1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Этот предел называется суммой ряда. Если Л не равно какому-либо собственному значению Л, матрицы А, то матрица А — ЛЕ обратима. Обратная ей матрица Я» = (А — ЛЕ) ' называется резопьеептой. Под интегралом от матрицы понимается матрица, составленная из интегралов от матричных элементов. Пусть а— произвольная константа, которая больше всех 1Л,~. Тогда справелливы равенства Ат = — —, ЛтЕ»АЛ, та=0,1,2,..., 2яу 3 1»1=» (1.2) следуюшие из разложения резольаенты в ряд при 1Л) > а: 1~44» Нл = — — ~Е+ — т — +...) Л~ Л Л Из (1.2) слелует, что для любой функ- ции У(Л), определенной степенным рядом при 1Л) < а, выполняется равенство у(А) = — —. ~у у(Л)Е» аЛ 1 Г а 2я1 3 1»1= а Рве.
1.1. Контур интегрирования 1»1 = а в комплексиол Эта формула является обобшениемформуплоскости спекграаьного паРа- лы Коши на случай функций от матриц. метра Л Стянем теперь контур интегрирования так, чтобы он превратился в набор малых контуров, каждый из которых окружает только одно собственное значение (рис. 1.1). Тогда формула (1.2) при га = 0 дает (Л -) 1 = — У Е»АЛ, 2»г1 Р,=Е, л где символ (Л,— ) обозначает контур интегрирования, охватывающий собственное значение Л, в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
но не охватывающий при этом никаких других особых точек 1.2. Функционалы и обобщенные Функции подынтегральной функции. Матрица Р. является оператором нуоекмироеания (яроеюнором) на подпространспю, соответствуюшее собственному значению Л, т.е. Любой лннеЯный эрмнтов оператор А можно разложить по проекторам: А=2 Л Р. 3 1.2. Функционалы и обобщенные функции Функционалом, действующим на данном пространстве М функциЯ п переменных, называется отображение этого пространства в комплексную плоскость Ф:= (у(х), х б 1В" ') С Обозначим значение функционала Ф на функции у о М через Ф[)'[. Функционал называется линейным, если отображение линейно: о[ау+)уд[ = аФ[л[ Ф))Ф[д[. Здесь о, )3 — комплексные числа, у н д — функции. По заданной функция Р(х) всегда можно построить линейный функцнонал, действующий на некотором подмножестве функционального пространства Фе[д[ = ~ бх Р(х)д(х) (1 3) Однако не всякий линейный функционал можно записать в анде (1,3), применяя только гладкие функция Р(х).
В общем случае можно поданному функционалу Ф определить обобгценную Функцию Р(х), так что Ф[д[ выражается в анде (1.3). Если Ф является пределом последовательности функционалов Ф„, кажлый нз которых имеет внл (1.3) с глапкой функцией Р„(х), то обобшенная функция Р(х) может рассматриваться как предел последовательности (Р„(хЦ н ей можно приписать некоторые поточечные свойства (как функция аргумента х). Важным лля приложений примером обобшенной функцнн является б-функцня Днрака, соответствуюшая линейному функционалу Фы действуюшему на гладких функциях д(х).
По опрелеленню, Фг[д[ = ~ Их б(х)д(х) = д(0) лпя любой гладкой функция д. Это равенство эквивалентно следуюшему определению б-функция; б(х) =0 прн х~0, ~баб(х) = 1, 10 Глава 1. Линейные онераторы где йе — любая область и-мерного пространства Й", содержащая точку х = О. Производные одномерной б-функции опрелеляются через функционалы Ых — у(х) = -у'(0), / Нх — д(х) = (- 1)"у " (0), Иб(х) ! Г 4"б(х) и 1н1 б.
' / Ухе сь где функция д(х) подразумевается дифференцируемой достаточное количество раз. Всегда следует помнить, что равенства, соаержащие б-функцию и ее производные, означают только равенства значений соответствующих функционалов на достаточно гладких функциях. 1З. Гильбертово пространство и полнота Линейное пространство Е называется енльбергнаеым, если: 1. Лля каждой пары Г и у его элементов определено скалярное нреизеедение (Г,д) со значениями в С, удовлетворяющее следующим свойствам: (а) линейности по второму аргументу (Г,ад, + рдз) = а(Г,у~)+ 1)(Г уз) для любых Г,угд Е Е, а,)3 Е С; (б) эрмитовости (У,д) = (д,1)'1 (в) неотрицательности нормы )(Дз ьэ (У, У) > О, причем из(Г,Г) = О следует 1 =0.
2. В пространстве Е имеется счетный бесконечномерный базис, т.е. счетное множество элементов такое, что любой элементу Е б можно представить в виде линейной сУпеРпозиции Г„: д = 2 с„уч, Гильбертово пространство является линейным (векторным) пространством, поэтому его элементы можно называть векторами. Любой базис можно превратить в оргнонермнроеанный относительно данного скалярного произведения, используя процедуру Грамма— Шмидта. Основной пример гильбертова пространства — пространство Аз(й) функций Г(х), заданных в области й пространства хс" и интегрируемых с квадратом модуля. Скалярное произведение функций / и д !.4. Самосипряхеенные оператора определено следующим образом: (У,у) = ~ дх/'(х)у(х) и, очевидно, удовлетворяет условиям (1(а)-(в)). В курсе математического анализа доказывается существование счетного базиса в Ьз(й).
