1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поскольку! == 0 при г = О, то отсюда следуют связи межлу константами Су иВ: В» С = Яг+ В» Ра = Ы+ /х2+ 1»». (4.45) 4.4. Задачи !15. Решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности на полуоси 0 < х ( со, если в(х, 0) = х», в(0,1) = О. 116. Найти автомодельную подстановку лля нелинейного уравнения Шредингера г — = — +!Ф! Ф .ОФ О'»й 01 О 117, Решить залачу Коши для нелинейного уравнения первого порялка: иг + — и, = О, в(х, 0) = х . г» 2 4.5. Ответы 115. в(х, 1) = 1'~'у — = х + 61х. ~А/ 116. Е = — ~( — ). » 117.
и(х, 1) = —. 1+ 21 В| С» = »(В, +В», С~ = В»+ В Условие Р = 0 дает Са = х»/С~~+ С»» = х1. Таким образом, решение нашей задачи Коши не единственно; имеются лве функции гла(х, у,1), удовлетворяющие уравнению (4.43) и начальному условию (4.44). Поверхности т» = »ьь(х, у,е) могут быть заданы в параметрическом виде с помошью двух параметров В~ и В». Если их исключить, то получится явное выра:кение: Глава 5 Специальные функции 5.1. Особые точки Любое линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к виду — + р( ) — + у(х) у = бАз йаз (5.1) Особыми точками этого уравнения называются точки, где р(х) или д(х) обращаются в бесконечность. Если р(а),д(х) аналитичны в круге ~х — а, ~ < В комплексной плоскости переменной х, то в окрестности х, существует два линейно независимых решения у,(л), уз(а), образующих фундаментальную систему решениЯ.
Общее решение уравнения (5.1) выражается через их линейную комбинацию у(я) = А у~(х) + Вуз(л). Иэ (5.1) следует, что вронскиан двух решений аут(л) ау!(а) гр(у~(з) уз(л)) = у~(а) ,~ уз(а) удовлетворяет уравнению <ЛФ'(а) — = -р( Ж(х) Ал (5.2) (5.3) которое имеет решение В'(х~) = гу(х) ехр (- / Ш р(1)), (5А) обращающееся в нуль только тогда, когда у~(л), уз(з) линейно зависимы. Оба решения можно аналитически продолжить из а, вдоль контура С, не проходящего через особые точки. Причем из (5.3) следует, что линейная независимость решений сохраняется.
Пусть хе — изолированная особая точка. Рассмотрим два линейно независимых решения у1(а),уз(с), заданных в окрестности неособой точки а, находящейся вблизи ае. Аналитически прололжим эти решения 107 5.1. Особые гяочки из тОчки х В тОчку а, ОбОйдЯ по замкнутОму контуру вокруг яе (рис. 5.1). При зтом решения у;(а) переходят в новые функции у+(г), которые являются линейными комбинациями решений у;(г): у,(я) — у,+(х) = айу (х).
Если функции уз(а) можно выбрать твк, чтобы матрица а; была диагональной: Рие.5.1. Контур в плоскости комплексной переменной г уу(г) = Луру(я) то асимптотика решений в точке а = ге имеет вид у;(я) = (г — яо)А ) с»(я — гч)». (5.5) Числа р. = у~- 1п(Л ) называются характеристическими показателямн. В невырожденном случае (Л~ Ф. Л») разность рз — р~ не является целым числом. Если матрица а; не диагонализуется, приведем ее к жордановой форме, т.е.
выберем решения, которые при обходе по замкнутому контуру (рис. 5.1) преобразуются по закону; у1'(г) = Лу (я), уз(г) = Лу»(я) + у,(х). Асимптотика решения у~ в точке х = хе имеет виа (5.5) с р~ — — -у„-, ~ч 1м Чтобы найти асимптотику у», заметим, что функция Иг(я) — — — !и (я — ге) уз(г) у~(а) 2х»Л при анахитическом продолжении вдоль контура (рис. 5.1) переходит сама в себя: Иг+(г) = Иг(х). т.е.
асимптотика )У(г) в точке г = ге имеет вил (5.5) с р = О, Асимптотика уг(г) содержит логарифмические вклады. Если ряд Лорана в выражении (5.5) обрывается снизу (т. е. с» гз О при й < йе), то ге называют регулярной особой точкой. Если же ряд не обрывается, то ге — иррегулярная особая я»очка. Уравнение называется уравнением класса Фукса, если оно имеет только регулярные особые точки.
Особая точка ге ~ со является регулярной в том и только в том случае, если коэффициенты уравнения (5.1) при г яе уловлетворяют условиям 108 Глава 5. Слециильнме функции Пусть го = со, конформная замена з = т, 2; — — -12 В привалит 2 Е уравнение (5.1) к вилу , + р(с) — + б(с)сг = о, 2 где Е(") 2 ' я( ) 14 21 — р (1/С) о (1/С) Откуда следует, что го = со является регулярной особой точкой, только если приз- со ]Р(з)2[ < 00, ]д(з)з ] < оо. Точка со —— ос является неособой, только если при з ос ]а[2 — р(з)а][ < со, ]а о(з)[ < со. Следовательно, коэффициенты уравнения (5.1) класса Фукса с и+ 1 регулярными особыми точками (одна из которыл иа бесконечности) можно привести к виду А» гу В» С» т(з) . 2 + (3 — 3») (3 — з») (2 — 3») где А», Вю С» — фиксированные комплексные числа, причем я ~ с,=о.
