1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Дифференпируя первое уравнение по 1 и выражая Е) из второго, сведем его к уравнению колебаний с плазменной частотой 4»пае', шр —— — Г.': ин = -шри. г Подставляя начальные данные, получим: и = 5~ соэ (ыр1) соэ (йхо). ) ' В гнлролннамнке замену нареченных е. Г к ее, Г' = т наэмвакп перекопом от эалерпапгп пни»анна к лагранжеапму. 42 Глава 2. Метод характеристик Интегрируя это выражение, найдем текущую координату х электрона, имевшего начальную координату хо. Уо — хо + — ип (шрС) соо (йхо). шр (2.24) При амплитуде ~~ > У, где У = .СС, всегда найдется такой момент времени С = С„когда производная йт обратится в нуль в некоторой Вв точке х = х„а значит произойдет опрокидывание волны.
45. Найти общие решение квазилинейныл уравнений: (а) и, +аа, = — " (б) и, + иа„= --т нри г > О Решение. (а) Уравнения характеристик в расширенном пространстве й = а, а = -х решаются (х(С) = А мп(С вЂ” д), а(С) = Асов(С вЂ” д)). Видно, что амплитуда и фаза А =а +х, Ф=С вЂ” агсгйн г яхт постоянны вдоль характеристик. Поэтому решение неявно задается урав- нением у~а + х,С вЂ” агсгй ~ — рСу! =О, С с т ух~~ где й(С', и) — произвольная функция. Общее решение можно переписать в ином виде ( у(С) — произвольная функция) С вЂ” агссй — = у(а +х ), или и= хеся(С вЂ” С'(а +х )).
и Решение. (6) Уравнения характеристик г = а, а = -~ решаются в расширенном пространстве (вспомним зааачу классической механики о свободном движении в сферических координатах с ненулевым моментом): и — —, =Е, ас =Е(С вЂ” Со), С ! гле Е и Со постоянны вдоль характеристик. Общее решение можно выписать в неявном виде через произвольную функцию связи Е и Со. 46. Решить задачу ССтии двл уравнения и~ + иив = ! нри и(х, 0) = ! — Сй х. 43 2.4. Лрииеры Решение. Уравнения характеристик в расширенном пространстве х = а, й = 1 имеют решение (и(!) = ! + ае, х(1) = + + хе).
Величины хо = х — -а = сопя!, ие = а — ! = сопи 2 постоянны вдоль характеристик. Уравнение д(а — 1,аг — 2х) = О, где д(с, г!) — произвольная функция, неявно дает общее решение, которое можно переписать в более удобном виде а (х, !) = 2х + у(а(х, !) — !), где г(с) — произвольная функция. Подставляя граничные условия в решение, получаем уравнение на функцию у: НО) = с 2*ого = е — е*, откуда у(и) = а~ — 2х = и~ — 2 ап1г (1 — а). В результате решение задачи Коши получается неявным: и~(х, !) = 2х + (а(х, !) — !) — 2 апЬ (1 — а(х, !) + !) . Его можно переписать в более простом виде В~ а(х,!) = 1+! — гб (х — !и(х,!)+ — ) .
47. Найти характеристики системы, соотношения на ннх и аыннсать общее решению ~и + е +и„— Зег = О, (а) и, + е, — Зиг + ег т О. /(х — 1)а~ — (х+1)е, +и, =О, ( (х + 1)а~ — (х — 1)е, — е, = О. Решеаие. (а) Перепишем систему в матричном виде А ~„*)+В( ")=О, где матрицы имеют вид А =('! ,'), В=( 3' ',) Матрица А вырождена, а матрица  — нет. Умножим систему слева на В '. Лля зтого умножим первое уравнение на 3 и прибавим ко вто- Глава 2. Метод характерислшк рому, а также умножнм второе уравнение на 3 и прибавим к первому. Получившиеся уравнения поделим на — 8: В( ")+В( *)=О, В=В 'А= — (~ Уравнения на характеристики определяются из (2.10), которое перепишем в виде 1Едх — Сду~ = О. Откуда т„*- = Ле, где Л = О, ЛА = — 1 — собственные числа матрицы С. Значит, семейства характеристик задаются уравнениями х = с~ и к+у = ст.
