1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Полученное равенство означает, что ЛР„'„, Р Д„" «-!„е-! '4»+ ! Подставляя зто выражение в (5.22), получаем, что полиномы удовлетво- ряют уравнению яг«ф(х) (хФ(х) — Р«(х) = -Л»Р„"Л(х) ' '=(',:.") ' При выбранной нормировке полиномов собственные значения Л„' выражаются через нормировочные константы, которые, в свою очерель, 118 Глава 5.
Специальные функции связаны с нормировочными инте!радами 1„„(5.20). Найдем собственз! ные значения для различных весовых функций зт"Л(х) во всех трех случаях (5.!О), (5.12) и (5.14). 1. Для полиномов Эрмита (5.11) !) = ехр(х ) — ехр( — х ), и з Ив а нормировочные константы ьь -2 ! ь 2 !! ! 2 !! 3 з (А„) = у! Ав( — 1)" ехр(-х ) — ~ехр(и ) — ехр(-е )у! = —. А*. ~ Ае ~ ,Уя ' Откуда Л„= 2п. 2.
Для полиномов Яагерра (5.!3) Ч» -ьь! ь а -г И =я е — хе Ив а нормировочные константы ь Откуда Л„ = п. 3. Для полиномов Якоби (5. !5) д"' = (а — а!)' (аз — в)' — (ж — а!)'(аз — *), Иа а нормировочные константы (А,',"е) ! Аь е (в + !)-"(! — ж)д+" = 3( Ив(- !)ь(в + 1)"'ь(! — е) '"— Апь (в ! !)а(! в)л — ! = п!2"+л+зь+!В(а+ п+ 1,)!+ и+ !) х п! Г(и+о+1)Г(п+Д+1) к-~ Д(п — 1)! Г(! + а + !)Г(п — 1+ Д + 1) ! 2а!л! ° зьь! Г(!х + и + 1)Г(Р+ п + !) Г(а+ !5+ п+ 1) Откуда Л,",'Л = п(а+ !3+ и+ !).
5.4. Примеры 126. Выделив асиинтотики в особык тачках уравнения Лезкандра 1 д /. Фут пгзу — — ~з)п — /1 — —, = -Л,„у, (5.23) яд В ВВ ВВ яп)В найти коэффициенты разлохсения в ряд но х = соьВ. 77ри какик Лт ряд обрывается и имеется ограниченное решение? Рванине. Выделяя степенные асимптотики в точках х = х! (см. задачу (!2!)) у(х) (1 хз)т(2 ' получаем уравнение на функцию /(х) дз/ д/ (1 — х ) — — 2х(ел+ 1) — + (Лт — гл(гл+ 1))/ = О.
(5.24) дхз дх Подставим /(х) = 2 а„х" в виде степенного ряда по х в уравнение ч=ь и приравняем нулю сумму коэффициентов при олинаковых степенях х. На а„получаем рекуррентные соотношения (и+ из)(п+ т+ 1) — Л (и+ 1)(и+ 2) Коэффициент овгз обращается в нуль, а рвд обрывается, только если Л =1(1+1),1> пь, при этом й =! — гл. 127. Получить из формулы Родриго (П.37) для нолиномов Легкандра интегральное нредставление Шлефли (П.43).
Решение. По формуле дяя вычета в полюсе порядка 1+ 1, вычет в точке х равен (*+) У(к) 1 д'г (х) 2г! (к — х)н ' 1! Вх~ Подставляя сюда /(х) = 2 '(хз — 1)'. получаем интегральное представление полиномов Лежандра: (г+) (гз 1)г У 2"'я! ( -х)'+' ' которое можно переписать в виде интеграла по отрезку, сделав замену переменной я на ф: г = х + ! ехр (!ф) т/1 — хз, дя = (г — х)! дф, гз — 1 = ха+ 2х(г — х) + (г — х)з — 1 = 2(г — х)(х+ !т/! — хз сов(ф)), 120 Глава 5.
Сиециаяьнме функции 2» Рг(совд) = ! — (совд+випд сов ф) . 1" Вф ,/ 21г о 128. Найти нроизеодящую функцию (П.41) доя лояиномое Леэкандра Рг(х) с помощью интегрального нредгтаеяения (П.43). Реьвеиие. Подставим в выражение для пронзводягдей функции интегральное представление для полиномов Лежандра Р(т,соьВ)= ь т Р1(соьВ)=/ — ~2 т (соьд+ьь!пВсоьф)', т< 1, 1 Вф ,/ 2г 1=О =о ОО г» Р(тсовВ)=~ т ' 'Р(соьВ)=1' — '2 т ' '(соьд+выпдсовф), 1>!. ,/ 2в 1=О о 1=О Просуммируем геометрическую прогрессию 2» Г Иф Р(т,совВ) = 2( ,/ 21г о Р(т,совд) = / ,/ 2я о 1 т< 1, 1 — 1' сов д — ьт в!п д сов ф 1 т>1. т — сов  — в мп В сов ф' Сделаем замену переменной р = вехр(вф): !о!=1 Вклад в интеграь дает вычет в том из двух полюсов подынтегрального выражения.
