1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Простейшие уравнения, решаемые методом Фурье Простейшее уравнение гиперболического типа (так называемое одномерное волновое уравнение) имеет вид 2 аи — с а„= О. В частности, оно описывает плоские свободные незатухающие колебания струны. Мы будем пользоваться этой наглядной интерпретацией. Тогда а — отклонение струны от равновесного положения, сз = —— г квадрат скорости волны, выраженный через натяжение струны Т и ее линейную плотность р.
Лля этого уравнения мы будем использовать два типа граничных условий по координате. Граничное условие а(а, г) = 0 молелнрует конец струны, зажатый в точке а. Граничное условие а,(а, 1) = 0 моделирует конец струны, закрепленный на невесомом кольце, которое без трения скользит по штанге, перпендикулярной равновесному положению струны.
Начальное отклонение струны н ее начальная скорость залаются условиями а(х, 0) = у(х), и,(х, 0) = т(х). Простейшее уравнение параболического типа (уравнение диффузии или теплопроводности) 3 а,=а и„ описывает, например, распространение тепла вдоль однородного прямого стержня, теплоизолированного по всей длине и обменивающегося теплом с окружающей средой только через его концы. В этом случае а соответствует отклонению температуры стержня от температуры окружающей среды.
Граничное условие а(а,1) = О означает совпадение в точке а температуры стержня с температурой окружающей среды. Граничное условие и,(а,1) = 0 моделирует конец стержня, на котором нет 58 Глава 3. Линеннме уравнения второго норядка теплообмена с окружаюшей средой. Начальное распределение температуры задается условием в(х, 0) = уг(х). Простейшее уравнение эллиптического типа (двумерное уравнение Лапласа) вы+ вее — О описывает электростатический потенциал в области или стационарное распределение температуры. Мы будем рассматривать граничные задачи двух видов: задачу Дирихле, когда на границе области задано значение и, и задачу Неймана, когда на границе задано значение производной от и по внутренней нормали.
Физически задача Дирихяе ставится, когда на границе задан потенциал или температура, а зааача Неймана, когда задана нормальная границе компонента напряженности электрического поля или плотность теплового потока. Методы решения дифференциальных уравнений второго порядка, основанные на приведении к каноническому виду, изложены, например, в [ТС72, Год71). Использование криволинейных координат описано в [МФ60). Разделение переменных и метод Фурье рассмотрены [КГС62, Арс84, Сми81]. З.В. Примеры 59. Онределить тин уравнения и нривестн его к каноническому виду: (а) и„+ в,„— 2℄— Зв — 15в„+ 27х = 0; (б) в„+ 2в „+5℄— 32и= 0; (в) в„— 2и,„+и„„+я, +в„— в =О.
Решение. (а) Уравнение везде имеет гиперболический тип, поскольку 27 = т ~> О. Имеется два семейства характеристик, залаваемых уравнениями: Лу др — =2 и — = -1. дх дх Общие решения этих уравнений имеют вид 0=2х+6 и р= — х+О соответственно. Здесь 6, 0 — произвольные постоянные. Выражая их через х и у бту — 2х, г7=8+х, видим, что они являются интеграхами характеристических уравнений и их можно использовать в качестве характеристических переменных.
Выражая производные от и по х и р через производные по 6 и 0 получаем канонический вид иг„+ вт + 2яч + 3(6 — О) = О. 59 3.5. Примеры Решение. (6) Уравнение всюду имеет эллиптический тип, поскольку 0 = -4 < О. Комплексное уравнение на характеристики бу — = 1+2з бх имеет решение у = (1+ 2!)х+ (С вЂ” !О). Выбирая действительную С = у — х и мнимую О = 2х части интеграла и качестве новых переменных, получаем канонический вид ам+а„„вЂ” йа = О. Решение. (в) Уравнение параболического типа. Имеется одно семейство характеристик, которые задаются уравнением бу — = — 1.
бх Одна из новых переменных является его интегралом С = х+ у. В качестве второй можно взять любую независимую функцию, например О = х. При таком выборе получится канонический вил а +2аг+а„— а = О. Напомним, что условие функциональной независимости состоит в неравенстве нулю якобиана перехода от переменных х, у к переменным С, О. При ином выборе переменной О канонический вид будет другим. бВ. Найти области гинерболичности, нараболичаости и зллинтичности и нривести в ник к каноническому виду: (а) Уравнение Трикоми а„+ уа„„= О; (б) ха„+ 2ха,„+(х — !)а„„= О. Решение.
(а) В этом случае тип уравнения различен в разных областях плоскости. Вычисляя дискриминант и характеристики видим, что уравнение параболическое на оси х. Гиперболическое при у < О и имеет вид 1 агч + 2(( — О? (г-а„)=О в кооРдинатах С = х + 2х/-У, О = х — 2з/-У. Эллиптическое пРи У > О и имеет вид ! ан + ачч "и = О Ч в координатах с = х, О = 2чгУ.
