1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Детальное изложение теории линейных и квазилинейных уравнений в частных производных можно найти в книгах (Арн97, Арн84, Арн78, Три57, Пет61, Кур64, КГ51). 2.6. Примеры ди зди (а) — — у — = О; дх ду ди ди (б) х — — у — =О; дх ду Зб. Найти и изобразить на плоскости (х, у) .характеристики следуюнгих однородных ураонений: 36 Глава 2. Метод характернстнк Ви ди (в) у — — х — = О. дх ду Найти общие решения и нровернть ах нрямой нодстановкой. Решение. (а) Введем параметр ! и выпишем уравнения характеристик: ду т — =1 — =-у. д! ' д! Их решение 1 х(!) =-1 — 1„у(!) =— залает параметрически семейство характеристик на плоскости (х, у).
Они изображены на рис. 2.3. Уравнения характеристик имеют один первый интеграл 1 Р(х, у) = х — — = сопз1 . У Поэтому и(х, у) = д(х — ~ ), где д — произвольная функция, есть обшее решение, Действительно. вычисляя первые производные ди(х, у), ди(х, у) 1 д „тд видим, что уравнение превращается в тожаество при любой функции д. -6 -6 -10 -5 О 5 ! О -1О -5 О 5 10 Рис. 2.3. Семейство характеристик в заааче 36(а) ( — сопз! = -5; — сопз! = О; -- сопи = 5) Ртиеиие.
(б) Решение уравнений характеристик у= Сзе и=Сне, ! у(х) 6 4 2 О -2 1 у(х) 6 4 2 х Рис. 2А. Семейство характеристик а задаче 36(6) ( — сопи = О; — сопи = -1) 2.4. Примеры 37 залает парамстрически семейство характеристик на плоскости (х, у). Они изображены на рис.2.4. Общее решение имеет внд и(х у) = у( у). Решете. (в) Введем параметрв и выпишем уравнения характеристик: ду — — = -х дв ' гд Их решение х(1) = Ав1п(1 — вь), у(Ф) = асов(1 — 11) задает параметрически семейство характеристик на плоскости (х, у) (окружности), которые Рис.
2.5. Семеаство хан бР «сны на Рис.2.5 УРавнениЯ хаРа Ри- р~кмрис',кв .чеза(в) стик имеют овин первый интеграл Е(х,у) =х +у =сопвг, поэтому и(х, у) = у(хз + у'), где у — произвольная функция, есть общее решение. Ь 37. Решить задачу Коши ди дв — = у —, в(0, у) = сов у. дх ду Решеиие. Уравнения характеристик й = 1, у = -у имеют решение ( х(1) = 1 — в„у(В) = ехр (-1 + вз) ) и один первый интеграл р(х,у) = уе = сопвг. Позтому в(х, у) = д(уехр(х)), где у — произвольная функция, есть общее решение. Прямая х — — О, на которой заданы граничные условия„не касается характеристик (у = ехр (-х+х~)). Поэтому, подставляя общее решение в граничные условия, найдем частный вид функции у лля задачи Коши: и(0, у) = у(у) = сов (у).
Откуда в(х, у) = сов (у ехр(х)). Ь 38. Реигить задачу Ктии дея уравнения 36(в) ири и(1, у) = уз. Решение. Прямая х = 1, на которой заланы граничные условия, касается в точке (1,О) характеристики, задаваемой уравнением хз + у' = 1 (см. решение задачи 36(а) и рис. 2.5). То есть, решения зааачи Коши может не существовать. Однако, с нашими граничными условиями Глава 2. Метод характеристик решение задачи Коши существует. В этом нетрудно убедиться, подставив общее решение задачи 36(в) в зраничные условия. и(1, у) = д(! + у ) = у, откуда д(х) = х — 1. В результате и(х, у) = д(х' + у') = х + р' — 1. Это решение определено и единственно вне единичного круга из+ уз > 1.
Внутри круга решением задачи является произвольная дифференцируемая функция переменной С = кз + уз, равная нулю на окружности единичного радиуса. Заиечание. Решение задачи вне круга нашлось благодаря симметрии граничных условий относительно преобразования у -у. Так, задача Коши при и(1, у) = у уже не имеет гладкого решения на всей плоскости. 39. Показать, что уравнения характеристик бесстолкновительного кинетического уравнения (уравнения Пиувилля) ду ду Г ! 'т дà — + е — + е ~Е+ — (е х лу)) — = О д! дз ~ с ) др для функции распределения эарязкенных частиц г =,Г(Р, г, !) в фазовом нрострокстве совладают с уравнениями двизкения частиц в электрическом и магнитном тыях. Решение. Считая ! параметром, получаем уравнения характеристик [е х И! '1 (=1, Р=е, ф=е ~Е+ ), с которые совпадают с уравнениями движения частиц в скрещенных полях.
40. Показать, что для уравнения Лиувилля — +(Н,1) =О, ду где Н вЂ” функция Гамилынона, а (, ) — скобки Пуассона, уравнениями характеристик являются уравнения Гамильтона. Решение. Вспоминая определение скобок Пуассона, перепишем уравнение Лиувилля в виде д( дН д,( дН ду — -1- — — — — — = О. дг др де де др Поэтому уравнения характеристик дН дН вЂ” — ф =— др' де совпааают с уравнениями Гамильтона. > 2.4. Примеры 41. Решить задачу Коши дяя неоднородного уравнения дв ди — — у — = у, и(0, у) = ми у.
