1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если перейти в окрестности точки неособым преобразованием" к новой системе коорлинат т,рпрз,...,й'я н где т — параметр вдоль интегральной кривой (характеристики), то уравнение в этой системе приобретает вид у"; — — О, а общим решением будет произвольная функция и — 1 ксюрдинат Р„Рз,..., Р„~ — первых интегралов уравнений характеристик (2.2). Примере Найдем характеристики однородного уравнения ди ди — +у — =0. дх ду Уравнения характеристик х = 1, у = у имеют решение (х(!) = !+ Сп у(!) = Сге') и один первый интеграл П(х у) = уе * = сопя! поэтому и(х у) у (уе «) 15 пге у — произвольная фун- ""/'"('")""' т""'"" ' --я 2»- -.а --. кция, есть общее решение.
На рис.2.1 изобрахгены характери- 10 'р" Г""'"" стики — линии уровня функции у. Стрелками обозначены направления касательных векторов а = (),у) к интегральным кривым. Сами интеграль- 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 ные кривые у = сопя е' пока- х заны сплошными линиями. Ре- Рис.2ей Интегральные кривые и касательшение олнородного линейного ные векторы к иим лля уравнения у = у уравнения постоянно вдоль характеристик. Задача Ко»хи ставится к уравнению (2.1) следуюшим образом; требуется найти решение и(х) уравнения, удовлетворяющее иачальимм уеловшии (2.4) (х)!.»,д = У(щ), гле Я вЂ” некоторая гиперповерхность (размерности и — 1), у(хо) — заданная функция «начальных» переменных хо. Задача Коши однозначно ' ОемГ»Я ямчло« ореобряшмя я я к язык«ется точка.
в котороа обряшяется я ятяь якоби«я и!г. ри е'... р;,,) д!«,. «,....,е„) 2.2. Каазилинейнме уравнения я частных лрсизвадных 31 и;„ь = / Ь(х(т)) дт. И отличие от решения однородного уравнения, это решение уже не поюянио ваоль характеристики Г. 2.2. Квазияинейные уравнения в частных проиввовных Если коэффициенты а и Ь уравнения (2.5) зависят не только от корлннат х, но и от искомой функции в(х): а = а(х,и), Ь = Ь(х,в), ~о уравнение называется хвазвлинейным. К квазилинейному уравнению ыкжс применим метал характеристик.
Однако его решение уже не есть умма решений одноролного и неоднородного уравнений. Единственная чщгнфнкация метода характеристик для квазилинейного уравнения— расширение пространства, в котором ищутся интегральные кривые Г. Кроме и координат хп г = 1,..., в введем в+ 1-ю координату и. В расширенном пространстве вдоль характеристик х = а(х, и) уравнение (2.5) мглится к обыкновенному. В результате получаем систему обыкновенных лнфференциальных уравнений первого порядка на функции хь и ~ параметра и хг = а,(х,и), и = Ь(х,в).
(2.6) ра грешима по крайней мере в некоторой окрестности начальной гиперпоьгрхности 8, если Я не касается характеристик. Решение уравнений лля «арактеристик (2.2) с начальными условиями (2.4) х = х(ха, г) предста~ивет собой замену переменных. В этом смысле метод характеристик есть ог что иное, как применение вполне определенной замены переменных.
В том случае, когда удается получить общее решение (2.3), задачу Коши можно также решить, находя функцию й(с) из начального в ливия (2.4). Неоднородное линейное уравнение ди а — =Ь, (2.5) дх ~лг Ь(х) — заданная функция, имеет, как обычно для линейных уравнений, решение в виде суммы общего решения (2.3) однородного урав~н аня (2.!) и частного решения неоднородного уравнения (2.5). Чтобы най~н последнее, удобнее перейти на характеристики х(т), тогда левая ыс~ь (2.5) перепишется в виде полной производной д,дв ди а — = й — = — = Ь(х(Г)). дх дх дт гначнт, функция Ь (х(Г)) есть производная по «времени» г при движении ююль характеристики, откуда получаем искомое частное решение 1 22 Глава 2.
Мемед характериолик Общее решение а квазилинейного уравнения дается неявно уравнением 9(рн2гз,..., хп) = О, где д — произвольная функция и первых интегралов Р) уравнений (2.6). Ирииер: Найдем решение уравнения Хопфа да да — +а — =О, д! дх описываюшего одномерное течение облака невзаимодействуюших пы- линок (а имеем смысл скорости выли). Уравнение лля характеристики имеет вид а уравнение на характеристике с начальными условиями х!г-о = ха, а(шо = аа(хе). а = ао(х — а!).
(2.7) Пусть при ! = О а(х,О) = во(! — !ах). Решение записывается в неявном виле: а = не [! — гп(х — а!)]. Отсюда частная производная решения по х равна: — ае сйз~ — а,т' Видно, что при ! < Р = щ решение однозначно. При ! Ф' производная а, стремится к бесконечности при Г = х — а8 = Π— происходит опрокидывание волны. Решение становится неоднозначным при ! > !'. Причина опрокидывания состоит в том, что быстрые пылинки догоняют медленные. что приводит к укручению профиля волны. Плотность пылинок п(х, 2), определяемая из уравнения непрерывности и, + е„(па) = О, может п(хд) Рас.
