1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Предположим, что искомое у нормнруемо относительно скалярного произведения (4.29). Тогда при 1 — +со оно удовлетворяет стационарному уравнению: дз 1 У дхз!+х ' имеюшему общее решение с двумя неопределенными константами: 1 С~х С + + г' (1+ з)з 1+хз 1+из' Они могут быть определены из начальных данных без решения полной эволюционной задачи, а с помошью соображений симметрии и закона 4.3. Примеры сохранения.
Действитеяьно, уравнение (4.28) и начальное условие инвариантны относительно отражения х — — х. Такой же симметрией лсижно обладать и решение, что сразу фиксирует С| = О. Далее, проинтегрировав обе части (4.28) по всей прямой х, мы получим, что интеграл ьш ) дх Е(х,с) от с не зависит. Поскольку при г = О он был равен нулю, то ! таким должен осиваться и при 1 — +со. Отсюда определяем, что С = т.
Итак, искомая асимптотика имеет вид 1 у(х,т) у=- з+ (~ + » г() + ) Норма атой функции относительно (4.29), очевидно, конечна. 168. Эамюция ясин ф(г,т) в двумернаы пространстве онределяется нелинейным уравнением Шредингера зф, + Дф+!ф)зф = О. (4.30) (а) Двказатгч что функционалы являются интегралами двиясения, (б) Доказать, что для локализованного в иростронстее начального возмущения величина: Е= / дгг )ф', удовлетворяет уравнению: дз — Е = -ЗН. дзз ЕЕснальзуя зто соотношение, юкалзть, что яри тможительиам значении Н в решении ф(г, Е) за конечное время образуется сингулярнасть (критерий Таланова). ЕЕными славами, существуют токой момент времени с' и точка нрастранонва г', чта нри 6 Р и г г'.
ф(г,с) — ° сс. Решение. (а) Выпишем вместе с уравнением (4.30) комплексно сопряженное: — зф1+ Дф'+ !ф~'ф' = О, (4.31) умножим (4.30) на ф' и (4.3!) на ф, вычтем олно из другого и проинтегрируем по пространству. Для ф(г, г), достаточно быстро убываюших при г оо, получим 2г =О. Гбо Глава 4. Аешаиодельность и нелинейные уроененил Далее, подействуем оператором ту на уравнение (4.30), умножим результат на ~7гу', из полученного равенства вычтем комплексно сопряженное и проинтегрируем по пространству.
Результатом этих преобразований будет соотношение: ' — 1 а Пуф~' = ~ йг ц 7з р' - й' 73 ф) )(А'. Ж,/ Умножение же (4.30) на Ф')фз, вычитание комплексно сопряженного и интегрирование по пространству даст — — ~ йг) Ф(' = ~ йг (й Ь ф' — Ф' 1З ф) М', 2 й,/ что вместе с предыдущим равенством приводит к закону сохранения ен —, =0. Решеиие.
(б) Действие оператором зг на 1 и использование уравнения эволюции (4.30) даст равенство; ь' — 1= ( Ига(фью' — Зй'2тф)=2/йг(3у(гт7)47' — ЯтЦЯ. (432) ох,/ Повторно лифференпируя по времени, подействуем сначала оператором 'е на первое слагаемое в (4.32). Используя явно проверяемое перестановочное соотношение ьь(г37) = (гт7) ьь +2ьь, получим 2а — г7г й(г~7)3й' = 2 )~ ог ((ф~(г37) !ф(~ — 2гу' тз гу) . Ф1 Если к этому выражению прибавить его комплексно сопряженное, то это и будет результат действия ~7 на зг 1, то есть: лг — — 1=0 йг~~Чф,'+ ~(гЧ)10!') =бн. Для перехода к последнему равенству нужно проинтегрировать по частям и учесть, что в двух измерениях д!т г = 2. Интеграл Н имеет смысл гамильтониана нашей континуальной системы, Ф вЂ” числа возбужденных степеней своболы.
Постоянство Н приводит к тому, что уравнение эволюпии функционала 1 легко решается: 1(Ф) = 1(0) + Сй — 4ХП . (4.33) Здесь С вЂ” некоторая постоянная, определяемая начальной конфигурапией поля гй. Предположим, что начальные условия таковы, что гамильгониан положителен: Н > О.
