1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Общее решение системы (4.4)-(4.6) зависит от пяти произвольных постоянных. Одна соответствует произволу в выборе начала отсчета параметра т и фиксируется из соображений удобства. Начальные данные для уравнения (4.2) залаются на какой-нибудь кривой Г в плоскости (х, у). При этом определено как значение самой функции а(х, у) )г, так и производная вдоль этой кривой, то есть некоторая линейная комбинация р и в.
Таким образом, начальные условия устраняют произвол еше в двух постоянных. Наконец, учет исходного соотношения (4.2) оставляет свободной только одну константу. Получившееся однопараметрическое сеыейство 86 Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения кривых при проектировании на надпространство (и,х, у) образует график искомого решения, то есть поверхность и = и(х, р).
Аналитическое выражение может быть найдено исключением параметра т и оставшейся произвольной постоянной. Некоторые методы решения уравнений с помошью преобразований подобия описаны в [ЗРбб[ на примере задач газовой динамики. Начальные сведения по аналитической теории нелинейных волн можно найти в [Уиз77[ и приведенной там библиографии. 4.3. Примеры 97. Требуется решить уравнение тенлонроводности (4.7) ш = хи.* на вещественное оси ( — оо < х < оо) нри 1 > О.
Ищем решение, удовлетво- ряющее точечному начальнаиу условию и(х, 0) = сгб(х) (4.8) и убивающее иа бесконечности и(хсо, Г) — ~ О. (4.9) и(х,т) = — У( — ), (4.!0) гле ~(б) — безразмерная функция безразмерного аргумента. Подстановка (4.10) в уравнение (4.7) позволяет определить |(б): у(~) = — ехр ~- — (. 2~/я 'х 4 у Характерная ширина 1 энергосодержашей области (где и велико) растет со временем как 1(1) чЩ а максимальное значение величины и убывает как А(1) Способ построения автомолельных решений можно сформулировать и в несколько более обшем виде, чем анализ размерностей.
Именно. автомолсльная полстановка проходит через уравнение, если оно Решение. Решение зависит от обеих независимых переменных х,1 и от параметров задачи х,4). Размерности этих величин следуюшие: [1[ = Т, [Х[ = ЬзТ ', Щ = [и[. Ь, [х[ = Ь. Здесь Т,Ь,[и[ — единицы размерности времени, длины и величины и соответственно. Найдем безразмерный параметр задачи б = 3" ххх. На показатели степени имеем два уравнения: и — й = 0 и 1+ 24 = О. Для подстановки следует взять и = й = — -', откуда б = -87.
Тогда решение уравнения теплопроводности чх ' можно искать в виде 87 4.3. Примеры инвариантно относительно согласованных масштабных преобразований пространственных переменных г и времени 1. При этом автомодельной переменной С является инвариантная комбинация г и 1. Закон же преобразования искомой функции может диктоваться как самим уравнением, так и требованием инвариантности начальных и граничных условий. Начальное условие (4.8) задано в виде 6-функции. Если задать ненулевое начальное условие в области конечной ширины, например в виде гауссовой функции ~!Л в(х, 0) = — ехр ~- — ~, ьгяа ~ аз /' в задаче появится второй масштаб а, и автомодельное решение (4.10) уже перестанет быть точным решением задачи Коши, но останется верным асимптотически на больших временах, когла 1(1) = ъгскт л а, и конечностью а в сравнении с характерной шириной решения можно пренебречь. Вместо граничного условия (4.9) в залачах также может встретиться требование обращения решения в нуль на концах некоторого конечного интервала.' в(~Ы) = О.
В задаче тоже появится второй масштаб, поэтому автомодельное решение перестанет удовлетворять граничным условиям. Однако автомодельное решение справедливо на малых временах до тех пор, пока Таким образом, в задачах, где характерные масштабы начальных и граничных условий существенно различаются (а < Ц, автомодельное решение представляет собой лромехсуточную осимнтотнку. 98. Найти автомодельное решение одномерного уравнения тенлонроводности и, =Вьл ори условии, что в начальный момент времени в(х, 0) дх = 1.
