1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 8
Текст из файла (страница 8)
С другой стороны газ ограничен поршнем х = -1-, граничные усло„г вия на котором имеют вид е(-у-, С) = аС, х = у;. Подставляя ик в обшее решение (2.27) аС / 7+1 ,у(аС) = — — ~се+ аС) С, 2 ~ 2 получаем решение задачи Коши в области П у+ ! 'з уе'(х, С) сеэ(х, С) = (се+ — (~,С)~ !в 2 ' ) 2а а 49 2.4.
Примеры уларной волны, при этом е' = О. Из решения видно, что ударная волна образуется в точке х' = свр, т. е. на фронте распространения возмущения. При а < О характеристики на плоскости х, ! выглядят по другому. Однако снова существует область невозмушенного газа, а в области, гле газ движется, применимы полученные формулы, в которых а надо заменить на -!а!. Попробуйте сами нарисовать графики характеристик и решение е(х) при фиксированном й Покажите, что в момент времени !' = !,(! — ",! плотность газа вблизи поршня обращается в нуль, а при ! > Р газ отсутствует в области х < х = -ЧО)тв- Р Р— и--Н! справа от поршня. 53. Найти общее решение системы уравнений вс — в, =во, е~+е» = -ве Решение.
Сделаем замену переменных 4 = э+ !, О = х — Ф, в которых система уравнений принимает вид ве еч— 2 ве е! = —— 2 Поскольку в„= ео можно сделать подстановку и = Д, е = Д и перейти ст системы двух уравнений первого порядка к одному уравнению второго порядка: Ах=- 2 знее Разделив это уравнение на г! и интегрируя его по г!, получаем )и (1!) = -- + )и ~ / ба(с) 'з 2 х 44 )' где С(С) — произвольная функция. Интегрируя это уравнение по С, получаем /! 2ехр ~- ~(4,г!)) = О(4) + Н(г!), пе Н(г!) — произвольная функция. Откуда / ' '" а(О+ Н(в)' '" С(о+Н(в)' 54.
Найти характеристические нормали длн систем с четырьмя переменными: 50 Глава 2. Метод характеристик (а) уравнений Дирака 1 -дф дф дф Вф — 1 — + а ~ — + аг — + аг — +»дгкф = О, с д» дх др дх где 1 — единичная митричи, О О О ' »т О О -1 О (б) уравнений Максвелла 1 ВНг»1Е3»1Ег — — + — — — =О, сИ Вр 1дН, ВЕг Внг + — О с И дх дх 1 дНг дЕг днг — — + — — — =О И вх вр дНг дНг — + — =О, Од дх дН, ВНг ! ВЕг 1 дЕг — — — — + — — О, с И да дх 1ВЕ ОН ОН вЂ” Π— — — — + —— с И дх др -фг 1— с Ф 1 — 1ф, + а, ф, + агфе + агф, с = О, (2.28) где 1 — единичная матрица, а »~) = в ф*+ вгф„+ вгф., ,=(', О), в,=(» О) '=(01) Реаеиие.
(а) Характеристические нормали Сн т ф- заааются формулоя (2.17) Глава 2. Метод характеристик 56. Найти общее решение уравнения: а, +и, =и. 57. Найти характеристики системы, соотношения на них и выписать общее решение: в~+ аз — — (ае+ э,) = О, ф иу — ег + т (а, — э ) = О. 58. Описать растекание тонкого слоя идеальной жидкости после поднятия заслонки. Процесс описывается следующей системой уравнений: дЛ д де де дЛ вЂ” + — (Ле) =О, — +э — (Ле) = -9 —, дт дх ' дз дх дх' здесь Л вЂ” толщина слоя, е — горизонтально направленная скорость жидкости, которая считается одинаковой по вертикальному сечению, 9 — ускорение свободного падения. Начальная толщина Ле.
2.6. Ответы 55. При — ) О. ау(х) Их 56. в(х, Ф) =9(х — Ф) е'. 57. Уравнения на характеристики 4Ь ах х — =г и гй аФ г Соотношения на них 4(в — е) = О и й(а+ э) = О. Общее решение ез 'т а = г(хг) — 9(х — — ), гзх е = у(хг) + 9(х — — ), 2)' где у и 9 — произвольные функции. Глава 3 Линейные уравнения в частных производных второго порядка 3.1.
Канонический внд Наиболее обшее линейное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид а1,и„+ 2оыига + аггитт + Ь1 и + Ьгит + си + У = О. (ЗЗ) Здесь все коэффициенты зависят только от х и у. Обратимым преобразованием переменных уравнение может быть упрошено. Тип уравнения и его канонический вид опрелеляются знаком дискриминанта Р = а12 о111222. г Замена переменных, приводящая к калояичскому виду, выполняется с помошью решения уравнений на характеристики: Иф а12 + АР 22Х ам ау ац — ъ'Р (3.3) ях а11 Уравнения (3.2) и (3.3) имеют в обшем случае различаюшиеся интегралы 26„.(х, у) = сопзг, 2)2 (х, у) = соим.
