1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 10
Текст из файла (страница 10)
> 64. Разделить переменние в уравнении Шредингера для пространственного осцитпппори с потенциалом вида lсгг У=— 2 (а) в декартовых координатах; (б) в сферических координатах. 64 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка 66. Найти выра»кение для онера тора Ланласа в криволинейной неортогонольной системе координат. Решение. Задача на собственные значения оператора Лапласа г.'»Уд = Азй с нулевыми граничными условиями на бесконечности эквивалентна аариационному принципу ЯЯ = ппп для функционала я[др] = ~ [(ьгуд)» + Луд»1 И"х.
Произведем невырожаенное преобразование координат, т.е. перейдем от переменных х к новым переменным у: х; = х,(ун.,., у„), » = 1, 2,..., и. Под невырожденностью понимается отличие от нуля якобиана преобразования: л= ' ' ' ~0. д(х„хп.,., х„) д(у! ун . дув) Квадрат длины интервала и кваарат градиента преобразуются следующим образом: дх, дх, т ду; дуд дд)д дд(д йв = йх,йхд = — — йуу йуы (ьдФ) д д д д 1 дх» дх» дуу ду» Поскольку, с другой стороны, по определению метрического тензора йег = й;»йудйу», мы можем выразить метрический гентор у» через частные производные функций х„ 8х; дх; Уу» = — —.
ду. 8У» Значит, квадрат градиента функции йд можно записать через тензор, обратный метрическому: (тр) = узт 2 -3 дтд дтд ' ду, Ву,' а определитель метрического тензора равен й = бег (уз») = Ф . В новой системе координат функционал запишется как 8=/ (у,— — — +Ар),уй"у. Г д' ддуз ддр l»,цду;ду» Остается его проварьироаать, считая, что вариация функции д»д обрашается в нуль на бесконечности, и приравнять вариацию нулю: ! д г' д ддр 'з дд = 2) дд [ — — (д, ' 'д — ) дд~ 'дд д = дзгдд ду, ~ ' ду» / При выводе последнего раяенства мы проинтегрироаали по частям, а вненнтегральный член обратился в нуль из-за граничных условий.
В силу б5 3.5. гурииеры произвольности вариапин ер(х) должно обрашаться в нуль выражение в квадратных скобках. Отсюла получается формула лля лапласнана 1 д, д угь тгй ййду ' ду» 67. Решишь граничную задачу 3 ва — с и„= О, 0 < х < Ь, и(О,Ф) = в(Ь,1) = О, в(х, 0) = р(х)„ аг(х, 0) = гР(х).
Рассиомремь частный случай 2хх в(х, О) = О, вг(х, 0) = з!п Ь решение. решение задачи методом грурье распадается иа два этапа. Вначале находим частные решения, для которых выполняются только граничные условия по координате *. Отыскивая в(х, 1) в виде в(х, г) = Х(х)Т(1) и разделяя переменные, имеем Хч(х) Т" (!) — = — = -Л, Х(х) сзТ(!) (3.12) где Л вЂ” произвиьная постоянная. Общее решение уравнения — +Л= О Х" (х) Х(х) (3.!3) прн Л > 0 имеет вид Х = А соз гГЛх + В ап з/Лх. Потребуем, чтобы лля Х(х) выполнялись те же граничные условия, что и на решение задачи и(х, !): Х(0) = Х(.Ц = О.
(3.!4) Это возможно, если А=о и ъГЛб=пе, и=1,2, г пе з ивх Л, = ( — ), Х„(х) = мп —. Отсюда получаем спектр допустимых значений Л и пространственную форму решения номер в: 66 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка Нарисуйте их графики при и = 1, 2,3. Подставляя Л„в уравнение (3.12), находим зависимость от времени решения номер п: пяс! п1гс! Т„(!) = А„соз — + Вп з!и —, где А„, „— произвольные постоянные. Собственные решения Х„(х) образуют полный базис.