который находится внутри окружности единичного радиуса: ~1-ь ° ю+,б-'ъ' »»Р У 1'<1, тмпд — в» ~~-~„в У т > 1. ми В Р(г,совр) = !о!=1 Р(т,совВ) = У Вр -2 Р 2 ! — тсовд — („-2,,— ) ',,<, 21гв тв!пд ~ тип д иу 2 г 2 1 — сов  — — ~у — 2, р — 1), т>1. 2111 ь1п В ьгп д 121 5.4. Примеры Используя равенство р+р = 1, находим, что !р ! < 1, а !у+ ! > 1. Поэтому вычет надо брать в точке р = у 2 1 1 Р(г, х) — —, "ьеч Р! 'Т-2 2 1 1 Р(е, х) —— ~ в )1 -о ) „т-гч,тз с<1, г>!. Решение.
Дифференцируя проиэводяшую функцию, получаем ВР(г, х) х — г ВР(г, х) Ве ! + гз — 2гх ' ' Вх 1+ ез — 2гх Умножим эти равенства на 1+ гз — 2гх. Разлагая в ряд по степеням т и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, находим (1+ 1)Р~т(х) + (1 — 1)Р) ~(х) — 2х!Р(х) = -Р1 ~(х) + хР)(х), д д д †Р(х) + — Р! ~(х) — 2х — Р1(х) = Р)(х). дх дх дх Первое равенство перепишем в виде (П.З9) (1+ 1)Ргн(х)+Щ ~(х) = х(2!+ 1)Р)(х). Дифференцируя его и вычитая из второго равенства, умноженного на !+ 1 или 1+ 1, получаем (П.40) д д — Р),.~(х) — — Р) ~(х) = (21+ !)Ру(х), дх т дх д д х — 2)(х) — — Я ~(х) = !Я(х). дх дх 130.
Доказать ортогональность и выразить нормированные сферические функции У5 через Р, . Решеяие. Нормированные ортогональные сферические функции зт (В,р) = Аг Р, !(созВ) ехр(ьтр) должны удовлетворять соотношению АПЪьч(В, уг)!5ы(В, р) = 2хб АГА~ „~ дх РЩ(х)Ре !(х) = б би. -! 129.
Получить рекуррентные соотношения (П.39) и формулы дифференцирования (П.40) с немощью производящей функции (П.4!). 125 5.4. Примеры Фаза т определяется из требования симметрии функции «1е(д) = (-1) «1е(и — 5). При д О, и сферическая функция ««е(д) = «/~~~~ Ре(саад) стремится к конечной величине (рис, 5.2). 1~66( Ряс. 5.2. Грвфики сферических гармоник с орбитальным моментом 1 = 6.
На левом рисунке гл = 1, на правом — т = О 0 й 132. Привести радиальную часть трехмерного уравнения Шредингера для чапницы, находящейся в связанном состоянии (Е ( 0), в кулоновском поле У = -„- (атомные единицы): 1 гьФ(г) + 2 (Е + -) Ф(г) = 0 11 г) к уравнению Пагерра (П.58), выделив асимптотики в особых точках. Реатнм. После разделения переменных радиальная часть уравнения Шредингера принимает внд ! г12 /2 1(1 +!) — — гФ(г)+ ~-— + 2Е) Ф(г) = О.
г дгз ~ту гз В этом уравнении особые точки — г = 0 регулярная и г = сю иррегулярная — совпадают с особыми точками вырожденного гипергеометрического уравнения (5.7), но аснмптотики в них лругие: при г- О: Ф(г) г или при г — оз: Ф(г) ехр(хе~l — 2Е). Вылеляя асимптотики Ф(г) = г' ехр( — гч'-2ЕЕ)у(г), на у(г) получаем уравнение д'Р / 2(1 + 1) — ~ ч(~ 2 — 2(1 + 1)ч/-2ЕŠ— +~ — 2ч'-2ЕЕ) — + 1(г) = О, дгг 'ь г ) дг г !24 Глава 5. Слециальные функции которое после перехода к новой переменной р = гг~/-2Е, сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению (5.7) с 7 = 2(1+ !) и о=!+ ! — ~ТА.
