1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ы=! Коэффициенты А,В вычисляются разложением граничных условий в ряды Фурье. Для заданных граничных условий ряд упрощается до вида А ~Л и(г,!о) = Ао1пт+Во+ (А~с+ — ) совы. При г = а имеем А ~ Ао!па+ Во = сн А~а+ = О. а При т' = Ь имеем А 1 Ао!и Ь+ Во = О, А|Ь+ — = Ь. Ь Вычисляя коэффициенты из получившейся системы уравнений, оконча- тельно получаем 1и Ь вЂ” 1и т' Ь(гз — аз) и(г,р) =с + й совр. 1и Ь вЂ” ! и а (Ьз — аз)г 80. Найти стационарный прогиб прямоугольной мембраны размера а х Ь с зокрепоенной границей, если на мембрану действует однородное давление Р, о ее натязкение ровно 2'. Решение.
Уравнение равновесия мембраны имеет вид (3АО) 78 Глава 3. Лннейнме уравнения второго порядка Смещение а на границе прямоугольника равно нулю. Направим ось х тюль стороны длины а, а ось у вдоль второй стороны. Будем искать решение в виде разложения в ряд по собственным функциям оператора Лапласа ддя этой граничной задачи. Найдем собственные функции. Задача на собственные значения (3.41) — гза=ли, а!с=О решается разделением переменных. Собственные функции и собственные значения равны пях о!ну инт = 5!П вЂ” 5!П вЂ” 1 а Ь где и, и! — целые положительные числа. Раскладывая правую часть уравнения (3.40) в двойной ряд Фурье: Р ,) снтатны ип! ! (3.42) получим ненулевые коэффициенты 4 Р 2 2 я! Т (21!+ 1) (21+ 1)' Ищем решение уравнения (3,40) в виде такого же разложения и = " А,тают.
(3.43) 1б Р (з!Ы!1к я' Т (2а+ 1)(21» 1)[(Еь".!Зк)' (Яу! 5)'1 З.б. Задачи 81. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду: (а) игг — (1+ у!)з脄— 2у(1»- у!)и„= 0; (б) и„— 2мпх и,„— соз х脄— созх из — — 0: (в) (1+ хз)'и„+ и„„+ 2х(1+ х!)и, = 0; 1д/ дил1д!а (г) — — ~х — ) + — — = О; х дх х дху х! Ву! (д) хза„+ 2хуи „+ уз脄— 2уа, »- уеш' = О. Г1одстаахяя разложения (3.42) и (3.43) в уравнение и используя взаимную ортогональность функций и„,, получим г(„гн = Лаа. Окончательно имеем 3.6. Задачи 79 82. Найти области гиперболичности, параболичности и эллиптич- ности уравнения хи„+ уи„„+ 2а, + 2и„= О и привести в них к каноническому виду.
83. Найти условие зллиптичности уравнения Чаплыгина д В дх др — (ру,)+ — (ру„) = О, гдеР=р( /~2-1.у~2), 84. Привести к каноническому виду и избавиться от первых произ- водных: (а) и„— 4в,„+ 5а„„вЂ” За, +а„+ в = О; (б) а„— и „+и,+а„— 4и=д. 85. Найти общее решение уравнения (х — у)и,„— а, + ат —— О. 86.
Решить задачу Коши: 2 2р 4у а„+ 2(1 — у )в,„— а„„вЂ” з (2в, — и„) = О, 1+уз а(х,б) = у(х), вт(х,О) = У(х). 87. Написать выражение для оператора Лапласа в ортогональной системе координат. 88. Получить выражения лля оператора Лапласа: (а) в цилиндрических координатах (л, р, у) х=рсозу, у=ряпу, л=л; (б) в сферических координатах (т, В, у) х=тяпдсозу, у =тяпдсоау, л=тсозд; (в) в параболоидальных коорлинатах (с, О, у): О<6<ос, О<г1<оо, 0<у<2я 1 х= ДОсозу, р=,ДОЯ!пу, л= -(б — п); 2 (г) в эллипсоидальных координатах (С, О, у): 1 < 6 < оо, — 1 ( 9 К (1, О < У < 2Я т — (Сз — 1)(1 — От) соа у, у = — ((з — 1)(1 — пз) яп у, 2 2 1 л = — 69. 2 Глава 3. Пинейные уравнения второго порядка 89.
Получить выражения для градиента, дивергенции, ротора (а) в цилиндрических координатах„ (б) в сферических координатах. 90. Преобразовать в цилиндрические и сферические координаты оператор проекции момента импульса на осы: ,г' д д'1 ./ ду дх) 91.
