ь ?=о Сравните с ответом к задаче !35 лля трехмерного случая. Очевидно, что полученные собственные функции для Ф-го уровня энергии являются линейными комбинациями собственных функций с той ?ке энергией из задачи !35.
137. Вывести интегральное представление (П.бб) для нолиномов Лагерра, используя нреобразование Ланласа уравнение (П.58). Ртиеиве. Подставляя обратное преобразование Лапласа л„"(х) = —, д1е у(1) 2я1,у с в уравнение (П.58), получим М з (1)е ь [х1 + (и + ! — х)1+ и)[ = О. с Тождество хе'* гв -зГ позволяет переписать полученное уравнение в виде д ы М У(1) — (1' — 1) -ь ((и+ !)1+ п)е" = О. с 129 5.4. Примеры Интегрируя по частям, находим, что д (1з — 1)з(1) д! еы — + ((и+ 1)1+ п)у(1) = О, с если контур интегрирования С выбран так, чтобы внеинтегральные члены обрашаяись в нуль.
Выражение в квадратных скобках дает дифференциальное у1швнение первого порядка для у(1): д(12 1) Г(1) = ((и+ 1)!+в)у(1), дй решение которого имеет вид (1 — 1)" +" «+3 Эта функция имеет полюс при 1 = О, поэтому контур интегрирования С можно выбрать в виде окружности ралиуса 1 < 1, как указано в пояснении к формуле (П.бб): (о+> У (! — 1)«'" и и А"„(х) = — уг е'* —. 2я! / 1" Нормировочная константа А не может быть определена из уравнения, «Гг«+«<-1) а задается дополнительным условием нормировки Ь„(О) = -р(-„--,сз, которое следует из формулы Родрига (П.59).
Вычисляя интеграл при х = О, получаем интегральное представление 138. 22оказать, что функция Бесселя выражается через контурный интеграл (представление тина Шлефли) !е~ы 1 Г дз /хз х ! ,У«(х) = —, / — ехр ( — — — ), 2л1 1 л««! ( 2 2л)' где интегрирование идет ло контуру, начинающемусн и заканчивающемуся в -со, обходящему точку з = 0 в лололсительнаи налравлении (рис. П.г) . Решение. Подставляя разложение функции ехр (- — ) = ~~ — (- — ) 1ЗО Глава 5.
Слециальные функции в контурный интеграл, получим лля и-го члена ряла при Ке(и+ и) < О: !а»! !)п(хг2)зп+» !» ехр(1) и! 2хз з ( !)п(хг2)зп+г ( 1)п(х/2)зп»» з!п (я(и+и+!))Г(-и — и) = яп! и!Г(п+ и+1) Последнее равенство слелует из формулы (П.З). Аналитическое продолжение этого выражения по и дает и-ый член разложения функции Бесселя в ряд по х (П.15). 139. Показать, что функции»Г п(х) = ( — 1)пйп(х) линейно зависимы нри целил и.
Решение, Воспользуемся разложением функций Бесселя в нуле (П.15) н тем, что Г(т) = оо при целых пз < О н Г(из+ 1) = зп! при целых пз > О. Х„(х)=( — ) ~~ь ( — ) г=-и Здесь ввелено переобозначение й = ! + п. 140. Показатьч что функция Неймана У» (П.2!) остается линейно независимой к Х„ (П.15) нри и - и. Решение. Надо вычислить вронскиан $т 1,У„(х), У„(х)) (5.2) и устремить и- и: х»» ( Т»(х) 2»(х)) =— хЗР(й», й-») яп (хи) х г' й»»(х) ЙХ»(х) т = 1пп, (Х»(х) —" —.7„(х):" *-еяп(аи) 1, " йх " йх 2у Г(-и+ 1)Г(и+ !) з!и (хи) Здесь мы воспользовались тем, что в силу (5.4) вронскиан двух решений уравнения Бесселя имеет вил зу (х) = —,"", а вычислять константу удобнее при * = О.
Поскольку получившаяся константа (см. (П.З)) 2и 2 2 Г(-и+ 1)Г(и+ 1) ага(яи) Г(! — и)Г(и) з!п(яи) не зависит от и, то в пределе и — и вронскиан остается конечным, а значит У„(х) и 2„(х) линейно независимы. Ь 13! 5 4. Примеры 141. Выразить функции Бесов»я с полуцелым индексом Я + терез элементарные функции.
Реюеиие. Для .У~/з(х) имеем (П.15) /х (-хт/4)» /х (-хт)» / 2 )(х) = !/' 2 ~ й!Г(й+ 3/2) !/ 2 „«=, (2й+ !)!Г(3/2) = Ч я; "п(х)* где мы использовали сгютношение (П.2) Г ~й + -) = (2й+ 1)(2й — 1)... 3 3'т Г (3/2) 2/ 2» и значение функции Г(3) = хс. Для того, чтобы выразить д ьцт(х) через элементарные функции, воспользуемся формулами дифференцирования (П.1В) в-цт д г - ьц» ю+ Г = (-1) х ~х — /! —,Тг(х).