— ьэ Решение. Изменение масштабов всех переменных 1 — р1, х Лх, и — иа должно оставлять инаариантными уравнение и начальное условие, откуда (4.!!) Ф Лт' Ли=1. (4.12) ВВ Глава 4. Автаиодельность и нелинейные уравнения Из (4. !1), (4.12) получаем Л = рцз, и = р Нз. Поэтому можно искать неизвестную функцию в виде в(х,г) = — г( — ). Полставляя в уравнение теплопроводности, получаем обыкновенное диф- ференциальное уравнение лля функции 7: Ув+! (И) =О, 2 которое интегрируется з'+ ау = сонм = С.
Обшее решение имеет вид Е У(С) = е Г Ы(С~ + С / др е" ~л) . о Функция 7 интегрнруема только при С = 0; постоянная С~ находится из нормировки начального условия. Мы видим, что в этом случае условие автомодельности однозначно определяет решение и(х,4), и, следовательно, оно совпадает с решением предыдущей задачи при Я = 1: У изей в(х,а) = — ехр ( — — ). ъгаяг ~ 41 ) 99.
Найти автомодельную подстановку для одномерного уравнения тенлопроводности на полуоси 0 < х < оо и реигить задачу Коти, если (а) и(х,О) = О, гг(0, Г) = 1; (б) в(х, 0) = О, и(0, Г) = й Решение. (а) Вместо (4.12) найдем второе уравнение для Л,р,и из условий задачи. Граничное условие фиксирует и = 1, тогда авто- модельная подстановка н(х,!) = 2( — ) дает уравнение Ул+ — ~~' = О 2 с граничным условнелг у(0) = 1, У(со) = О. Его интегрирование дает: зх в(х,г) = — / ехр (- — ) д~г. лl ~ ) 4,3, Примеры Решение. (6) Граничное условие дает и = р, откуда получается автомодельная подстановка и(х,г) =1У~ — ), после которой наао решить задачу У" +-1У'-У=о, У(о) =1, У(+.
) =о. 2 2 Одно решение у) — — 1+ 1Г легко угадать, но оно не удовлетворяет условию на бесконечности. Второе решение можно найти с помощью подстановки У = У,У), где Ут — новая неизвестная функпия. Таким образом, в(х,г) = С(х +1) ехр(-)))У4) до ) У ехр( — )) /4) дг) (2+)) ) (2+)) ) 100. Найти автомодельнуш подстановку и автомодельное решение нелинейного уравнения тенлонроводности » ди — = — ~и" — ~, / и(х,о)дх= 1, и(-х,г) =и(х,г). Вг д ~ О*У'' Решение.
В нелинейном уравнении теплопроводности (или диффузии) вместо (4.11) из инвариантности уравнения относительно преобразований растяжения получится и»») Отсюда и нз (4.12) Л )/1»+2) -'д"ь)) и, следовательно, автомодельная подстановка имеет вид и(х 1) 1-)д» )) у( 1-))1 +))) Уравнение приводится к обыкновенному дифференпиальному (У" У')'+ — ЦУ)~ = О и+2 которое можно проинтегрировать 1 У"У'+ — бУ = Сь и+2 В силу граничных условий У'(0) = О, поэтому С) = О. Переменные разаеляюзся, а вторая константа интегрирования находится из условия 9О Глава 4.
Аетомодельность и нелинейные уравнения а(х, 1) 1 Рис. 4Л. Автомолеиьное решение нелинейного уравнения теплопроводностн при и = 2. Стрелкой показано направление распространения волны ( — г = 1; - 1=2; — - 1=4) нормировки. Получается решение типа тепловой ударной волны с резким передним фронтом (рис.4.1).
з ту» а(х,г) = — С вЂ” ~, при х ( 2(а+ 2)1 Л"+ 1; 2(а+ 2)ПЛ ч-з>~ а(х,г) = О при х > 2(а+ 2)1зд"+з1, и ф О," 8л Гт (2) В частности, при а = 2: С'= ~. При и = О см. задачу 98. 101. В нолунространстве х > О было задано настоянное пале температур а(0,х) = ае > О. Начинал с момента времени 1 = О и долее температура нл левой границе х = О лоддерхсивается равной а(1, О) = — ае. Уравнение звслюции температурного ноля а(х, 1) имеет еид а, — Ха„= 14 — б(х — у(1)), ду(1) (4.13) где функция времени у(1) определяется условием: а(у(Ф),1) = О.