Разделить переменные и найти собственные решения уравнения Шредингера для свободного движения (ГГ = 0) в прямоугольном параллелепипеде с размерами по декартовым координатам а х Ь х с при условии равенства решения нулю на границе параллелепипеда. 92. Найти колебания струны, левый конец которой закреплен, а правый, свободно, без трения скользяший по штанге, в начальный момент отклонен по штанге на расстояние Й. 93. Решить краевую задачу з иг=а и„, 0 < х < Е, и(0, 1) = и(б, С) = О, и(х,О) = сх(б — х) Сравнить решение этой задачи с задачей 70. 94.
Решить краевую задачу з и, =а иом 0 < х < Ь, и(0, 1) = ия(б,г) = О, и(х, 0) = Ах. 95. Найти распределение потенциала в полуполосе 0 < х < оо, О< у<2. и(х, 0) = и„(х, Ц = О, и(0, у) = г(у), и(со, у) = О. 94, Найти распределение потенциала между соосными цилиндрами рааиусов а < Ь лля задачи Дирихле: и(а,уг) = О, и(Ь,гр) = АЬ мп гр. 3.7. Ответы 61.
(а) Уравнение имеет гиперболический тип на всей плоскости и при- ВОДИТСЯ К ВИДУ игч = 0 В ПЕРЕМЕННЫХ С = Х + аГСГй У, О = Х вЂ” аГСГВ У. (б) Уравнение всюду имеет гиперболический тип и приводится к виду игч = 0 в координатах Г = к+ у — сов х, и = -в+ у — созх. 3.7. Ответы 81 (в) Уравнение имеет эллиптический тип и привслится к виду вы+ а =0 в переменных(=у, О =агсгух. (г) Уравнение имеет эллиптический тип. Приводится к виду вы+ а, = 0 в координатах С = у, г1 = 1и х. (д) Уравнение параболическое всюду и приводится к виду ~з и +2 — аг+ — е =0 92 в координатах С = у/х, О = у.
82. Уравнение гиперболическое во втором и четвертом квалрантах (ху ( 0) и имеет там вид 3 агр — — (Оие — Са„) = 0 в координатах ~ = Ъ4х(+ ДУ(, гг =,/ф - ДУ), Эллиптическое в первом и третьем квадрантах (ху > 0) и имеет там вид /1 1 ин + итт + 3 ~-ит + -и„1 = 0 г1— в координатах С=ДУ(, гг= фх~. На осях координат, разделяющих области параболического и гиперболического поведения, уравнение вырождается в параболическое.
Канонический вид получается делением на ненулевую координату. 83. (р+р',Я+у„)р>О. 84. (а) Приводя к каноническому виду и отыскивая и переменных 8 = 2х + у, О = х в виде и = ы(г„О) ехр 5с'+ ЗО 2 получаем !5 мн+ыт ея (б) В переменных ( = х — у, г1 = х+ у возможна замена и = ы(с, гг) ехр ~ — -~ ( приволяшая уравнение к виду ыг„— ю = О. 82 Глава 3. 2!инейнае урояненин второго порядка 85. Избавьтесь от первых производных 1(х) + В(Р) и =, где у и  — произвольные функции. х — !2 «Ь2т 86.
в(х,у) = !тих — — ) + — ) 2Р(х) дх. 2У2'1 1 З) 2) 1д Г д~ !дз д' 88. (а) Д = — — !зт — ) + — — + —. тдт (з, дз') тг да22 даз (б) Д = — — ~2' — ) + — ~а!од — ) + т От дт тззсвВОВ ОВ тздпзВ д!о~ (в) Д= [ 4 б+ч 4 (г) д 2 2 4 Оз + (ьгз !Н1,2) ОР2 ОУ ОУ 1ОУ 8~. (а) раду = е, — +е — +е„— —, * дя др " р д!о ' /1 дАт 1 ОАТ'з го1 А = е, ~- А„+ —" — — — т) + дА ! дАр ! дАТ д!т А = — + — Ар+ — + р ' Ор рдр' (б) ОУ ! ОУ ! ОУ бгадУ = е„— + ея — — + е„ " дз т дВ "та!пд дуз !'с18В ! ОА„! ОА '1 пиА=е„~ — Ат+ — —" — — ) + т " т дВ тз2пВ О2р ( 1 дА, 1 дАТ'1 +ее . — — — А„— — т)+ з,з' з!П В д12 Т дз' у'1 дАя 1 ОА„1 + ет 12- Ат+ — — — — ), ОВ т ОВ)' 3.7.
