1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Линейные операторы В физической литературе его элементы называют бра-векторамн н обозначают Ф„как (о[. Элементы Н называются прн этом кет-векторамн [а), а скалярное произведение и и н — действие функционала Ф„ на вектор и — записывается как (о[и). В терминах кет- и бра-векторов 1. Проектор на вектор е можно записать как Р„= 1о) (о[.
2. Соотношения полноты записываются как [н„) (а„[ = 2. ь 3. Разложение вектора [и) по полной ортонормнрованной системе [а„) выглядят как [.) =~[..)(.[). п Детальное изложение теории гнльбертовых пространств можно найти в учебниках [КГ51, КФ72[. Обобщенные функции рассмотрены, например, в книге [Вла88[. Самосопряженные операторы обсуждаются в монографии [Соббб[. 1.б, Примеры а'(Ь, а) ь о(а, Ь) = а'(Ь', а') + о(а', Ь'). Прн о = 1 (Ь, а)+ (а, Ь) = (6', а') + (а', Ь'), полагая а = ь н сокрашая на ь, получаем -(Ь, а) + (а, Ь) = -(6', а') + (а', Ь').
Последнее равенство вместе с (!.12) дает (а, Ь) = (а', Ы). (1.12) 7. Пугнгь А, В, С,  — квадратные матрицы и х и. АС = СА и А, С— невыроигденныв матрицы. Доказать, что гь --1ь„1=)Аь-лл), ( В 27( = ( С А ! = [ВА — ВС[. 1. Доказать, нто линеиног нрвоброэавониг У векторного пространство тг унитарно тогда и только тогда, когда (7 не меняет длин векторов. Решение, Пусть а, 6 Е Ьг. Положим Уа = а', 776 = Ь'. По условию для любого числа о имеем (а+ ой, а+ аЬ) = [Г7(а+ оЬ), (7(а+ оЬ)) = (а'+ оЬ', а'+ аЬ).
Выполняя умножение н используя (а, а) = (а', а'), (6, Ь) = (Ь', Ь'), полу- чаем 1.6. Примеры АВ Ф !СО) АВ -Ф)СА СВ СР— — !АСГ ~б А~ СР -— !АС! ~АС АР =5АС%" „ь сь/=5Аь-сь$. (В.|з) Другие равенства доказываются аналогично. 3. г2окамгть равевство: а+хФ а ... а а а+аз ... а деФА = а а ... а+к„ а а ! = хФ . хг .... х„(1 + — +...
+ — ) . х„ (1.!4) Ртиеиие. Введем диагональную матрицу Х = д(ай (хФ, хг,..., х„) а а Ф ФФеФА =хФ хг ... х„(1+ — +.. + — ) . х, Хь) 4. Пусть Н вЂ” эрмитова матрииа. Доказать, что У = ехр(ФН) униторво. Решение. Нам нужно показать, что УИ = Е. Нетрудно показать (см. задачу 19), что ряды 11 = Е + (ФН) + — (ФН) + .. г 2! У = Е+( — ФН)+ — ( — гН) +... = ехр(-ФН) ! 2! сходятся. Поэтому и перепишем определитель искомой матрицы в виде ФФеФА = ФФеФХх ФФег (1+ 1Х '), где все матричные элементы матрицы 1 равны а, а 1— елиничная матрица.
Ранг матрицы,1Х ' равен единице, поэтому единственное отличное от нуля собственное значение этой матрицы равно ее следу (все остальные собственные значения равны нулю): а а а ЛФ =тгтх = — + — +... + —. хФ хг х„ Откуда бег(1 + .7Х ') = ! + ЛФ, а определитель (6 Глава !. Лннейнме онераторы ГгУ = [Е+ ьН+ — (ьН) +... ~ . ~Е+ (-ьН) + — (-ьН) +... 2! Меняя порядок суммироаания, получаем требуемое рааенстао УГГ=»ч~( — !)С=Е, (ьН)з з=о 1! =о пь! (у — иь)! ' поскольку 3 ~(- !) С7 = (! — !)' = д;,. 5. Доказать, что для произвольной матрицы А дег е = ехр(Тг А).
