1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Примерш 118. Доказать, что если особан точка хе ф со урааненил (5.1) валяется регулярной, то коэффициенты (5. !) имеют аид р(х) =, 9(х) = —, р~(х) 9~(х) (х — хе) (х — хе)»' где р~(х) и ф(х) — аналитичские а окрестности х = хе функции. Решение. Не теряя общности, можно положить хе = О. Если х = 0 регулярная особая точка уравнения, то асимптотика решений (5.5) и вронскиана (5.2) при х 0 в невырожденном случае имеет вид уу(х) х ', Я (х) (р» — р~) Выражая р(х) и д(х) через у(х) и зг(х) с помощью уравнений (5.1) и (5.3), находим асимптотику при х — 0: дзр(х)/дх А ЪУ(х) х й»у1(х)/дх» дуу(х)/дх В у (х) у (х) .
х» з»19. Найти регулярные особые точки и характеристические показатели а ураанеиии Бесселя: »ду г!у»» х — +х — +(х — и )у = О. дх» дх Решение. Переписывая уравнение в виде (5.!), находим р(х) = —,', 9(х) = ! —;кг. Имеется одна регулярная особая точка х = О и одна иррегулярная х = оо. Асимптотику в регулярной особой точке надо 1!2 Глава 5. Слециалоиые функции искать в степенном виде.
Подставляя у(х) хе в уравнение и отбрасывая малые по х члены, получаем при х — О (р(р — !) + р — и )хе = О, значит, характеристические показатели равны В вырожденном случае (рь — р = 2и = и, где и — целое) в асимптотике второго решения могут появляться логарифмические члены. Обозначим за .7„Гз(х) х"гз регулярное в нуле решение и > О. Асимптотику второго решения найдем с помощью подстановки у (*) = ~.ю(*) ~ й! У(!). На з (х) получаем уравнение ,Тии(х) — + ~2 " + " ! 2'(х) = О, йу(х) у' О.ущз(х) .у„!з(х) ~ й* (, ь х решение которого 1 ~(х) = з х /2(х) разложим в рял по х вблизи х = О ,Г(х) =х" ~ аох.
о=о Интегрируя по х, находим асимптстику уз(х): уз(х) — ао!п(х) при и=О, уз(х) аох " ' при и > О. Если коэффициент а„~ О, то в разложении уз(х) обязательно будут логарифмические члены, возникающие при интегрировании у(х). Асимптотику в иррегулярной особой точке булем искать в виде у(х) — ехр(йх') при х — оо. Подставляя ее в уравнение и отбрасывая малые по; члены, получаем, что при х оо остается три члена. 1 „загхзк + Р„Рх' + х' = О Предполагая, что лидирующими являются первые два члена, приравниваем их лруг другу и получаем а = О. Но поскольку последний член растет при х — со быстрее, мы заключаем, что предположение не верно. Предполагаем теперь, что лидирующими являются послелние два члена, приравнивая их друг другу, получаем а = 2.
Но поскольку в этом случае 5.4. Примеры 120. Выразить функции Бесселя .7„(х) через вирозкденную гиаергеометрическую функцию. Решение. Особые точки уравнения Бесселя (П.!4) и вырожденного гипергеометрического уравнения (5.7) совпадают, а асимптотики в них отличаются. Решения уравнения Бесселя при х — О стремятся к х~, а при х — оо стремятся к ехр (х1х) (задача 119). Выделив эти асимптотики ,У„(х) = х" ехр ( — 1х)г(х), на 7(х) получаем уравнение дз7 дУ х — + (2и + 1 — 21х) — — г(2и + 1)г = О. ,! г дх Сравнивая с уравнением (5.7), получаем г' х 'з " ехр (-1х) г 1 д (х) = ~ ) ~Е) ~н+ -~2и+ 1;2$х) . ~2) Г(и+ 1) Коэффициент пропорциональности найден из сравнения разложениЯ в рял (5.7) и (П.15) при *- 0 (~. хз 1 — д„(х) —, 1Е,(о; у; О) = 1.