Рассмотрим в Ьз(й) фиксированную ортонирмиропанпую бесконечную последовательность функций (/а, и= 1,",со, (/е,/т) =бам). Она является базисом в Бз(й) тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение полноты: /е'(х)/а(у) = б(х — у). (!.4) Эту формулу нужно понимать как равенство обобщенных функций, либо как равенство интегралов от произведений обеих частей с гладкой функцией из Ьг(П), либо как предел последовательности равенств с обеими частями, принадлежащими Ьз(й). Последнее возможно потому, что хотя сама б-функция б(х) к /з(П), но в этом пространстве имеется последовательность элементов, имеющая своим пределом б-функцию (см., например, задачи к этой главе). 1./е. Самосопряженные операторы Под линейностью оператора А понимается свойство А (Л/ 4 ру) = ЛА / + !еА у, где / и д — векторы гильбертова пространства, а и и Л вЂ” комплексные числа' !.
Всякий линейный оператор, действующий в пространстве функций, можно записать как интегральный оператор, т. е. А/(х) = / К(х, у)/(у) ду, где К(х, у) называется ядром интегрального оператора А. Ядро К(х, у)— обобщенная функция двух переменных. В частности, если К(х, у) представляет собой линейную комбинацию б-функции и ее производных и К(х, у) = ) саб!ь!(х — у), то А называют дифференциальным оператором ь=| порялка и.
и Аамаеааелаим назиюетеа оператор А, лла которого А !л/ ия! = л А / ь и А в 12 Глава !. Лонейные операторы Рассмотрим линейный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве. Это значит, что заданы линейное правило соответствия у — Ау и область онреоелення Э: у Е 2З. Последняя может быть значительно меньше всего пространсгва Ьз. Например, в Ьз(0, 1) (пространство интегрируемых с квадратом функций на отрезке (О, !)) оператор ж может, очевидно, действовать только на те функции, у которых существует первая производная.
Аналогичное утвержаение можно сделать и про з=т. Ф Кроме того, для дифференциальных операторов подразумевается залдййе каких-либо граничных условий. В дальнейшем при указании области определения й будем явно приводить только граничные условия или же условия, им эквивалентные. Например, в Хз(И) действует Аз — уз = (7 Е Ь (11)).
(!.5) Иначе говоря, для функций нз Ьз, опрелеленных на всей вещественной оси, граничным условием может служить квадратичная интегрируемость функции, в частности, это означает 7(х) 0 при х — хоо. Оператор Аг, сонряхгенный данному оператору А, определяется равенством (е, Аи) = (А !о, и), (1.0) Эта формула фиксирует также область определения й* для оператора Аг. Она состоит из таких векторов о, что лля любого и из области определения Ю оператора А скалярное произведение (о, Аи) может быть переписано в виле (ы,и).
(Значит, если такой ю существует, то м и есть А го.) Область Р', вюбше говоря, не совпадает с областью 2З. В качестве примера рассмотрим в Ьз(0,!) линейный оператор 1 —, с областью определения, состоящей из функций, обращающихся в нуль на концах отрезка: Тз= (и(0) = и(1) = О). (1.7) Скалярное произведение 1 1 (о,Аи) = ~ е'1 — ийх=~ !11 — о! ийх+1о'и~ = (Ае,и) (!.8) й / '1, А*,У' о е о имеет внд (ю, и) = (Ао, и) для любых о. То есть л А 1 = з — 'й' = граничных условий нет. г!х ' Значит, в этом случае сопряженный оператор А1 имеет то,'ке правило соответствия, что и А, но более широкую область определения.
1.5. Кем- и бра-веклюрм Оператор А называется саиосолрялгеннми (эрииьтовым), если А1 совпадает с А вместе с областью определения. Примеры самосопряженных операторов: В = (У(0) = У(1))., Э= (У(0) =У(1) =0); (1.9) (1.10) — гз+ч(г), 5з = (г е Е (К )).
(1.11) В последнем примере подразумевается, что рассматриваются такие функ- ции, лля которых интеграл / У(г)(у(г)~ Йт (Уа, Уе) = (и,е) илн где т — единичный оператор. Слелует заметить, что эрмитовость и унитарность определены по отношению к данному скалярному произведению и не обязательно сохраняются при другом определении последнего. 1.5. Кет- и бра-векторы Понятие линейного функционала можно ввести не только в функциональном, но и в абстрактном гильбертовом пространстве: это отображение векторов гильбертового пространства в С, удовлетворяющее обычным соотношениям линейности. Любому вектору е гильбертового пространспи Н можно сопоставить линейный функционал следуюшим образом; для любого и Е Х Ф„[и) = (е, и).
Из определения Ф„(и) следует, что эти функционалы сами образуют линейное пространство: Ф внь =н Фе+Р Фю Иными словами, это пространство изоморфно Х. Это пространство Н' называется пространством элементов, сопряженных к элементам Н. сходится. Оператор У называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение: для любых а и е из области определения: 14 Глава 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