»»л 5.2. Гипергееметрические функции Уравнение с тремя регулярными особыми точками называется гилергеометринеским уравнением. Пусть зо, лп 22 — особые точки. Замена переменной (2 — го) (з~ — зз) (2 — 22) (А — зо) конформно отображаюшая комплексную плоскость переменной на себя, переводит регулярные особые точки в Со = О, С| = 1, 12 = оо. При этом коэффициенты уравнения (5.!) должны принять вид Ао А~ С В В, р(с) = — + —, о(с) = + 2+ с (с- !)' 1(1-1) 12 (1-1)2 Коэффициенты В» при т2', !2 — !р можно сделать равными нулю с помощью степенной замены р = С"(С вЂ” 1)лР. В результате получим канонический вид гипергеометрического уравнения сто 2СЕ С(С вЂ” 1) — + [(а+ и+!)С вЂ” у] — + а)уе = О, (5.6) »СС2 АС 5.3.
Ортогеннльные ногннемы 109 в котором а, В. 7 связаны простыми соотношениями с Аы Вы С. Решением уравнения (5.6) служат гннергеомемрноескне функции Гаусса. Во всех регулярных особых точках решения имеют степенные асимптотики. Их можно найти, подставляя в уравнение (5.6) функцию вблизи особой точки р в виде е' (! — С')" (1+ О(! — !')) и отбрасывая малые по ! — !' члены: В.З. Ортбгонйдьиые пйлиибмы Полиномы, залаваемые обобщенной формулой Родрига Р.(*) = †"" — (*)!В(*)1, Вг(х) «!х" (5.8) Р г, при ! — «О: но=О, 1 7' Г.' (! — 1)"', При ! — «1: н! = О, 7 а — Р" ! с — „, при г- оо: и =а,,б.
!ь Разложение в нуле решения с но = О в ряд Тейлора имеет вид аб ! а(а+ 1)!5(!5+ !) !т 7 1! 7(7+ 1) 2'. Из разложения видно, что если а или (у — целое неположительное число, то рял обрывается, а значит Е' превращается в полинам. Вырожденное гилергеометрнческое уравнение получается из гипер- геометрического в результате слияния двух регулярных особых точек. Сделаем в гипергеометрическом уравнении замену ! = р и устремим В к бесконечности, тогла хо = Го!5 = О. х~ — — !Ну со, хт = !з)5 = оо, так что лае особые точки х«, хг сливаются в одну.
В результате получим вырожденное гипергеометрическое уравнение «!з!о «!г х — +(à — х) — — ар =О, «!хо о!х (5.7) в котором точка х = оо валяется иррегулярной особой точкой. Асимп- тотика в нуле х О степенная: 2г х"', тле но = О или на = ! — Г, а при х — оо — эксионенциаяьная: Р е* и степенная: с х Разложение в нуле решения с ио = О этого уравнения в ряд Тейлора имеет вид ,р)(а; у; х) = 1ип зр«а Ф'7' =1+ + а(а+1) хз а(а+ 1)(а+2) з 7 П 7(Г+!) 2! 7(7+!)(7+2) З! + + ° -. Из разложения вилно, что если а — целое неположительное число, то ряд обрывается, а значит, «с) становится полиномом.
1ГО Глава 5. Специальные функции где и — степень полинома Р»(х), а В(х) — полином, ортогональны с весом ьр(х): Их ьт (х)Р»(х)Ры(х) = б»ый», )Р(х~)22(х1) = (т(хз)Л(хз) =О (5 9) на интервале (х„хз), ограниченном точками„в которых ьт'(х)зе(х) обращается в нуль (см. задачу 124). Существует три классических типа ортогональных полиномов (см, залачу 123), отличающихся областью определения. !. Полиномы, заданные на всей числовой оси ( — сс < х < со), В(х) = 1, !4'(х) = екр ( — Ь (х — а) ). (5.!0) Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к полиномам Зрмита: А, А" з Н„(х) = — ехр(-х ).
» екр ( хз) Ах» (5.!!) 2. Полиномы, заданные на полуоси (а < х < оо), В(х) = х — а, ь!'»(х) = е ь1* «!(х — а), а > — 1. (5.12) Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к обобщенным полиномаи Лагерра: » А» А" а+» 2 (х)= — — х е хае-» Ах» 3. Полиномы. заданные на отрезке (а, < х < аз), Я(х) = (х — а~)(аз — х), ьР»Л(х) = (х — а~) (а, — х)Л, (5.14) а> — 1, )3> — 1. (5.13) Сдвигом и растяжением переменной такие полииомы сводятся к по- лнномам Якоби: ! я Г Н ЙР»(х) = — — ( %(х)Я(х) — Р»(х) = -Л»Р„(х), 1Р(х) лх т, "х / (5.16) х б (хп хз), Щх~)Р (х~) = уу(хз)Р»(хз) = О, А„~ Н" Р,'л(х) = — (х + 1)~~" (1 — х)л+". (5.15) (х+ 1)»(1 — х)Л Ых» При а = Д = Л полиномы Якоби сводятся к полиномам Гегенбауэра, а при Л = 0 — к полиномам Лежандра.
Полиномы всех трех типов являются собственными функциями оператора (задача 125) 5.4. Примеры где весовая функция ФГ(х) и полинам Н(х) имеют внд (5.10), (5.12) или (5.14). Оператор Х является эрмитовым в гильбертовом пространстве со скалярным произведением, заданным формулой (5.9). Уравнение (5.!6) лля полиномов Якоби сводится к гипергеометрическому, а для полнномов Эрмита и Лагерра — к вырожденному гипергеометрическому уравнению (задача 154). Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо изложена в книгах [Сми74Ь, МФ58, Клм76[ Читателям, интересующимся теорией специальных функций мы можем порекомендовать трехтомник [БЭ73, БЭ74, БЭ67, Олв90[. Таблицы и графики специальных функций можно найти в справочниках [АС79, ЯЭЛ77[. Б.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