2у' Г(и+ 1)' И1. Найти характеристические показатели в регулярных особых точках уравнения Пехсандра (!равнение на собственные функции угловой части оператора Лапласа в сферических координатах) 1 д г, дуг пгзр — — япб — — — = -Л„,у. з1пб дй дб мизб (5.!7) Решение. После замены переменной х = соз Р уравнение принимает, с точностью до переобозначения Л на 1(1+ 1), вид (П.З6), в котором три регулярные особые точки х = х1, х = со. Ишем асимптотики при х — х1 в степенном виде: р(х) - (1 — х)", у(х) - (1 + х)т.
Полставляя их в уравнение (П.З6) и получаем Р~=х 2' отбрасывая малые по ! х х члены, первый член растет при х — со быстрее, мы заключаем, что предположение опять не верно. Наконец, рассмотрим последнюю возможность и приравняем первый и последний члены уравнения. Откуда получаем, что а = 1, Л = х1, р(х) ехр(х1х). Ь ! гч Глава 5. Специальные функции Асимптотику при х — оо ищем также в степенном виде х е и лля характеристического показателя получаем квадратное уравнение р„(р„+!) тЛ .
Ь 122. Выразить функции Лехсандра Р!т(х) через гинергеаметрическую функцию Гаусса. Рещение. Особые точки уравнения Лежандра (П.36) хв = 1, х, = — 1, хт = оз и гипергеометрического уравнения (5.6) отличаются. Сделаем конформную замену 1 = =з, переводящую регулярные особые точки 1, -1, со в 1ь = О, 1~ — — 1, 1з = со. В новых переменных уравнение примет вид д2Р АР / гпз 1(! — !) — +(21 — !) — — ~ +1(1+ !))Р= О.
д12 д! (,А1(1 - 1) Выделяя асимптотики функции Р(1) = Р, (! — 21) при 1 — О, 1 — ! (см. задачу !2!), получаем, что функция Р(1) р гг(1 !)ты удовлетворяет гипергеометрическому уравнению (5.6): д2 г АУ 1(! — !) — + (21 — !)(тн+ 1) — — (1(1+!) — пь(ш+ !))1 = О, д12 д! У(1) = А зР, (гп — 1, пз+ 1+ 1; гп + 1; 1). Осталось найти коэффициент пропорциональности А.
Поскольку при 1 — О (х — !) гипергеометрическая функция зР! стремится к 1, а функции Лежандра (П.37) стремятся к (х) ~ (1+ гп)! (! — х')™!'~ „, 2 пт!(! — ш)!' получаем Р, (х) = (! — х ) !Райш — 1,из+1+ !;ш+ 1; — ). м (1+ щ)! з тгз Г ! — х~ 2т(! — ш) !гп! 2 ) 123. Найти, яри каких $Р(х) и 22(х) функции Р„(х), задаваемые обобщенной формулой Родриго (5.8), являются нолиномами и-й стенени. Решение. Выразим полинам первой степени Р!(х) = А,и(р-х) через В"(х) и 11(х) с помощью обобщенной формулы Родрига (5.8): Р1(х) 21(х) дур ~И и(р — х) = — = — — + —.
(5.18) А~ И"(х) дх дх Рассмотрим (5.!8) как дифференциальное уравнение для функции И'(х) при различных степенях й полинома 11(х): й = О, й = ! и й > 2. Решения этого уравнения имекп следующий вид: 115 5А. Примеры !. При 22 = 1 весовая функция равна с точностью до постоянного множителя ФГ(х) = ехр (- - *~а)-). Подставляя ее в формулу Родрига, убежааемся, что — полинам и-й степени. Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к полиномам Эрмита. 2. При 22 = х — а весовая функция И' (х) = (х — а)» ехр (-и(х — а)) зависит от параметра и = и(р — а) — 1, который мы записали в виде верхнего инаекса. Подставляя ее в формулу Родрига, убеждаемся, что Р»(х) = А„'(х — а) ехр (и(х — а)) — „(х — а)' " ехр ( — и(х — а)) — полинам и-й степени.
Сдвигом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к обобщенным полиномам Лагерра. ь 3. При 22(х) = П(х — а,), где й > 2, а все а, предполагаются различг=! ными, уравнение (5.18) для й'(х) перепишем в виде ! дйг и(,и — х) 1 АЛ а, 5Р(х) дх 22(х) 22(х) Их дк-, х — а, Здесь а, — коэффициенты разложения на простые дроби. Решение этого уравнения лля весовой функции можно записать в виде !Г(х) = ь П(х — а,) '. Прямой подстановкой весовой функции Иг(х) и 22(х) с=! в обобщенную формулу Ролрига получаем, что степень полинома Р„ равна дейР„= п(й — !).