Осчвесчм 83 2 дА„с!8 д 1 дАг 1 дА„ б1тА = — А, + — + — Ав+ — + т ' дг г г дд тяпд дуз ,д 90. 1, = -з —. Фр 91. Ненормированные волновые функции имеют внд - =" (=*) н (=")" ('— ") Соответствуюшие им знергии равны зг' /пз тз 1з "т Е„,~ = — ~ — + — + — у!.
2 ~аз Ь' г) Числа и, пз,1 — целые положительные. 92. Задача может быть решена стандартной последовательностью действий — решением спектральной задачи, представлением решения в виде суммы собственных колебаний и вычислением коэффициентов разложения по начальным данным. Ответ получается из формулы (3.20) заменой вначале Е на 2Ь а затем подстановкой хо = Е. Почему? 8с ч-~ 1 Г у'(2п+ 1)я~ з $, (2п+ 1)яп 93. в(е,1)= — у ехр~~-~ у! а11яп =яз2 (2п+1)з 8АЕ (-!)» ~ Г'(2п+ 1)я~ з 1 2п+ 1 94. п(е,з) = — ,'Е, яз (2п+1)з ~ ~ 2Е / ~ 2Е ехр~- ~ / а1~яп ях. 95.
и(х, Оз) = 2 а„ехр ~- х)З яп — ц.)- р, (2о+ 1)зг ~ нет, „ =о с о АЬз 1пт — !па АЬо(го — аа) 96. п(з, Оз) —— соо 2р. 2 1п Ь вЂ” 1п а 2(Ьо — а4)тз Глава ф' Автомодельность и нелинейные уравнения в частных производных 4.1. Автомодеяьность Говорят, что дифференциальное уравнение в частных производных для функции двух независимых переменных х,1 имеет овтоыодельног решение, если существуют такие функции времени А(Ц и 1(1), что решение и(х, 1) может быть представлено в виде: и(х, 1) = А(1) г ~ 1(1) / Решение задачи сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению лля г(с). В физических зааачах обычно можно найти автомодельную подстановку, используя анализ размерностей. Важным частным случаем автомодельных решений являются бегущие волны, т.е.
решения вива (4.1) и(в,1) = У(х — У1), где у — функция одной переменной, а У = сола\. Действительно, подстановка ь = е*, т = е' приводит (4,1) к аиду и(ь, т) = д(ьт "), где У(С) = и(ег). 4.2. Нелинейные уравнения в частных производных Помимо автомодельных решений, играющих важную роль в физике, для нелинейных уравнений в частных производных, вообще говоря, не существует общих методов решения. Однако иногда удается найти широкий класс решений или даже общее решение нелинейного уравнения, превратив его заменой переменных в линейное. Таких преобразований известно немного. Для некоторых важных в физике эволюционных уравнений удается определить зависимость от времени интегральных характеристик решений без явного их построения. Это, в свою очередь, позволяет увидеть существенные черты решений, такие, как образование особенности за конечное время. 4.2.
Нелинейные уравнения в частных вроиэводных 85 Особое место занимают нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Оказывается, что решение задачи Коши для такого уравнения сводится к нахождению общего решения некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим для простоты случай двух переменных х и у. Уравнение рассматриваемого типа записывается в виде: (4.2) Р(а, р, о, х, у) = О, где Р— некоторая заданная функция, предполагаемая достаточно гладкой, а = а(х, у) — искомое решение, и р = а„д = а„. Дифференцируя равенство (4.2) по х и у и учитывая, что получим соотношения: др др Рр + Рч = Рч Ррч Рд, чду (4.3) дв дв Р— + Р— = — Р— дР„. дх ду Из них следует, что вдоль любой кривой (х(т), у(т)), удовлетворяющей уравнениям; х=рр, у'=рч, (4.4) где точка обозначает производную по параметру г, функции р и д изменяются так, что Р = — «'» — РРч, Ч = — Рр — И'ч.
(4.5) Производная функции а(х,у) вдоль кривой (4.4) также может быть выражена через а,р,в и х,у: й = а,й Ч- ару = ре„+ др . (4.6) Уравнения (4.4) — (4.6) образуют уже замкнутую систему. Она определяет семейство кривых в пятимерном пространстве с координатами (а, р, о, х, у). Эти кривые называются характеристиками уравнения (4.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