Решение. Сначала заметим, что равенство, которое требуется доказать, инвариантно относительно преобразованиЯ подобия: если деь е =ехр(ТгА), то деь(ехр(ьдАь'Г )) =де! (е+ ьд~щ + —,ЦАЛА ) + ...) = ! =д. (Е(Е+А+-,',(А)'+...) )-') = 1 0 Л ! 0" 0 может быть представлена в виде Х„, = Л1„, + У, тле 1 — единичная матрица. Х„нерхнетреугольная нильпотентная (все собственные значения = деь е = ехр(ТгА) = ехр (Тг(ЯАьг ')), гле () — произвольная невырожленная матрица. Значит, доказав утаерждение в каком-нибудь фиксированном базисе, мы докажем его сразу для всех базисов.
Если А днагонализуема, то пусть ь) — матрица перехода к диагональному для А базису: Ь'„ЬАЬ''! ' = д!ад (Лн..., Л„). Тогда деь (е") = де!(ехр (ьгАг'„ь )) = г$еь абая (е ',..., е ) = = ехр (Л1 Ч-... + Л„) = ехр (Тг(ЬГАГГ ) ) = ехр (Тг А). В общем случае Ьд можно выбрать так, что ЬГАЬ'„Ь ' будет прямоЯ суммой жорданавых клеток. Произаольная:корданова клетка .1 !7 !.б. Примеры равны нулю) матрица. Так как единичная матрица коммугирует с любой д гой, то Ру ехр,7 =ехр(Л1 )ехр(7ы). Непосредственно убеждаемся, что ехр (Х ) — верхнетреугольная матрица с единичными элементами на диагонали. Следовательно, дег ехр1 = дег ехр(л7„) дег ехр(Х ) = дег ехр(л7„) = ехр(тг.7 ). По свойству следа н детерминанта де1 ехр(,7, 6.7,Е...) = = дег(еХР.7вч чгЕХР,7„„Ю...
) = дег ехР.7ы, дег ехР.7вч ... —— = ехр (Тг,7, + Тг,7, +... ) = ехр (Тг(Х, Ю 1, ги... )), что доказывает равенство для любой матрицы А. Ь б. Доказать, что для любой матрицы А найдется такая унитарная матрица В, что матрица А' = В 'АВ является верхнетреугольной (теорема П7ура). Рещение. Пусть Т вЂ” матрица, приводящая А к жордановой форме (т.е. Т 'АТ является прямой суммой жордановых клеток (!.!5)).
Ортогонализуем столбцы матрицы Т, используя процедуру Грамма— Шмидта. Попутно заметим, что процесс ортогоналнзации эквивалентен умножению матрицы Т на некоторую невырожденную верхнетреугольную матрицу Я справа. Например, дяя того, чтобы к 7'-му столбцу матрицы Т прибавить ее г-й столбец, умноженный на а, достаточно матрицу Т умножить справа на матрицу Я', у которой матричные элементы Я,', = 1, ! = 1,..., и, Я,' = о, а остальные равны нулю. Есяи Я вЂ” такая верхнетреугольная матрица, то столбцы ТЯ являются ортонормированной системой и векторов. Следовательно, 77 = ТЯ унитарна.
Матрица Я '(Т 'АТ)Я является произведением верхнегреугольных матриц Я ', Т 'АТ, Я. Поэтому 771А77 = (Я 'Т ')А(ТЯ) — верхнетреугольная. > 7. Рассмотрим матрицу П вида где А, В, С вЂ” матрицы и х п, причем А и С зрмитовы. Посколысу П Ф П1, то ее собственные векторы узке не будут ортогональны относительно обычного скалярного произведения, а ее собственные значения могут не быть вещественными. Пусть матрица Е имеет вид (Π— 1„)' где 1„— единичная и х и матрица. Показать, что 18 Глава 1. Линейныв операторы (а) если собственный вектор е такой, что (е, Ее) Р О, то пютветствующсс собственное значение вещественное; (б) для любьгх двух собственных векторов ег и ег оператора й йег = Лгег, йег = Лгег, Л~ гь Лг, при (ен Ее~) Ф. О и (ег, Еег) ~ О выполнено условие ьобобщсинойь ортосональности (ен Еег) = (ег)ь(Е)ьг(ег)г — — О, Решение.
