1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В этом случае мы знаем точное решение 1(!) = та!+ 12'„'"ы и можем убедиться, что решение усредйенного урав- ! нения не уходит от точного решения, если Рис. 6.2. Графики зависимом фб. !,1(!) 1(!)( < сопзг.е стн ет времени переменной В гамильтоновой системе переменные ф 1(Ц н медленной перемен- играют роль обобшенных координат, а 1— обобшенных импульсов, так что уравнения всегда имеют вил дН . ВН 1 = — — ф = —.
дф' 01 148 Глава б. 4симнтатические методы Усредняя по ф производную ус, получаем г = О. Зто означает, что он эволюции медленных переменных не происходит (г — адиабатические иноарианты). Главная трудность применения метода усреднения в общем случае — выбор подходящих переменных г, которые являются интегралами движения невозмущенной системы.
Теория асимптотических рядов и асимптогические методы вычисления интегралов детально разобраны в книгах [МУ72, Фед87, СФШ76, Зрд62, Олв90, Копбб, ДБ61, Хед65[. Метод усреднения по высокочастотным колебаниям изложен в книгах [БМ74, Арн78, Коу72, Най76[. б.б. Примеры 163. Найти асиинтотику Г-функции Эйлера нри х — +ос Г(х) = / 1* ~ ехр(-Г)дй Вывести уточненную формулу Стирнинга, содерхсаи!ую даа члена аскинта- тическаго раэголсенил. решение. Перепишем интеграл в виде Г(х) = / ехр (-! + (х — 1) 1п г) юй. о Стоящая множителем при большом параметре х функция 1п ! неограниченно растет при ! — со, поэтому ни одна из асимптотических формул (6.3)-(6.5) неприменима.
Дело в том, что точка максимума !о подынтегрального выражения зависит от большого параметра то = х — !. В этом случае необходимо сделать такую замену переменной (остановить точку максимума), чтобы в новых переменных точка максимума не зависела от х: г = хт, тогда Г(х+ 1) = х*о' / ехр (х(1о т — т)) дт.
о Максимум функции у(т) = 1пт — т достигается при то —— 1 внутри интервала интегрирования, поэтому главный член аснмптотики дается формулой (6.4). Чтобы получить следующий член асимптотического разложения, необходимо разложить функцию у(т) в ряд по 6 = т — 1 до четвертого члена включительно: ьсз ьсз 14 и) =- — — +---+О(1') 2 3 4 149 6.6, Примеры Подставим это разложение в интеграл и сделаем замену 6 = хтг —: /з / з 2з/2хз хг з / хз ~~ Г(х-Ь 1) = ь/2ххх*е *31 дг ехр (-г + — — + х О( — ~1. Зт/х х 1, хзгз ) / -~/аПП При х — со можно разложить экспоненциальную функцию в ряд по членам, содержащим степени х в знаменателе, а пределы интегрирования с экспоненциальной точностью расширить до бесконечности: / р / 2т/2х~ 4г~ г~ згз ~ Г(х+1) = ъ2ххх'е * / Иге ' (1+ + — — — +О(х )~.
Зз/х 9х х В результате получаем уточненную формулу Стирлинга: и*+с и( )'( 4гРп) иод ) ~2т (х) (1+ 1 + О(х 2)) Здесь мы учли, что члены, пропорциональные х згз, содержат нечетные степени переменной интегрирования х, поэтому обращаются в нуль при интегрировании в бесконечнык пределах. 164.
Найти асимлтотику интеграла р(и) = / етрг*гф(х) дх лри и - +со, если /'(с) = /н(с) = О, ф(с) ф О, /м(с) ~ О и нет других стаяионарных точек. Решение. Поскольку вторая производная в стационарной точке х = с обращается в нуль, разложение показателя экспоненты в ряд по 6 = х — с начинается с кубического члена: 1и/(х) = ги ~/(с) + -/т(с)6 + О((л)~ . 6 При и -~ со функцию ф(х) можно вынестн в точке с из-под знака интеграла.
Получившийся эталонный интеграл (50 Глава 6. Асимлтотические методы у(и) ф(с)ем!!'3 / ехр ( — ~м(с)6)3~до = 'х 6 = 2ф(с)е~"™ Ке / ехр ( — [1" (с) Я) ) юЦ е с помощью комплексной замены переменной интегрирования =й! сводится к Г-функции. Контур интегрирования пой вблизи стационарной гочки 6 = 0 деформируем в комплексной плоскости так, чтобы новая переменная инте3рирования была вещественной егеге 6 1! д! ~ ~!3 ,[уе(с) [~ ез!3 ' В результате получаем главный член асимптотического разложения: 1 цз д(и) -ф(с)е'" ' соз— ГН. 3 6 ~и[Ум(с)[ ) ~3) 1б5.
