1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При гп = и, учитывая, что — Н„(х)㻠— 2 х =2п!, »»» д»» 1» и вычисляя интеграл Пуассона, получаем ггГ»„= 1. Так как гп и и входят симметрично, то Н- = бт»г дх» — хе * = г/я — (гр) ехр — — + ьрх), 4 которое можно получить прямым преобразованием Фурье левой части, и-кратным интегрированием по частям и взятием оставшегося гауссова т.е. ортонормированность доказана. При проверке полноты (необходимой лля базиса) воспользуемся следующим равенством: 2! !.6. Примеры интеграла. Рял ю ! УХ2+уг~ ! А г бч Ог ~,ф„(х)ф (у) = — ехр ( ) ~~г ' — — е * — е " = =,у ~ 2 ) 2" б* бр" ч=в ч=е чОО ч=в суммируется как ряд Тейлора: а" б" —, — „/(у) = /(у+а).
ч=е Таким образом, ы чсо ~2 кз ф„(х)ф„(у) =ехр( ! ! — ехр( — — +грх — (у+ — ! ) = 2 )/ 2я ~ 4 ~ 2! =ехр( — ! ! — ехр(зр(х-у)) =б(х-у), 2 )/ 22г что и требовалось доказать. И. Показать, что онеретор А=ехр (а — ), где а — вещественное число, унитарен в 2.~( — со, +ос). Решение. А действует на функцию /(х) следуюшим образом: А /(х) = /(х + а). В этом можно убедиться, разлагая в выражении А /(х) экспоненту в ряд и суммируя получившийся ряд Тейлора для /(х). Таким образом, ч й гч (А /, А д) = / бх/'(х+ а)д(х + а) = ) Ау /'(у)д(у) = (/, д). 13. В Ь~(0, !) действует оператор бз / Я = - — +Сб ~х — -), Ихз ~, 2) ' П=(/(О)=/(!) =О, /б/.'(О,!)). Пойти его спектр и собственные функции нри розличныл значениях С.
Глава Е Линейные олераторы гг Решение. Собственные функции оператора — 2,=т, обршдающиеся в О в точке х = —, являются собственными и для Н: ! я 2 ' Зрм зал Другая серия собственных функций не обращается в О при х = 2 и удовлетворяет условию сшивки: Ф'~-+О) -Ф'(- — О) =Сф(-), получающемуся из уравнения На(г = Лтр интегрированием по малому интервалу, включающему точку х = 2. Если подставить г уЗ„= ып й„х, х < —, ута = ып и„(( — х), х > —, Л = й„, 2' " ' 2' то условие сшивки дает уравнение на набор й„: йм( 2й„сгй — = -С.
2 Вещественному Л соответствуют как вещественные, так и чисто мнимые й„. При Й„б В существует бесконечное множество решений, определяющих вторую серию собственных значений. Для исследования чисто мнимых йм сделаем подстановку й„ = ан, н Е 22, которая приводит к уравнению сгй~ — ) =- —. Это уравнение имеет решение лишь при С < О и начиная лишь с некоторого порогового значения Щ. Действительно, асимптотика левой части при н +О равна т и при 1с~ < г функция сгп (ф) проходит везде выше. чем (Я: точек пересечения нет, то есть нет решений.
Если ы' (С( > Г, то правая часть уравнения при малых и больше, чем левая часть, а при больших н наоборот. Значит, имеется одна точка пересечения и, следовательно, одно отрицательное собственное значение Л оператора Н. Заметим, что при С < О, (С! > т минимальное вещественное значеа ние Д~ больше, чем г; (нет пересечения гиперболы с первой котангенсоидой), поэтому соответствующая ему ф, (х) имеет нули на интервале (О, 1).
По осцилляционной теоремен уЗ1 не есть основное состояние, и Л, = й~ не является наименьшим собственным значением. Основное состояние описывает решение с отрицательным Л. ч Сас. наврммар. (Ллга. 3 21(. 23 1.7. Задачи 1.7. Задачи 14. Пусть А!,..., Аы — квадратные матрицы одинакового размера. Доказать, что Тг(А! Аз °... ° Аа) = Тг(Аз °... ° Ав А!). 15. Пусть собственные значения матрицы А размера и х и равны л„л,...,ли, и 7 — единичная матрица.