Так как матрица С симметрична, не зависит от переменных, и ее собственные числа различны, ее можно диагонализовать С вЂ” Т 'СТ, сделав подстановку (") =О(А), О=( "т О) где Т вЂ” матрица составленная из собственных нормированных векторов матрицы С, записанных в виде столбцов. В результате система принимает канонический вид Ут = О, д,-д„=б. уравнения на функции ) и д расцепляются. Откуда ~ = 1(х), д = д(х+у) есть общее решение, где 2(х), д(а) — произвольные функции. (Фактически мы получили, что у = солж является соотношением на характеристике х = сп а д = сопаг на характеристике х+ у = сз.) Выражая и и е через У и д получаем в(х, у) = ( — ) (з (х) + д(х + у)), /1Л ~ О/2 г' е(х,у) = ~ — ) (-$(х)+д(х+у)). (м) Замечание.
Этот способ — диагонализации — можно применять, лаже если матрица С зависит от переменных, главное, чтобы от переменных не зависела диагонализуюшая матрица Т. Ранение. (6) Перепишем систему в матричном виле ( ') В( ')=О, А =( ), В=(О )). Уравнения на характеристики определяются из (2.10), которое перепишем в виде 1лдх — В~И) = О. 2.4. Примера Откуда й! = -у для одного и зг = чх для другого семейства характериль ! гь ! стик.
Решая эти уравнения, получаем, что два семейства характеристик задаются уравнениями 2х+ 1 = с„хг — ! = с!. Формула (2.11) позволяет найти соотношения на характеристиках. Подспшляя в нее 2дх + д! = О, получаем, что де+ ди = О вдаль характеристик 2х+ т = с!. Значит, е+ я = у!(2х+ !), где у! — произвольная функция. Аналогично вдаль второго семейства характеристик хг — г = сг остается константой выражение в — и = уг(х' — !), где уг — другая произвольная функция. Обшее решение получается из соотношений на характеристиках: и(х, !) = -(у!(2х+ !) + уг(х — !)), 2 и(х,!) = — (у!(2х+4) — Ях — !)). 1 ! 2 48. Найти условие гииврйолинности, характеристики и соотношении но характеристиках сиоиемы и! + авв + Ьи, = О, и!+сил+де = О, гдг а, Ь, с, д — константы. Решение. Перепишем систему в матричном виде Н~"„') ("') =, Д =(; „).
Формула (2.10) позволяет найти уравнения характеристик а+д 1 (Ндх — г!д!! = О, х = Ль — — — х — (а — д)г + 4Ьс. 2 2 Система является гиперболической, если подкоренное выражение больше нуля: Р = (а — д) +4Ьс > О. Если Р = О, то система параболического типа и два семейства характеристик вырождаются в олно, если же Р < О. то система имеет эллиптический тип и характеристик не сушествует. Соотношения на характеристиках в гиперболическом случае определнются формулой (2.11). Два из возможных представнений инте!ранов имеют внд еЬ+ и(а — Лт) = сопи нли ис+ и(д — Лв) = соне!. в 49.
Найти инварианты Ршнана (2.14) длн навитроиного газа, у которого давление и плотность связаны стеиенной зависимостью рр ' = сова!. 46 Вава 2. й/етод характеристик Ревтиие. В политропном газе (рр т = сопи) скорость звука не зависит ат скорости среды г др Р с(р) др р Вычисляя интеграл в выражении (2.14), получаем для инвариантов Ри- мана 2 Х~ — — е х (с(р) — сь), 7 > 1, где сь — константа интегрирования, которую удобно скорости звука при е = О, р = рь в покоящемся газе. (2.25) положить равной — + (е+р — ) — =О, (2.26) деВр / Ве сг'1 др +~е + дрдг 'х др р/ дх Она имеет нетривиальные решения, если матрица из коэффициентов при частных производных от р имеет нулевой определитель, что приводит к условию Извлекая квадратный корень и интегрируя, видим, что должно выпалниться одно из равенств / с(р) / с(р) е+ / — др = сопьг, е — 1 — др = сопзг. Р Р Таким абраюм, оказывается, что простая волна Римана возможна, только если в начальный момент времени е(х, 0) и р(х, 0) согласованы так, что один из инвариантов Римана имеет одинаковое значение для всех точек течения.