2.2. Опрокидывание» решения уравнения Хопфа (Г > Ь > й) Отсюда находим, что функция х = ае(хе)!+ хе задает неявно зависимость хо = хе(х,!), при полстановки которой в и = ае(хе) лает искомое решение задачи Коши для уравнения Хопфа. В неявном виде 2.3. Системы уравчечай в частных производных 33 быть явно найдена через начальную плотность и якобиан преобразова- ния х = х(хо О): п(х, О) = по(хо) !за;! 0 момент времени т = Р плотность обращается в бесконечность в точке опрокидывания Е = О.
Появление бесконечной производной в профиле скорости, а также обращение плотности в точке опрокидывания в бесконечность означает, что в окрестности З = Р физическая модель — уравнение Хопфа— теряет свою применимость. 2.3. Системы уравнений в частных производных Метод характеристик в некоторых случаях можно обобщить на системы из т уравнений на т функций и,. Если переменных всего две, х и Е то система линейных уравнений имеет вид (2.8) Аи,+Ви, = у, где А(х,й), В(х,г) — матрицы порялка тп, и(х, Г) — вектор-столбец неизвестных функций, а У(х,г) — вектор-столбец заданных правых частей размерности пз.
Если и — решение сисгемы, то приращение функции в при смешении на бесконечно малый вектор (Ф, йх) составляет 4и = и~ аз + и,бх. (2.9) Зная дифференциал Ли, мы можем найти производнме и, и и, из системы 2т линейных уравнений (2.8), (2.9). Однако разрешить систему при произвольной правой части нельзя, если ее определитель обращается в нуль: (2А О) где Š— единичная матрица порядка т, действительные решения х(г) обыкновенного дифференциального уравнения (2.!О) называются характеристиками системы (2.8). Уравнение (2АО) представляет собой полинам степени гп относительно производных ф, Если пз = 2, а полинам имеет два лействительных корня, то система (2.8) называется системой гиперболического типа.
Если же действительных решений нет, система (2.8) относится к эллалтаческому типу. Промежуточный случай, в котором (2.8) имеет вырожденный корень, относится к лараболичгскаму типу. Для гиперболических систем с двумя переменными (х, 1) можно использовать метод характеристик. Решение системы (2.8), (2.9) существует на характеристиках, только если ранг матрицы системы равен 34 Глава 2. Метод характеристик рангу расширенной матрицы (ен ну ) (ен Й~'* ~ й) ' Это равенспю называется соотношениями на характеристиках. Оно долж- но выполнятся при движении вдоль характеристик. Формулы (2.10), (2. !1) могут быть применимм не только к линейным, но и квазилинейным ги- перболическим снсгемам. дример: Уравнения движения одномерного баротропного газа др д до до сг др — -1- — (ре)=0, — +и — =- — —, (2.12) да дх д! дя р дл где с = )7 „— скорость звука, р, р и е — давление, плотность и скорость газа.
Лля этой кааэилннейной однородной системы Формула (2.!0) позволяет найти уравнения характеристик (2.!3) йтитс, а (2.11) — соотношения г!а х ~~ = О. Интегралы соотношений на харак- теристиках, в данном примере 7 сг7р .7ь = от 77 —, Р (2.14) называются инаариантами Римана. На инварианты,7+ из (2.12) следуют уравнения 0,7 д.7 д,у д7 — -1- (е + с) — = О, — + (е — с) — = О.
д1 дх ' И дя Нуль в правой части означает сохранение инвариантов Римана вдоль характеристик. Найти общее решение этой системы не удается, поскольку о и с выражаются как через Х„так и через .7 . Однако в частном случае, когда один из инвариантов (например, 7 ) не зависит от коорлинаты (например, в силу начальных условий), тогда он не зависит и от времени в силу второго уравнения.
Остается одно квазилинейное уравнение лля,7, решение которого можно найти. Такое решение называется нростой аопнои Римана. Понятие характеристик можно обобщить и на некоторые системы линейных уравнений в частных производных с числом переменных, большим лвух. Характеристики таких систем суть поверхности или гиперповерхности, такие, что частные производные от решения в направлениях, 35 2.4. Примеры ортогональных этим поверхностям, не могут быть выражены через начальные данные Коши на них, а значит, не может быть найдено н само решение. Рассмотрим систему гл уравнений на функции от и+ 1 переменной: и~ У~ Аиг+В~ил,+" +Вни,.=У, ит, :У=: ~ (2 !5) им Ут где А,В, — матрицы порядка тп.
Пусть краевые условия зандются на гиперповерхности ф(1, хн..., х„) = О в и+ 1-мерном пространстве. Введем в пространстве (1,хн...,х„) новые координаты. В качестве одной координаты возьмем функцию ф а остальные а~ (4, хи..., х„),..., а„(1, хн..., х„) ограничены только условием неравенства нулю якобиана преобразования: р(ф и ) Р(т,*н.,*.) 'а Система (2.15) запишется в новых переменных в виде (Аф +ХВг )д (2.16) гле точками обозначены слагаемые, не содержашие Я. Систему (2.16) нельзя разрешить относительно, если обращается в нуль определитель зй' )Аф~+ В~фи +... + Внф,„( = О. (2.17) Характеристики для (2.15) определяются как поверхности уровня решения нелинейного уравнения в частных производных (2.17). Вектор градиента этой функции (фн ф„,..., ф,.), ортогональный характеристическим поверхностям, называется характеристичегкои нормалью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