По условию задачи необходимо, чтобы де8Ри т и, поэтому й мо;кет быть равно только 2. Обозначим а~ = и, аз = )5 и будем указывать эти параметры в виде верхних индексов Йг (х) = (х — а,)"(аг — х)», Р„ (х) = А„ (х — а~) (аз — х) р — (х — а~)"+"(аг — х)" "" дх" Слвнгом и растяжением переменной такие полиномы сводятся к полиномам Якоби. 124. Яоказать, что лолиномы, задаваемые обобщенной формулой Родриго (5.8), ортогональны с весом $Р(х) на интервале (хп из), ограниченном точками, в которых $Г(х)22(х) обращается в нуль; ФУ(х~)22(х~) = !У(х!)22(хз) = О. 116 Глава 5. Слецнальние функции Решение. Выражение йг(х)В(х) для всех трех типов полиномов, найденных в заааче 123, обрашается в нуль в точкаж !) лля (5.10) х» = -со, хз =со; 2) дая (5.12) х» =а, хз = со; 3) лля (5,14) х~ = а», хз = аз.
Обозначая И"Р(х) весовые функции всех трех типов (весовая функция может зависеть только от одного параметра (5.12) или не зависеть от параметров (5.10)), замечаем, что И Р(х)В(х) = !г ~а+~(х). (5.19) Пусть и > гп. Полагая дая простоты нормировочные константы л„ равными единице, проинтегрируем по частям скалярное произведение з» 2„"мл = ~ дх йг Р(х)Рььл(х)РР(х) = ьь»,р».
» Ве- » з» е» = ~'(*)В(*) (И"" '(*))-' „, ~Е (*)~— е, ~ и"-'Иг РК"'~ дР Р( ) дх" ' ! дх и (5.20) Выражение в квааратных скобках — полинам Р„"~,'~~ (х). Это, в частности, означает, что в точках х», хз, где ру"Рм = О, в нуль обращается также внеинтецмльный член при и > — 1, р > -1. Повторяя интегрирование по частим и — 1 раз (внеинтегральный член каждый раз будет обрашаться в нуль, в силу того что Иг Р(х»)22(х») = Иг'Р(хз)В(хз) = 0), получаем з„"~ = ~ дх(-1)" 1р р(х)м" (х) ~ = 0 при гл < и.
(5.21) ь»! Рм (х) и Здесь мы учли, что пронзволная и-го порядка от полннома степени пг равна нулю при гл < и. Если»п > и, то для доказательства обращения интеграла в нуль надо поменять и и иг местами. В результате С» = р й б„, и ортогональность полииомов доказана. е,а в 125. Яоказать, что ловинаим, задаваемие обабтенной е!ормулой Радрига (5.8), ятвнотся собственнмии функциями олератора Ь (5.16), в котором функции И"(х) и 22(х) имеют внд (5.10), (5.12) иви (5. 14). !зайти собственние значения Л„олератора з».
5,4, Примеры Пу Ре!шине. Воспользуемся тем, что умножение весовой функции на лелином В(х) увеличивает ее верхние индексы на единицу (5.!9). Оператор » е ~(х) ~~ р~»Л( Вг«ф(х)» тле оператор производной действует на все стоящие справа Функции, увеличивает степень палинома Р«(х) на единицу, перевоая его в ортогональиый набор полиномов с индексами а, и, уменьшенными на единицу: «З „Е»Л В(Х) »«+! (Г ги"Л(Х) «Ы ) Вг»л(х) бх" +' ~ В(х) ~»ф (5.22) «т! Здесь д„— нормировочная константа, а полиномы предполагаются «„е нормированными на !. Операторы, увеличивающие степень полинома на единицу, называются повышающими. Очевидно, что оператор ж понижает степень полинома на единицу. Воспользуемся полнотой набора ортогональных палиномов Р" (х) и разложим по этому базису ер 1„! полипом и-и степени †"$ †: »! / бх Вг» (х) ( "+' )Ры» (х) = «, »! «,р 2~ Нх Р„",,'"! (х)3К» 'Л '(х)ф ЛР"Л(х) = -б„ »+! «, Злесь мы проинтегрировали по частям, и внеинтегральный член обратился в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