Решение. (б) Уравнение гиперболическое прн х > О ! аы+ (ас — а„) =О, С = у — х+ 2~/х, гг = у — х — 2чгх, 2(с — О) 60 Глава 3. Линейные ураеиения второго норядка эллиптическое прях < 0 1 ац+ачч — -а„=О, 6 ту — х, 0=24-х, параболическое при х = 0 и имеет канонический вид а„„= О. 61. Решить задачу Коши: а„— 2а,„— За, = О, а(х, 0) = Зхз, а„(х, 0) = О. Реаение.
Уравнение имеет гиперболический тип и в переменных 6 = у — х, и = у+ Зх приводится к каноническому виду атч = О. Его общее решение имеет вид а =,7(6)+у(я), где 7, у — произвольные функции. Чтобы определить их вид в частном случае, необжюимо воспользоваться граничными условиями, которые удобно переписать а переменные 6, ф В плоскости 6, о граничные условия заданы на прямой и = — 31, получающейся из условия у = 0; х как функция 6 на этой прямой выражается формулой х = ьзд = 6. Отсюда получаем первое граничное условие в виде а1 = = у(0+ у(-ЗО = зс'.
(3.7) Второе граничное условие имеет вид ае~„с = У'(6)+у'(-30=0, (3.8) где штрих означает производную по аргументу функции, а в скобках стоит то его значение, при котором она вычисляется. Дифференцируя условие (3.7) по 6, имеем ,7'(6) — Зу'(-36) = 66. Из уравнений (3.7), (3.8) получим 7' (6) = — 6 и ~(6) = — 6 . 3 3 Из уравнения (3.7) найдем у(-36) = -6. 9 т 4 Возвращаясь к переменной я = -36, получаем У(О) =— Искомое частное решение имеет вид 3 2 1 2 2 2 а(х, у) = — (у — х) + — (у+ Зх) = у + Зх . 4 4 3 хи Примеры 61 62. Показать, что в сферических коордииатаз оператор Лааеаса может дить записок в виде 1 д г 2 В~1 1 2 г дг Вг т где 1 — оператор маиеита импульса: в = -в [з х хг[, [ = -[з х хг[[е х ту[.
Ревмвие. Запишем векторное произведение [е х Я в сферических координатах, используя его представление в форме определителя: е„ее О д 1 В дг г дв [з'хЦ= е, = (япдсову,в!пдяпу,совр), ее = (сгм д сов у, сов д яп у, — яп д), е„= (япу,сову, О) (Зд) — единичные взаимно-оргогональные векторы локального базиса, каса- тельные линиям т, д, у. Раскрмаая опрелелитель, имеем В ! В~У В ! В~ [т х Ц' = ~ее — — ее —, — у! ~ее — — ее —, — ~ . (3.10) Вд япд ду "дд япд Ву~ Здесь необходимо учесть, что лифференцирования левой скобки дей- ствуют и на единичные векторы е„ее, ее правой скобки. Из определе- ний (3.9) получаем де — = совдее — япде„, ду Вее — = — е,.
дд (3.11) Раскрывая выражение (3.10) и учитывая Формулы (3.11), получаем, что отличны от нуля только три слагаемых, даюших угловую часть оператора Лапласа: д' совр д 1 Вг [в х 52[2= — + — — + —, Вдт япд дд япгд дуз бЗ. Разделить перемеииае в уравиеиии Шредингера, если потенциал имеет вид дее —" =О, дд дее — = сов де, е„ О 1 д тяпа ду 62 Глава 3, г)инейнме уравнения второго порядка (а) в цолиндрических координатах (г = 1(р) + — + д(х): д(Р) р (б) в сферических координатах д(В) б(р) и = Г(г) + — + —,—. тг гг а1п гд Решение. (а) Отыскивая решение в виде ф(р, ~р, х) = Е(р)ф(уг)Я(х), делим уравнение Шредингера на ф(р, р, х) и преобразуем его к виду 1 Взд — — — й(х)) Ф Е = сн 2Я дхз Ясно, что равенство возможно, толька если с, — постоянная величина.
Аналогично, разделяя переменные р и 1о, получаем уравнения на Ф и И: 1 дтф -- — + д(р)ф = с,ф, 2 д1ат 1 д дЕ -- р — р — + ~(р)р Š— с, р Е = — стй„ 2 др др где сз — тоже постоянная величина. Решение. (б) Если искать решение в виде ф = Е(г)Р(В)ф(гр), то на Е, Р и Ф получится система уравнений дгф -- — + й(р)ф = с~ф, 2 дфг ! д l дР1 с1Р— — ~а1пд — ) +д(В)Р+ — = сгР, 2а1пд дд ), дд,1 ил гд 1 д г гдЕ1 сзŠ— — — 1 г — )+ — =ЕЕ, 2гг дс ~ дг,/ гз где с,, сг — постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