Доказать, что дс!(7+А) =(1+Л) (1+Л,) ... (1+Ли), 16. Вычислить характеристический многочлен и собственные значения матрицы ( — ипа сова ) ' П. Пусть А О Р 1 ... О (1. 15) Показать, что для всех натуральных гп р" !ае биномиальные коэффициенты С„"„й < гп определяются формулой га(тп — 1)... (пз — й+ 1) в! й! !!прий>из,с~ =О. 18. Пусть 1(Л) = ее+а!Л+... + оьЛв — некоторый многочлен от Л. Доказать, что если А — жораанова клетка (1.15) порядка и, то 1(р) р1'(Р) 81и(р) ".
г,-,— р1!" О(р) О 1(Р) чь1 (Р) ". (в — зТ!1 " (Р) 1(р) ... 1 —,1!в з>(р) 1(А) = О О О .. 1(Р) клетка Жордана порядка п. имеет место формула ри С„'р"-' О р А = О О Сз Рв-2 с„'р-- Р и-! и|-и+! Св Р Св-2 >в!-в+2 и-3 е-ввз свв Р 24 Глава 1. Линейные операторы !9. Пусть /(Л) = ае + а~Л +... + а Л +... — формальный степенной ряд относительно переменной Л. Показать, что, для того чтобы степенной ряд от матрицы А сходился, необходимо и достаточно, чтобы кажаое собственное значение Ги матрицы А либо находилось внутри круга сходимостн соответствующего степенного ряда 2'(Л), либо лежало на границе круга сходимости.
Если р< лежит на границе круга сходимости, то требуется сходимость ряда, полученного (и; — !)-кратным дифференцированием ряда У(Л), где и< — порядок жордановой кхетки, отвечаюшей значению рь 20. Найти 2!. Доказать равенства: () й ! е — б(). .-ге х +г (б) !цп 1à — т — Гт — — б(х); г-+е (х +г) 1 3 (г) 1нп -,-— ехр (- ~ф-) = б(х); (д) х — ~ — —— -б(х); бб(х) ь) й =ю*) 1 — соз (пх) и ди япх 22. Доказать, что 1 — у! Ирехр((рх) = б(х).
2 l 23. Доказать, что лля любой главкой функции у(х) имеет место Иб(х — а) бб(х — о) 4У(х) У(х) Ых = у(а) бх — б(х — о) —. Их 24. Доказать, что если у'(а„) ~ О, где (а„) — множество нулей функции у(х); Г(а„) = О, то б(~(х)) = ~~~~, б(х — ак).
1 ! Г'(а„)/ 1.7. Зггдачв 25 25. Доказать, что двумерную д-функцию можно записать в полярных координатах на плоскости следующим образом: б(т — т ') = — д(т — г') б(16 — Ф'). Здесь (г, ф), (г', д') — полярные координаты точек е, г ' соотве твенно. 26.
Доказать, что в трехмерном случае ( дг дг дг ~ — + — + — ) — = -4яб(г). дхг дуг даг у „ 27. Проверить, образуют ли базис гильбертова пространства следующие последовательности функций: (а) в пространстве Ьг(0, гг) имеется ортонормнрованная последовательность функций уе(х) = куг —, г„(х) = ~ — соз (пх), и = 1,..., со; (б) в пространстве г г(0, 2я) имеется ортонормированная последовательность функций Г, Г„(х) = гуà — з1п(пх), и = 1,...,оо. 28. Найти по оператору Ь сопряженный оператор ЬГ, а также: (а) определить, каким ограничениям должны удовлетворять функпии р, а, г и коэффициенты а, д в краевой задаче с условиями типа 1!!хурма: Еу = р(х)у + у(х)у'+ г(х)у, х б (О, 1), аоу(0) + )усу(0) = О, а~у(! ) + ду(1) = О, чпгбы оператор Ь был самосопряжен; (б) показать, что если граничные условия на замкнутой поверхно- нг у имеют вид ди и! =0 или — =О, дп з ~ »е и — нормаль к поверхности, то оператор Лапласа Ь = гз самосопря- кгп, (в) выяснить, каким ограничениям должны удовлетворять ао, Ьг, с оператора дг д Ъ = аб(а) + 6г(х) — -1- с(х) дхгдхг ' дхг к краевой задаче и!» = О, чтобы оператор Ь был самосопряжен.