ни / -! д ~" 1 дх/ ~/х 142. Исходи из дифференциального уравнения (П.14), получить с помо»пью преодраэованин /таплого интегральное представление типа Пуассона (П.20) для функции Бесселя с целым индексом. г/еиу равен лапласовский образ ль(х) У Решение. Функция /(х) = х "д„(х) удовлетворяет уравнению 42 д х — /(х) + (2п + 1) — /(х) + х/(х) = О, дх» дх коэффициенты которого являются полиномамн первой степени. Полставим в это уравнение обратное преобразование Лапласа / «И /(х) = ( —, ехр (хг)д(1).
2я» с После интегрирования по частям прнравнаем подынтегральное выражение нулю и получим — — (! +!)о(1) + (2п+!)Юу(1) = О. д» Чтобы аненнтегральные члены не давали вклада прн интегрировании по частям, должно выполняться равенство ехр (хС»)(!о + 1)д(!ь) = екр (хт»)(1» + 1)у(С»), 122 Глава 5. Специальные функции где !э, !ь — начальная и конечная точки контура С. Решая получившееся дифференциальное уравнение на д(1~, находим д(!) = А (! + 1)" Контур С надо выбрать обходяшим обе точки ветвления !' = т! функции д(!), например, замкнутый контур, проходяший вдоль берегов разреза от ! = -э до ! = э в положительном направлении (рис.
8.!). В результате ,Т (э) = — д! ехр (х!)(!э + 1) 2яэ / с где А„— нормировочная константа. Полученное выражение переходит в интегральное представление (П.20) после замены переменной ! — эт. Так как .Уэ(0) = 1, то, вычисляя интеграл, находим Аэ = !, а образ Лапласа функции А,(х) 1 до(!) = -,— —. 143. Используя формулы дифференцирования (П.18), наказать, чта нраизваднщан функция Р(э.к) = ~.. э-Ю.(я) имеет вид (П.25). Ранение.
Дифференцируя е.(э, е) по * и пользуясь формулами лифференцирования (П.18), получим др(к, х),~ АУ,„(н) и 1/ 1'~ — (,уд, ~(х) —,7ы, ~(к)) = — ~ э — -) Р(э, х). Решая это дифференциальное уравнение, найдем ги. С = си,н (*- ~, — -1) . Константу С(э) найдем из условия,У„(0) = 0 при и ф 0 С(к) = Р(э, О) = де(0) = 1. в" 144. Вывести интегральное представление Бесселя ,уь(я) = / соэ(ид — хз!яд) —, о васпальэевавшись нраиэввдящей функцией (П.25).
5.4. Примеры Решение. Сделаем замену переменной х = ехр(зд) а контурном интеграле, аыражаюшем функцию Бесселя через произаодяшую функцию (П.25) ' т Н вЂ” ': - (-' Н) = зз т ГВВ ... г" Вд = / — ехр (за ил (В) — зпд) = у — соз (ими (В) — пд). /2 о о В последнем рааенстае мы воспользовались симметрией и периодичностью функций взп (д) н ехр (зпд).
145, Выеееюи формулу СО »о((тз — тз() = ~', У~(т»)Х„(тз) ехр(зиВ), где  — уам мемеду еектереии тз и ть зг Решение. Подставив х = з ехр(ир) а аыражение для произяодяшей функции (П.25), получим равенство В т' 3' з~ ехр (зшу»)Х„,(В) = а 3В=-СО гз = ехр(засову) = ехр(ззузз), где у» — уп»л между вектором и и единичным вектором и, и' = Б Положим о = з' — т, обозначив за В угол между векторами т и т', а за а — угол между аекторамн т Рис.5.3. Векторы з.
т', В и зз (рис.5.3). Проинтегрируем полученное равенство по м, заданному на окружности единичного радиуса: уо(»т -т'!) = з —,у з ехр(зту»)Л ((т — т')) = г — ехр[в(т' — т)и) = ,/ 2я 2 2я о 2» ОО = / — ~ з ехр( — зйа)уз(г) ~~» з ехр [зт(а+В)У~(т')) = В 2я ехр(зтд),7ы(т)Х„(т'). Ь 134 Глава 5. Специальные функции 146, Найти свертку Р(д) = )' г(хйо(х)Уо(у — х). о Решение. Выполним преобразование Лапласа, чтобы превратить свертку в произведение: аг г1, х)О; —,д(1)ехр(х1) = у(х)В(х), В(х) = т 2яь' с Контур С' начинается и заканчивается в -сю, обходя в положительном направлении все особенности в комплексной плоскости лапласовского образа д(1) функции у(х).
Р(д) = ~ Вха (х)а (у — х)В(д — х) = о = / †, е" до(1) з( Вх .7о(х)е = у †, доЯе РВ1 „, У вЂ” м г ь" з вг / 2кь 2хь с о с Образ Лапласа функции Бесселя до(1) найден в задаче 142. Подставляя ею, находим Г Вт ег' с (д) = / —, — = ь1п д~ / 2 1П+1 с где контурный интеграл дается вычетами в точках 1 = хь) ь47. 2(оказать артаюнальнасть функций Бесселя (П.2б). Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