51. Пусть в газе задано начальное раснределение плотности р(х, 0) = В(х) и известно, что возникшее течение нредставляет собой простую волну Римана с заданным значением инварианта /ь. Найти решение р(х, 1). 50. Наити условия, ири которых решение уравнений одномерной газодинамики (2.12) оказывается таким, что скорость е зависит от х, 1 только в виде функции р: е(х,г) = е(р(х, 1)).
Такое решение называется простой волной Римана. Решение. Выражая в уравнениях (2.12) частные производные от е как производные от сложной функции, получим систему из двух дифференциальных уравнений на одну функцию р: 2.4. Примеры Решшше. В случае простой волны Римана уравнения в системе (2.26) эквивалентны, и для описания течения можно выбрать любое из них. Учитывая, что е = 1о — 1 — др, 1 (р) Р преобразуем первое из них к виду Вр 7' Р (р) ~бр — + (1„— 1 — др — с(р) ) — =О. 1 дх Это квазилинейное уравнение решается методом характеристик. Его решение получается неявным: 52. Справа от поршня при х > 0 находится ылитропный газ ( рис. 2.6). Поршень деизкется с ускорением а.
Найти скорость газа е(х, 1) до момента образования ударной волны при а > О. х= О Ряс.2.6. Поршень в трубке с га- зом е(х, О) = О, р(х, О) = ро. Значит, !доль характеристик, пересекающих эту границу, инварианты Римана (2.25) дя = О. Уравнения характеристик (2.13) в области, где оба инварианта равны нулю, становятся тривиальными н интегрируются хо = со!+хо, х = -со!+хм хо,х! > О.
Отсюда видно, что зта область ограничена прямой х = со1, она обозначена на рис. 2.7 цифрой 1, а решение в ней имеет вид в(х, !) = О, р(х, 1) = ро 1,5 Рис.2.7. Семейство характеристик в = с(р) + в (пунктир) лля зааачи о палитропном газе перед равноускоренном поршнем: "! = 3, а = 1, со = !. !в покояшнйся газ; П вЂ” лвижушнася газ. Слева область П ограничена положением ,~а поршня я(1) = '— ,, а справа — фронтом возмущения е(1) = со! (спяошные линии).
Точка 1' = 0,5-;", х' = 0,5 — время и координата оярокйдывания волны 0,5 0,25 0,5 0,75 Решение. Пусть а > О. В атом случае на плоскости х,г (рис. 2.7) газ находится в области, ограниченной с олной стороны полуосью 1 = О, х > О, на которой граничные условия имеют внд 48 Глава 2. Метод характеристик Характеристики х пересекают прямую * = сеС и переносят инвариант .у (х, С) = О с границы (С = О) в область х < сеС. Значит, ао всей области П на рис. 2.7 выполняются соотношения 2 .7 (х, С) = е(х,С) — — (с(р(х, С)) — се) = О, ! 7 †! с(р(х, С)) = се + — е(х, С).
2 Откуда У(э) = (се+ ) (у + 1)аС вЂ” 2се е(х, С) = 1- 27 где знак плюс перед корнем выбран в силу граничного условия э = аС при х = зГ. Распределение плотности р(х, С) находится из уравнения 7 = О. Момент образования ударной волны можно найти, лифференцируя полученное решение аэ се а(7+ 1)С вЂ” оо при е = — — + Их 2у Поскольку скорость газа в нашем случае положительна, а е' становится больше нуля только при С > С' = "~ П, то С' есть момент образования Х, (х, С) = е(х С) + — (с(р(х, С)) — се) = 2е(х, С), 2 у — 1 а е = гу. удовлетворяет квазилинейному уравнению дэ 7+1 — = -(э+ с(р)) — = — ( се+ — е(х, С)( —, дС дх ~ 2 ' ( дх' общее решение которого имеет вид 7(э(х, С)) = х — (се + — е(х, С)) С, у+1 2 (2.27) где У вЂ” произвольная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