26 Глава 1. Линейные онераторм 29. При каких ограничениях на коэффициенты оператор Штурма— Лиувилля А Н Ь = — д(х) — + г(х) Ах Ах с линейно независимыми краевыми условиями а„у(а) + 1?„у'(а) = .Г„у(Ь) + б„у'(Ь), р = 1, 2, является самосопряхгенным на отрезке х Е (а, Ь)? 30. Является ли эрмитовым оператор импульса р = — з-= на отрезке х б [О, 2я] с граничными условиями: (а) и(0) = ц(21г) = 0; (б) в(0) = и(21г)? 31. Показать, что для унитарности достаточно сохранения нормы: если для любого у: (Ггу, ггу) = (у, у), то 11 унитарен. 32. Показать, что унитарные операторы образуют группу, т. е. произведение унитарных операторов является унитарным оператором.
Имеется лн аналогичное свойство для эрмитовых операторов? 33. Показать явно, что оператор ехр (а — ) е' унитарен в ьз(ЬЬ) при а, Ь б В. 34. Доказать равенство ехр (-а — ) е ' *ехр (а — ) ег = егы. 35. Показать явно, что оператор ГГ = ехр (?а — ) унитарен в Х ~(К) при а Е Й. 2.8. Ответы 14. Указание; Использовать определение следа матриц. 15. Указание: Собственные значения матрицы з + А равны (1+ Л;), 1 = 1,..., и.
16. Лз — 2Лсоза+ 1. 17. Указание: Воспользоваться методом математической индукции. Глава 1. Линейные анераторы д~юц 23. (в)а; =ат, Ь;= —. дл. 2д. д(а) (7,бз — узб,) = д(Ь) (а~дз — аздак. В частности, получаются краевые задачи 1. П,! П рода и периодическая краевая задача: 1' у(а) =у(Ь) =О, 2' у'(а) = у'(Ь) = О, 3 линейная комбинация 1' и 2', 4' у(а) = у(Ь), у'(а) = у'(Ь), д(а) = д(Ь). 30.
(а) Нет. (б) Да. 31. Укиюние: Для любых и и е по условию сохраняется норма линейной комбинации Лв+ ре, где Л и р — произвольные комплексные числа (см. задачу 1). 33. Указание: Подействовать оператором на произвольную функцию Г(а), проверить сохранение нормы, и воспользоваться результатом предыдущей зааачи. 34. Указание: Рассмотреть действие левой части на произвольную функцию у(в). 35.
Указание: Доказать равенство (ГГу, ГГу) = О', у), используя представление функции у(х) в виде интеграла Фурье. Глава Г Метод характеристик 2.1. Однородные и неоднородные линейные уравнения в частных производных Уравнение ди Ви Вк дн .ьа, — +... +е„— =О, (2.1) Вх дх~ дхз дх„ ~ кс вектор а = (а„...,а„) и неизвестная функция и(х) зависят тольот и переменных х = (х„..., х„), называется однородным линейным ннтнениеи в частных лроизлоднмх первого нарядна. Введем параметр 1, за- нисн мость от которого функций х (1) задается системой и обыкновенных ~нффсренциальных уравнений первого порядка: — ~ = ау(х), У = 1, 2, ..,, и. Ы! г (2.2) 1льая система называется уравнениями характеристик. Любой первый нн ~еграл системы (2.2), т.
е. функция Р(х), для которой Ыг — =О, Ы! пгкже произвольная Функция 9(Рн...,.ез) от первых интегралов си- ~сны обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) является ре- шением уравнения в частных производных (2.1). Действительно, прямая ииютановка и = д в (2.1) приводит к цепочке равенств д дд Вд) Ыхг дд Вг', Ы; Вд а — а, — — — ~ — — О, Вх 'Вд) Вх; Ы! ВК, дх; Ы! И; ~г по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Лвтономная система (2.2) имеет и-! первый интеграл, не завнсяший решение н(х) = 9(г)(х),...,.К,-!(х)) (2.3) ннлс произвольной Функции от всех первых интегралов называется общим решением (общим интегралам) уравнения (2.!).
Здесь функция д пред» ипастся дважды непрерывно дифференцируемой. (Ниже мы для крат~и не будем уточнять требования гладкости встречающихся функций.) Глава 2. Метод характеристик Уравнение (2.1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Считая коэффициенты а(х) компонентами вектора в и-мерном пространстве, уравнение (2.1) означает равенспю нулю производной функции и влоль направления вектора а. Таким образом, решение уравнения методом характеристик сводится к восстановлению интегральных кривых Г по касательным к ним векторам а, заданным в каждой точке х. Вдоль таких кривых решение и(х) постоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