(а) Явно проверяются соотношения Е = Хгь, йг = ЕйЕ, йгЕ = Ей. Из йе = Ле и эрмитовости Е следует, что (Ее,йе) = Л(Ее,е), (йе, Ее) = Л'(е, Ее). С учетом Й1Е = Ей получаем: (Л вЂ” Л")(е, Ее) = О, откуда при (е, Ее) Р О имеем Л = Л*. Решение. (6) Используем равенства (ег, Ейег) = Лг(е„Еег), (ег, Й1Еег) = Л;(е„Еег). Вычитая эти равенства одно из другого и используя Й1Е = Ей, получаем: (Лг — Л г)(ег, Еег) = О. По условию задачи (еп Ее,) ~ О, г = 1, 2. Поэтому Л; — вещественны, и из Лг и':Лг следует, что(ег,Еег) =О.
О. Найти проектор матроны А= 1 О О на надпространство, отвсчакнцее собственнану значению Л г —— 1. Решение. Найдем сначала резольвенту: В„= 1 Л Лг ! Тогда проектор дается интегралом 1 (4-1 1 г1 1 1Л Рг — — —, ВгбЛ= — ВеаВг= — ~1 1 1~ 2кг у г=г 3 ~! 1.6. Примеры Отсюда саедует, что !!у+ !!2 !!у!!2+ 1(у1!2+ (у ) + ( у) с < !!у!1'+ 11д!!'+ 21)у11 !!у!1 = (1!у!1+ !!б!1)'. Извлекая квадратный корень, получаем требуемое неравенство. 10. Полиномы ггебытееа онределены следующим образаж 1 Т„(х) = — „, соз (и агссоз х) . Доказать, чню семейство грункций 2« У„(х) = — (1 — х ) Т„(х) = зг'ген Г2 2 1м = у — (1 — х ) соз (иагссозх), и=0,1„...,оо, образует артонормированный базис в 4.2(-1, 1).
Ретеняе. Воспользуемся полнотой тригонометрического базиса (см. 1адачу (а)): 2 соь (пХ1) соь (оХ2) = б(Х1 — хз), О < Х1д с х. «=О Следовательно, % у„(х) 2 у.(у) = (1 — хз) (! — уз) ~~1 соз (и агссоз х) соз (и агссоз у) = «=О 2 — 1/4 2 — 1/4 — х ) (! — у ) б(агссозх — агссозу) = 6(х — у). равенство получается с помошью формулы ! 6(У(х)) = —, 6(х — хь) !У'(хь)! =(1 Последнее 9. Доказатгч что в любом гильбертаваи нрогтранстве еынолннетсл неравенство «треуммьника»: 1!у!1+ !!у!1 > 1(у + у!1.
Рещение. Если одна из норм равна нулю, то неравенство становится тождеством. Пусть 1!У1! > О, 1(у!! > О. Так как норма вектора й = !!У!!б — !1у!!У неотрицательна, получаем 2!!у!! ' 1!у!! > (у б) + (у, у). 20 Глава 1. Линейные операторы где х, — единственное решение уравнения у(хь) = 0 в рассматрива- емом интервале (см. задачу (24)). Ортонормированность проверяегся непосредственным вычислением интегралов.
11. Полинины Эрмита определены следующим обрамзы: гд» г Н„(х) =(-1)"е* — е *. дх» Доказать, что функции 1 г азг обРазУют оРтоноРмиРоеанный базис е лгз(-оог +со). Решеиве. Заметим, что Н„(х) — палимом и-й степени по х со старшим членом 2"х". Скалярное произведение +»» Н..=~ хф.(*)ф.(*) = ( 1)ы ~ д 1 дхН„(х) — е * = тг" ! ~г г / дае * — Н„(х) Лг" "» .г и прн гп ) и равно нулю, поскольку гп-я производная от любого поаинома степени, меньшей иг, равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