Тогда при любом конечном значении С наступит момент, когда 1Я обратится в нуль. Однако функционал 1($) по построению положителен. Единственный выход из получившегося !О! 4.3, Примеры противоречия — это непродолжимость решения неограниченно по времени, то есть образование сингулярности, называемое коллапсом. Для симметричного относительвз вращений начального распределения поля обращение Е(С) в какой-то момент времени в нуль означает, что вся плотность 1ф(г, С)!з в этот момент сосредоточена в точке г = О, где она, в силу сохранения интеграла С>Г, бесконечна. Нелинейное уравнение Шредингера описывает, в частности, распространение света в нелинейной среде. Критерий Таланова дает условие самофокусировки светового пучка.
Нелинейность увеличивает показатель преломления на оси пучка и действует как собирающая линза. Коллапс происходит, когда нелинейность пересиливает расплывание пучка из-за дифракции. ° ' 109. Уравнения (4.18), онисываютие одномерное двилсение баротрояного газа, квазилинейиы. Калсдое частное решение дается двумя функциями р, э двух неременныт х, С: р= р(х,С), э = э(х,С). (4.34) Переменные р, э могут быть иснользованы вместо х, С как новые независимые координаты, если якобион нреабразования не равен нулю. Показките, что в переменных р, э уравнения на функции х, С будут линейны" >. Решение.
Дифференцируя уравнения (4.34) по р и э и предполагая, что х, С являются функциями р, э, получаем систему дрдх ВрИ Врдх дрдС вЂ” — + — — =1 — — + — — =О, дх др дС др ' дх дв И да ди дх да И дв дх Ви И вЂ” — +- — — =О, — — + — — =!. дх Вр ВС др дх ди И да Решая эту систему относительно частных производных, входящих в уравнения (4.18), получаем др ! И др 1 дх да 1 дС да ! дх дх .У да' И ,У да' дх ,У др' И .У др гле,У = 8- ~ — ~ 8- — якобиан преобразования.
Подставляя эти гы и еа и р выражения в уравнения (4.!8), получаем систему линейных уравнений на функции С, х переменных р, э: В* И И вЂ” +р — — э — =О, ди др да дх дС сз(р) дС вЂ” — э — + — — =О, др Вр р д '> Такая замена называется ярвоерозоооявем миимраро. !Ог Глава 4. Автамодельность и нелинейные уравнения если л ф О, со. Ясно, что таким способом любая квазнлинейная система двух уравнений на функции от двух переменных может быть преобразована в линейную, если коэффициенты в исходной системе зависят только от решения. При физически важных значениях у = [Ег сбшее решение этой линейной системы находится аналитически [ЛЛ88[.
11О. (а) Показать, что уравнение Бюргерса (4.16) подстановкой Коула— Хопфа д и = — 2р — 1пй(х,1) Вх преобразуется в линейное уравнение на В. (6) С помощью такой подстановки найти периодическое в пространстве решение уравнения Бюргерса. Ртиеиие. (а) На В получается уравнение Интегрируя по х, имеем В, = рВ„+ У(1)В, (4.35) где у(1) — произвольная функция. Ее можно положить равной нулю. Действительно, умножение В(х,1) на любую не обрашаюшуюся в нуль функцию только времени 1 не влияет на н. С другой стороны, легко убедиться, что, отыскивая решение уравнения (4.35) в виде В = р(1)Ф(х, 1) и выбирая в качестве уз решение уравнения ~р — = Ф)р, д! на Ф получаем уравнение (4,35) с 2(1) = О. Ревтние.
(6) Одно из простейших периодических решений уравне— ~ьч ния В, = рВ„имеет вид В(г,х) = А -1- е в" 'з1п йх, где А — константа. Соответствуюшая функция е "ь 'соьйх и(г,х) = -2рдь1пВ(1,х) = -2рй, (4.36) А+ е ль'мийх не будет иметь особенностей при А > 1. Следовательно, (4.36) при А > 1 является периодическим решением уравнения Бюргерса при всех 1 > 1. м 111. Свести квазилинейное уравнение Лв — (ьта) = О к линейнолгу зоменои неизвестной функции.