р + (г(1+ !) — р) — + ~ — — ! — !) У(р) = О. дэ У(р) 47(р) У 1 дрэ др ( ьГ-2Е Требование убывания Ф(г) на бесконечности дает условие на ! э Е = -- (-а+1+ !), 2 поскольку только при целых а < О вырожденное гипергеометрическое уравнение сводится к уравнению Лагерра (П.58), которому удовлетворяет степенное решение (П.59): Г(р) = Ь"нь'(р), растущее на бесконечности медленнее чем ехр (уь). Откупа цг(г)=г ехР~ — — )Ьн г 1~ — ), в= — >1+!. 133. Найти нормировку радиальной еалнооой функции электрона о атоме оодорода: Я~(г) = А„х ехр ~--~Ьн г,(х), х = —.
Ртиеиие. По определению нормированная волновая функция удовлетворяет уравнению (в атомных единицах), 00 1 = / г дг ]лЬ',(г)] . е Заменим переменную интегрирования т на х = — „, где в= т чВ >1+1 о ! целое, и, воспользовавшись формулой Родрига для пслиномов Лагер- ра (П.59), перепишем в виде: (А„) = / ~-~хэдах и эехр(х)~ — (хныехр( — х)]] . 2 ((в-1 — !)!Ахи ' ' е Интегрируя по частям, получаем (А ) (-)! ~ ( —,, ]е —,н *)]). ь Выражение в фиьурных скобках равно (-!) ~ ~(х(в — 1)! — (в+1)(в — 1 — 1)(в — ! — 1)!), !25 5А. Првиерм позгому интеграл выражается через Г-функции от целого ар~умента: ь (А~.) '= (-"),~ * '"" *' И вЂ” )х""" -( + Н вЂ” — )*""3 = \,2/,У (в-1-1)1 е в') (в — 1)(в+1+1)!-(в+1)(в-1 — 1)(в+1)! -()' 2/ ( -1 — 1)! Откупа получаем нормированную функцию "" =.-'Р'"-'7'(-.) - Я)'"-"- (-") 134.
Найти собстееннме 4ункции и энергию стационарных состояний уравнения Шредингера оня осциллятора: 1 'дт — — ~ — — х ) Ф(х) = ЕФ(х). 2 ~д* Решение. Выделяя асимптотику при х = со, уравнение Шредингера лля осциллятора можно свести к уравнению Эрмита. Мы поступим по-другому. Введя операторы й= — ( — +х), йг = — ( — — х), перепишем уравнение Шредингера, 1т ЙФ(х) = Й1ЙФ(х) = ~Š— -~Ф(х). д Нетрудно вилеть, что оператор Й положительно определен для всех функций из Ьт: Йх Фг(х)ЙФ(х) = / Их Фг(х)йгйФ(х) = / Их 1ЙФ(х)( р О.
Равенспю нулю этого вырюкения достигается, только если г г а / хт1 ЙФе(х) = — ~ — +х( Фе(х) = О, т.е. Фе(х) = А ехр ~- — ). тГ2 хдх л ' 'х 2) При этом Ее = ~1. Для нахождения всего спектра энергий рассмотрим коммутационные соотношения ййгФ(х) = Й1ЙФ(х) Ф Ф(х), й 1 й ( й 1 ) Ф ( х ) ( й 1 ) т й ( й 1 ) ~ Ф ( х ) + ( й 1 ) е Ф ( = в(йг)" Ф(х) + (вг)"+'йФ(х). 126 Глава 5. Снециальные функции Поскольку ВФ« = О, из коммутационных соотношений следует, что функция Ф„(х) = (Вг)" Фе(х) удовлетворяет уравнению ( --) 11 Š— -~ Ф„(х) = ЙФ„(х) = В ВФ„(х) = пФ„(х).
Откуда видим, что собственные функции Ф„(х) состояния с энергией 1 Е„= я+ —. 2 выражаются через полиномы Эрмита Е„(х) (П.50): '* -" (-'(-'- )) - (-'-') = 2 ««уи2 Х й» = А„— ехр ~ — ) — ехр (-х ), "2< Рй ~ 2 ) йх" ГЛЕ МЫ ВОСПОЛЬЗОВаЛИСЬ ОПЕратОрНЫМ тажаЕСтВОМ (~ — Х)Е«гз = Ел гзйт л ««2 «2г Из соотношения ортогональности для полиномов Эрмита (П.52) получаем величину нормировочного коэффициента ! А„= т/пня 135. Найти собственные функции и энергию стационарных состояний уравнения Шрйдингера для двумерного (трехиерного) осциллятора в декартовых координатак: — -(Ь вЂ” г )Ф(«') = ЕФ(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