Найти а(х,б) и у(1) лри всех Ф > О. Рассмотреть, в частности, асимнтотику Я- +оо'1. Решение. Левая часть уравнения (4.13) при преобразовании подобия х — Лх, 1 Лтг и а - а, не меняющем граничных и начальных условий, приобретает общий множитель 3т. Правая часть (4.13) будет преобразовываться по такому же закону, если мы положим у(1) = 2а /~Ф, О такач пестаиовка иипиетси частным случаем эапачи Стефана и лпижеиии франта кристаилизипии жалкости.
еклажлаемпа иа поверхности х = О. Фуиквии В(Г) ппрелелиет полажение поиерхиести рпзлела физ, и величине О пролормиеиальна тлельнпа теплоте плавлении. 91 4.3. Примеры После подстановки (4.14) уравнение (4.13) сводится к обыкновенному: Гн(в) + -Г + а96(в — 2а) = О. 2 (4.15) Асимптотика функции Г(в) при в +со следует из начального условия: Г(в - +оо) — ио. Другим граничным условием для Г(в) является Г(0) = — ио. Общее решение уравнения (4.15) в областях в ( 2а и в > 2а находится без труда: -«П« Г(в) = А, + В~ / «Гв е о Г(в) = Ат+ Вз / «Гв е ' « в (2а; в) 2а. Константы А~ г, Вьз и а опРеделЯютсЯ непРеРывностью Г(в) пРи в = 2а, скачком производной Г'(2а+ 0) — Г'(2а — 0) = — ао'„г и требованием и(у(1),1) = Г(2а) = О. В результате получим ио ио А~ —— -ио, Аз = ио, В~ = , Вз = « где егГ а = ~~, ) «Гв е * — интеграл вероятности, и константа а находится о из трансцендентного уравнения: ио( 1 р ) = Г)".
з/я 'хегГа 1 — егГа/ ПРи Г',Г 0 УРавнение выРождаетса в егГа = т, так что в этом пРеделе а ю 0 48 и у = 0 96ьгу7. При 1 — +ос получим а а~ -')/ф, то есть 2иоХ у(!) = — 1. Большое тепловыделение замедляет движение фронта кристаллизации. и 102. Уравнение Бюргерса (4.16) и, + ии, = ри„, -со ( х < +со где а — безразмерная постоянная, а множитель 2т/т вьщелен для удобства.
Это означает, что решение задачи имеет автомодельный вид: и(х,1) = ~(в), в = —. lхГ 92 Глава 4. Аетомодельносвь и нелинейные ураянения олисыеает слабые ударные еолны е среде с диссинанией энергии. Найти решение тина ударной волны, т. е. удоелетяоряющее условиям !пп а(х, 1) = а„!пп а(х,1) = аз. — и » ««» Решение. Подстановка (4.1) в уравнение Бюргерса приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению Ин = Х'(У вЂ” У) (4.17) с граничными условиями 7( — со) = ан у(+со) = аь Интегрируя (4.17) от -оо до+со, получаем -У(аз — а~) + — (аз — и,) = О, з 2 откупа У = -гз"з, поэтому скорость ударной волны зависит только от граничных значений и не зависит от параметра р (вязкости среды).
Далее, интегрируя (4.17) один раз от -оо до С и учитывая явное выражение скорости фронта У через и~ и аз, получим уравнение с раэделяюшимися переменными: рг» = — (à — а~)(7 — аз). 1 2 Его решение 1(0— и~ + аз ехр ((а1 — из) с/2р) т»1 — аз (и1 — из)4) 1+ ехр ((а, — из) сг2р! 2 з, 2р — У 10~ удовлепюряет граничным условиям только при а~ ) аз (в противном случае профиль скорости начав бы «распрямляться», и ударная волна исчезла). Оно иэобра:кено на рис. 4.2 при аз — — О. Ширина фронта ударной волны (нинка) увеличивается с ростом вязкости среды р. у(х — И) 2 Рие. 42.
Решение уравнения Бюргерса типа ударной волны: и~ —— 2, аг = О. Значения вязкости р: — 0,1; †- 0,3; Олй С уменьшением и фронт волны становится круче 0 -4 -2 0 х — И 2 4 93 4.3. Примеры 103. Показать, что уравнение Хортевега-де Фриза и~ + бии + и,ь = О имеет решение в виде бегущей волны. Найти частное решение, обращающееся на бесконечности в нуль вместе со своими первой и второй производными по х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