Общее реше- ние задачи может быть записано как линейная комбинапия базисных решений: а(х, !) = Е «„(х)Т„(!), (3.15) ь=~ На втором зтапе амплитуды А„, В„выражаются через начальные условия а(х,О) = !з(х), а,(х,О) = гд(х). При ! = О, используя представление решения (3.15), имеем (3.! 7) Ь , 2яс1, 2ях а(х, !) = — з!и — гйп 2яс Ь б 68. Решить задачу ан — сза„= О, 0( х(Ь, а(0,!) =аз(Ь,!) =О, 5ях, Ях а(х, 0) = зш —, а,(х, 0) = ап —. ях Попытайтесь реигить зту задачу нри условии аг(х, 0) = соз —.
2Ь' гр(х) = ~5 А„Х„(х), (3.! 6) и=! гд(х) ' ~~~ Л ВьХь(х). ьш Собственные решения задачи (3,! 3), (3«4) взаимно ортогональны; Х„(х)Х (х) дх = — б„ Х 2 (3.18) ь Умножая равенства (3.16), (3.17) на Хы(х), интегрируя от нуля до Ь и учитывая ортогональность собственных решений, имеем ь Б Аш = — / гр(х)Х,„(х) дх, Вы = — / гд(х)Х,„(х) йх. (3.19) 2 Г 2 ь ь Частное решение равно 67 3.5. Примеры Решение. Решение задачи выполняется в той же последовательности, что и решение задачи 67. Отличие имеется только при решении спектральной задачи на функцию Х(х), изменившейся из-за граничных условий +ЛХ =О, х(о) =х(ц=о.
Из общего решения Х = А сов ъгЛх + В в1п ъГЛх, используя граничные условия, получаем уравнение на Л: чГЛсов ч'ЛЬ = О. Его решения равны Л„=( — я), п=1,2, Соответствующие собственные функции имеют вид 2гг — 1 Х„(х) = яп згх. 2Ь Нарисуйте их графики при и = 1,2,3. Число Л = 0 не является собственным значением, поскольку ему соответствует нулевое решение Х. Решение дается формулами (3.15) — (3.!7).
В частном случае, вычисляя коэффициенты, получаем 5згс! 5ях 22 яс! ях и(х, 1) = сов — вгп — + — в!и — в!п —. 2Ъ 26 зг 2Ъ 2Ь' При иг(х, 0) = сов (ях/(2Ь)) задача не имеет решения. Причина в том, что такое начальное условие не согласовано с граничным условием и(0, 1) = О, из которого следует, что должно быть и,(0, !) = 0 для любого момента времени. 69.
Решить задачу ии — и„= О, 0 < х < Ь, ие(0, !) = и~(6,1) = О, и(х, О) = х, иг(х, О) = 1. Онисать даизиение струны. Решеияе. Спектральная задача Хи+ ЛХ =О, Х'(О) = Х'(Ь) = 0 имеет нетривиальные решения 68 Глава 3. Линейные уравнения второго порядка пгг гпкхз Х„(х)=соя — х, Л„= ~ — ), п=0,1,.... Ь ' " Ь В этом случае Л = 0 является собственным значением, которому соответствует собственная функция Хо = 1.
Зависимость этого собственного решения от времени носит неколебательный характер, так как из Тн = 0 следует Т = Ао + ВоС. Обшее решение задачи имеет вид агг ая Х пях а(х, С) = Ао+ Во!+ ~~! А„соз — С+ Вяз!и — С) соз —. Х " 6 ) Х Используя начальные условия, видим, что А„, В„являются коэффициентами разложения в ряд Фурье этих начальных условий. Вычисляя их, получаем Ь 42 и-, 1 (2п+ 1)я (2п+ 1)!г а(х, С) = С + — — — ~ соз С соз х.
2 яз ~ (2п+ 1)! С. Ь Струна колеблется относительно среднего положения, которое смешается с постоянной скоростью. Заметим, что начальное условие не удовлетворяет граничному условию: а,(0, 0) = а,(Ь, 0) = 1 ~ О. Хотя ргш сходится к решению, лля вычисления производной по х его нельзя дифференцировать почленно. Действительно, ряд, получающийся при почленном дифференцировании, расходится при С = х = О. 70. Струна енины В с закреиленными концами в начальный момент времени имеет параболическую З!юлиу с максимальным отклонением в ее середине, равнин й. Начальнав скорость струны равна нулю.