с Ревнтие. Подстановка и = ы(») приводит к уравнению (ьги — ьгз) х (р»)з + и' г3» = О. Выбирая функцию ы(») как решение обыкновенного дифференциального уравнения ы — (ьг) = О, (4.37) получаем лля» уравнение Лапласа. Уравнение (4.37) имеет явное решение: м = С~ — 1п (к — Сз). Ь 112. Найти в системе квазилннейнмх ураввеннй второго нарядна Ь д — ни В соз В(хууг) = О, ГЗ р + 2 сгй д тудтур = О ретение вида д = у(»), уг = д(е), еде» вЂ” новая нентсстнан функция.
По- казать, что ири условии Ь» = О система сводится к системе обыкновенных йифдеренннольных уравнений на у, д. Ретив ее, найти В, у. дл(Ч»)~+д'г3» — япдсоздуго(~»)~ = О, уг" (~Г») + уг' Гг» + 2 сГ8 д ууд'(~г») = О. Если» вЂ” гармоническая функция, то получится система обыкновенных уравнений де — яп В сов дио = О, рл у 2 сгй др'д' = О. (4.38) (4.39) Уравнение (4.39) после деления на у' один раз интегрируется: с~ ьь = аса ~д Тогда мозно проинтегрировать и уравнение (4.38): а 4 В + — =сз, з!п зд где сн сз > Π— константы. Полученное уравнение снова интегрируется. В результате имеем решение ~ + дг сгйг(с,д») В = агсгй Гй(сф») р = агсгй Ф тле )3 = ф > Š໠— произвольная гармоническая функциа.
Эта система уравнений используется в теории ферромагнетнка. > Решение. Замена неизвестных функций В = д(»), р = р(») приводит к системе !04 Глава 4. Автамодельность и нелинейные уравнения 113, Найти решение и(х, !) уравнения в~ив — в = О, (4.40) удовлетворяющее условию п(х, 0) = хз. Решение.
Переписывая (4.40) в виде: Е = рй — и = О, мы приходим к уравнениям для характеристик в пространстве (и, р, о, х, !): й = Рг = д, 1 = Рь = р, р = -Р. — Ррь = р, (4.4!) 4 = -Р) — арь ш а, й = РУр+ др = 2Рд. Начало отсчета параметра т зафиксируем условием г(0) = О. Это даст связь С4 = -С . Равенство Е = ро — в = 0 определяет Сз = О. Далее, из начального условия следует, что при т = 0: и = х, р = и„ = 2х, что дает связи: С~Сз = (Сз + Сз) , С1 — — 2(Сз + Сз). Все зто позволяет выразить постоянные (даоль характеристик!) Сз-ь через С~.' ! о = — С~е", 4 с х = — С~е'+ — Сн 4 4 з м и= — С,е 4 р= С~е, $=С~(е — !), Выражения (4.43) для и, г, х — ни что иное, как параметрическое задание поверхности и = в(х, !), где параметрами служат г и Сь В нашем случае их можно исключить и получить явное выражение для и(х, !): 2ьз и(х,!) = ~х+ -) .
4) 114. Найти решение !й(х, р, !) уравнения тина Гамильтона — Якоби !й2-Р2-Ф„' =О, (4.43) удовлетворяющее условию ьр(х, у, О) = /хг + рз. (4.44) Решевие. Обозначая рс = Фн р~ = р, и рз = !йг, перепишем уравнение в виде Е = рь — р( — р, '= О. Его характеристики — кривые в семимерном пространстве, определяемые уравнениями: ! = 2рь, х = — 2рн у = -2рп Р = О. рь=р~ =рз=О, Обшее решение атон системы содержит пять произвольных констант С, у= !,...,5: Р=С1е, о=Сзе, х=Сзе +Сз, (4.42) 1=С,е +С4, в=С1Сзе +Сь 105 4.4. Задачи Требуя, чтобы значению параметра т = 0 соответствовало 1 = О, получим решение этой системы с шестью произвольными постоянными: Ре=Се, и =Сн Р»=Сн т»=С», 1= 2Сет, х = -2С,т+ В„у = -2С»т+ В;. При 1 = 0 мы знаем выражения и, Р~ — — »Р, н Р» = Рт через х и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