дх ду Решение. Общее решение однородного уравнения получено в задаче Зу: в(х, у) = д(уе*). Частное решение неоднородного уравнения Ив ббх бу — = и — + а, — = а, — ув„= у(!) = ехр (-! + !з) б! бз б! имеет вил ! ! — )(г б - у(т) = / бт ехр(-г+ 1з) = — ехр ( — 1+ !з) + с1 = с~ — у гле с, постоянно алоль характеристик.
Полное решение является их суммой: а(х, у» = д(уехр(х)) — у. (Постоянная с~ включена в функцию д,) Подставляя его в граничные условия, нахолнм а(0, у) = д(у) — у = аш(у), откуда д(в) = ни(е) + а, н и(х, у) = нп (у ехр (х) ) + у ехр (х) — у. в 42. Найти общее решение уравнения дв да з з дв х — +у — +2(х + у ) — =0 дх ду да и решить задачу Коши нри и(х, у, а)», Р, = 1 — х в области хз + уз > 1. Ревмиве. В силу симметрии задачи, преобразуем уравнение в цилинлрические координаты р, чг, х: дв зди р — +2р — = О. др да Отсутствие производной по 1в означает, что коэффициент перед ней равен нулю.
Уравнения характеристик р = р, !! = О, д = 2р' решаются (р = рв, р = ра ехр(!), з(!) = р' + хв) и имеют два интеграла движения: Р, = 1в = сопи и Рз — — рз — а = сопи. Характеристиками являются полупараболы (пересечение параболоидов вращения 2гз = сопв! и полуплоскостей Г! = сопи). Значит, а(р р )=д(Р р ) гле д — произвольная функция двух аргументов, есть общее решение. !(илиндр (рз = 1), на котором заданы граничные условия. не касается характеристик.
Подставляя общее решение в граничные условия, находим конкретный вид функции д: и(1, р, л) = д (1в, 1 — а) = ! — а, откуда д(рн Рз) = Ез и в(х, у, х) = хз+ уз — з при х'+ уз > 1. 40 Глава 2. Метод характеристик 43. Для уравнения Конфи дв да — +и — =0 д! дх (а) найти момент»опрокидывания волны», после которого нарушаются условия применимости уравнения Хопфа для описания одномерного движения облака ньиинок, если и(х, 0) = т» — апйй х; »» (б) найти момент»опрокидывания волны» нри а(х,О) = »)2) дйе '. . Решение. (а) Согласно (2.7) общее решение уравнения Хопфа имеет вид а(х, !) = у(б), б = х — а(х, !)!.
Подставляя его в граничные условия, получаем решение а неявном виде и(х, 0) = р(х) = — — агс!8х, 2 а(х, !) = 0(Д» = — — асс!8(х — !и(х, !)). 2 Можно найти его частную производную по х: — 1 — 1 и» = (1 — !и,) = 1+ (х — !и)з 1 — !+ (х — !а)з Видно, что и, < со для всех х при ! < !' = 1 и решение однозначно. При ! !' производная а, стремится к бесконечности в точке х' = и(х', !')!' = т, и происходит опрокидывание — формирование ударной волны. Решение. (б) Общее решение уравнения Хопфа имеет вил (2.7): и(х,!) = 0(О, б = х — а(х,!)!. Подставляя его в граничные условия, получаем решение в неявном виде и(х,О) = р(х) = — / бре ', и(х,!) = 0(С) = — / дт! е ". ,уй l л / » Можно найти его частную производную по х: е ! -1 и, = — — (1 — !и,) =— х»»я х»пер — ! (2.!8) Видно, что !и,! < со и решение однозначно при ! < !' = ч»к.
При ! -+ !' произволная и, стремится к бесконечности и происходит опрокидывание прн (' = О. Откуда и' = р((') = ', х' = и'!' = »ш. г Заиечаиие. Общее решение может быть продолжено ло всех точек, кроме точки р = О, где уравнение вырождается. в' 41 2.4. Примеры 44. Найти решение уравнений одномерны~ колебаний холодного электронного газа относительно однородного неподвиэкного ионного фона плотности ао. При какик начальнык значениях омлитуды скорости электронов $~~ проислодит опрокидывание? Начальное распределение скорости в и плотности и электронов имеет вид в(х, 0) = ро соойх, а(х, 0) = ио (й = сапы).
(2.19) Одномерные колебания холодного электронного газа описываются уравнением непрерывнекти дня плотности электронов в(х, 1), а)+(ви), = 0; (2.20) уравнением Эйлера для их скорости и, е в)+ ив, = — — Е, (2.21) иа где е, тв — заряд и масса электрона соответственно, Š— электрическое пояс, и уравнением Пуассона, ВŠ— = 4)ге(во — и). (2.22) Вх Ранение. Выражая в из уравнения (2.22), подставляя его в (2.20) н интегрируя по х от — оо до х получим: (2.23) Ее + иЕ» = 4)твои.
Постоянная интегрирования равна нулю, поскольку на бесконечности электроны покоятся и поле равно нулю. Для решения квазилинейной системы (2.23), (2.21) воспользуемся методом характеристик. Имеется двукратно вырожденное семейство характеристик, задаваемых уравнением х = в(х,е) с начальным условиям х1) о = хо'). Соотношения на характеристиках запишутся в виде е и) = — — Е, Е, = 4)твои. гп Подчеркнем, что производные по времени вычисляются при постоянной координате хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