(3.4) При Р > О уравнение (3.1) называется гиперболическим. В новых переменных б = 26 (х,у), 22 = Уг (х,у) оно приводится к первому каноническому виду игл + 61иг + Ьги„+ си + З = О. (3.5) Обозначения коэффициентов в уравнении (3.5) оставлены те же, что и в уравнении (3.!), хотя сами коэффициенты могут измениться после замены переменных. Это замечание следует учитывать и далее.
Для 3.1. Какакичвский вид 55 уравнений гиперболического типа принят еше и второй канонический вид. Сделав в (35) замену ь+г1 ь г1 а = —,,6 = —, 2 ' 2 получим и „вЂ” илл + Ь! и + Ьзил + си + л = О. (3.6) При 23 = О уравнение называют ларабалачвским. Уравнения (3.2), (3.3) и их интегралы гл.!. и гр в этом случае совпалают. Замена (=1Ь (х,у), О = уг(х,у), где р — любая функция такая, что уг и гЬ функционально независимы, приведет (3.1) к каноническому виду параболического типа е, + Ь! иг + Ьзи„+ си + у = О, При 23 < О уравнение относится к эллилл!ичлскаиу типу.
Уравнения (3.2) и (3.3) в этом случае комплексно сопряжены, их интегралы 3Ь.!. и гл тоже. Заменой переменных Ь = Ке у.!.(х, у), г1 = 1ш !Ь,(х, у) уравнение приволится к каноническому виду эллиптического типа иге+ их+ Ь!иг+Ьгич+ си+ У = О. Для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно искать решение в виде и = Р(б, г1)е. Такая замена не испортит канонического вила, но при этом позволит получить условия на функцию Р, при которых уравнение на е не будет содержать одну или обе производные иг и и„. Если коэффициенты в уравнении постоянны, то, подставляя еМ+лч и подбирая Л и р, можно привести уравнения гиперболического, пара- болического и эллиптического типов соответственно к виду "гч + 7е + 1 = О иц + Ьзеч + л ем+ еиг+ 7е+ л = О.
Если коэффициенты 7 и у уравнения гиперболического типа оказались равными нулю е,„ = О, то его общее решение на всей плоскости (б, г1) имеет вид е(с !) = Л(б)+Л(О). 56 Глава 3. Линейные уравнения втоггеео порядка Здесь Гг и уэ — произвольные функции. Возвращаясь к исходным переменным (х, р) и функции и, получаем н(х, у) = [уг (С(х, р)) + ~э (ту(х, у)) ) е (х, у). Частный вил функций уг и уэ для задачи Коши может быть определен по начальным условиям, заданным на линии в плоскости (х, у). 3.2.
Криволинейные системы координат В ортогональной криволинейной системе координат в трехмерном пространстве элемент длины может быть записан в виде дв' = ЬЩ + ЬэдЧэ'+ ЬэдЧэ Величины называются коэффияиепшами Ламе. Грааиент, дивергенция н ротор выра- :каются в криволинейных координатах формулами 1 др ~ Вр ~ др Вгад Р = ег — — + еэ — — + еэ — —, Ьг ВЧг Ьэ ВЧэ Ьэ дЧэ' /д(Ьэдэаг) д(ЬгЬэаэ) д(Ьгйэаэ)) гйу ив + + Ь,Ь,Ь, 'Э, ВЧ, ВЧэ ВЧэ А ьЯ; А В д В жЧг ВЧэ ~Чэ Ь!аг Ьэаэ Ьэаэ гога = Злесь ег, еэ, еэ — локальные орты заланной системы координат.
3.3. Разделение переменных 'г В нскоторыт случалт решенне ншут не в внес пронэвсленнв. Нвнрнмер, в уравненнн Гамильтона — якоби переменные могут раэлелнтьсл, еслн искать решение в внле суммы грункггггн от отлельныт коорлннат. Метод разделения переменных состоит в том, что решение граничной залачн лля уравнения в частных производных ишется в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной координаты">.
В большом числе практически важных случаев зто позволяет свести задачу к поиску решений нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений 3.4. Простейшие уравнения, решаемые метадон Фурье 57 Для конкретного уравнения переменные могут разделяться в одних системах координат н не разделяться в других. Например, в стационарном уравнении Шредингера 1 - - Ь р + Ггту = Щ> 2 переменные разделяются в той системе координат, в которой потенци- ал сГ может быть записан в виде Ки(Чт) з Лз т=~ гле Л вЂ” коэффициенты Ламе. 3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