Найти зави- симость отклонения от времени. Решение. Краевая задача имеет вид т аи — с а„= О, а(О,С) = а(Ь,С) = О, 4йх(6 — з,') а(х,О) =, а,(х,О) =О. Обшее решение было получено в задаче 67. Из равенства нулю началь- ной скорости следует, что все В„равны нулю. Коэффициенты А„ вычисляются разложением а(х, 0) в ряд Фурье: 4йх( — х) к ахх ч А„мн —. и=1 Отсюда имеем 32й 1 (2п+ 1)ясС (2а+!)ях а(Х, С) = — лз соз згп— ггз ~ (2п+ 1)з Ь Ь н=з 69 3.5. Примеры 71. В начальный момент времени струну с эакренленными концами длины Ь отклонили на расстояние Л е точке ха и отиустили.
Глрормулироеать граничную задачу и ретить ее. Решение. Граничная задача отличается от предыдущей только начальным условием — Ь, и(х,О) = Ь, Ь вЂ” хь х < хь'! х > хь. Решение получается разложением начального отклонения в ряд Фурье 2ЬЬэ 1 в1гха вяс . вь" и(х, С) = — э!и — соз — С яп — х. яэхь(Ь вЂ” хь) ~-; иэ Ъ Ь Ь (3.20) Построим теперь качественную картину движения струны.
Решение пернодично по времени с периодом т = —,. При С = — отклонение струны ь ог равновесного положения равно нулю. Получим форму струны при 0 < С < ~э. Выразим произведение тригонометрических функций через сумму вяс вк 1 г' вя вя соз — С яп — х = — ~з!п — (х — сС) + яп — (х+ сС)). (3.21) Ь 2 2~ Ъ Ь Например, для хе = у начальное условие представляет собой пилос образную функцию. Графически, складывая две пилообразные слегка сдвинутые кривые, легко получить, что при С < з струна имеет форму, изображенную на рис.
3.1. Горизонтальный участок струны, расширяясь, опускается со скоростью равной —,. т Решение, задаваемое формулой (3.20), справедливо на всей прямой и периодично с периодом 2Ь по координате. Зго, очевидно, относится и к начальному отклонению струны, хотя оно задано только на отрезке 0 < х < Ь. Ясно, олнако, что сумма рдаа (3.20) нечетна относительно точки х = О. При С = 0 этот ряд является разложением функции, полученной нечетным продолжением начального отклонения с отрезка 0 < х < Ь через точку х = 0 на отрезок -А < х < 0 и последующим периодическим повторением на всю прямую, Условимся далее называть начальным отклонением полученную функцию.
Если выражение (3.21) подставить в ряд (3.20) и собрать слагаемые, содержащие з — сС, то получившаяся сумма представляет собой разложение начального отклонения половинной амплитуды, сдвинутое вправо на расстояние сС. Оставшиеся слагаемые дают половину начального отклонения„сдвинутого влево на то же расстояние. Таким образом, 1 в(х, С) = -(в(х — сС,О) + и(х+ сС,О)).
2 70 Глава 3. Линейные уравнения второго нарядна Г Ряс.з.!. Форма струны; — — начальное условие и(х,в); — — и(х, —,с); — 1 и(ах 3,0) Подставляя выражения (3.22), (3.23) в уравнение и учитывая ортогональ- ность Функций мп (ц~д), получаем систему обыкновенных дифференци- альных уравнений: дг 4 /па~ 2 ( 1)сггяайД д1г ( 2, ) " (пя)т+ г,г и = 1, 2,... (3.24) с начальными условиями, слелуюшими из начальных условий на и(х, 1): ИА„ Ан(0) = — = О, и = 1, 2,.... дь 1г=с Решая задачу (3.24), (3.25) и подставляя Ач(1) в (3.22), получаем (-1)" / пгг1 'ь, п1гх и(х,г) = 266 ай 6~~ (соз — — 1~ 51п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