Найти аеимнтотику функции Эйри лри х +оо А!(к) = — / ехр [в( — +к!)~ дх. Решение. Заменой переменной ! = Дгх интеграл приводится к виду А!(к) = — 33 ехр (х ю(х)) Нх, ю(х) = (~ — +к), зги Г 333 2. / ~3 де контур интегрирования Т идет влоль вещественной оси. Записызая переменную интегрирования в виде х = 22е'е, видим, что интерал сходится при 3! со вдоль луча Р = сонм, если выполняется головне Кем(х) ~-'-Рг — ( О. Откуда находим секторы сходимости «а бесконечности: й Е [О, Я О [.у, я~ ы [.у, Т~*~, которые заштрихованы ча рис. 6.3. Точки пеРевала хьз — — кг находЯтсЯ из УсловиЯ з- = ((хз+ !) = О. В обеих точках !шм(к~ 3) = О. поэтому лля нахожаения минимаксзого контура достаточно построить линии нулевого уровня мнимой Засти фазы.
Уравнение !гого(х'+ 3хн) = 0 имеет три решения х' = 0 ЧЬ"'-О.,р„г „,н, „р .6з.т„, н 3ения линий нулевого уровня совпадают со стационарными х~ 3 — — Ы. 6.6. Примеры Р»ы.6.3. Секторы сжшимастн интегрального представления функции Эярн при х аа. В плоскости комплекснога переменного з имеется три линии 1шм т О: праман Вез = О н две ветви гиперболы. Направление убывания Ке и указано стрелкамн Вдаль этих линий между точками пересечения вещественная часть фазы изменяется монотонно. Контур интегрирования можно деформировать в верхнюю ветвь гиперболы.
Максимальное значение Ке ш(з) вдоль такого контура достигается в точке ໠— — г и никакой деформацией контура не мо»кет быть уменьшено. Концы выбранного нами контура остаются в секторе сходи- мости, а сам контур проходит через точку перевала з~ — — г вдоль линии наискорейшего спуска: Ке и вблизи х = з убывает вдоль верхней ветви гиперболы и возрастает вдоль прямой Ке х = О. Вблизи точки перевала разложение ы(л) по ь = з — з имеет внл ы((') = -- — ~ +О(ь ), » з и для вычисления интеграла можно применить метод Лапласа.
Поэтому главный член асимптотического разложения интеграла по х »Г» можно получить по формуле (6.4). А»(х), ехр ~--х 166. Пойти оси»никотину Г-функции коммекгного неремениого Г(х) = ~1 ехр(-1) а1 е нри )х) +со, И = (агВа) <» — е < у. Ревнива. Сделаем замену переменной интегрирования 1 = ат, чтобы остановить стационарную точку: г нм Г(а+ 1) = з / ехр(а(1пт — г)) ат. о Поскольку Ке а > О, то конечная точка интегрирования находится в правой полупласкости комплексной переменной г на бесконечности. Подынтегральнае выражение обращается в нуль на обоих краях интервала. !52 Глава 6.
Асцннтотичесцие методы Контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он прохолил через стационарную точку тд = 1. Поэтому перевальный контур существует. Контур наискорейшего спуска задается уравнением 1шя(1пт — т) = 1ше(!о то — тд) = 1шл и имеет сложную форму. Однако вблизи точки перевала направление наискорейшего спуска в комплексной плоскости т легко находится по его*в' гы — г рой производной функции — „-т = -х в точке перевала тд = 1 и составляет угол — у с положительным направлением вешественной оси; д е(1пт — г) = -х — +(я!0(1 ), 1 = (т — 1)е' М' з готт 2 Откуда, заменяя пределы интегрирования на бесконечные, при !х! — оо находим асимпютику Г-функции Г(г) = (-) / ехр(- — )е ~ дб )/ — (-), т 167.
Вывести усредненные но нериоду осцилляций уравнения для медленных неременных слабо нелинеиного осциллятора й+ыдх = — е,Г(х,х), е — О. (6.14) Решение. Запишем решение невозмушенной системы в виде х=1содф, х = — 1ыд миф, фшыдг+д и будем рассматривать эти соотношения как переход к новым переменным действие — угол (1, д) для возмушенной системы (преобразование Боголюбова — Крылова). Считая переменные (1, д) медленно зависяшими от времени, продифференцируем функцию х(1) =1содф: х = 1 сод ф — 1(ыд + д) тгд ф. Поскольку ф = — 1ыд д!пф, получаем первое уравнение на медленные переменные: 1 Сод ф = И 51п ф.
(6.15) Дифференцируя х(1) = -1ыд мп ф и подставляя в уравнение (6.14), получаем второе уравнение на медленные переменные: х+ ыдх = -ыд (1д1п ф+ И сгж ф) = -еу(1 сод ф, -1ыд д1п ф). (6.16) Систему (6. 15), (6.16) можно разрешить относительно новых неизвестных функций е 51П ф 1 = 1 (1 сод ф — 1 ~д 5!и ф), ыд 153 6.6. Примерю Усредняя по быстрой переменной ф и обозначая медленные пере- менные в усредненных уравнениях за .7(!), В(!), получаем уравнения Боп2любова — Крылова. ! Г ,7 = — 'С(,У), С(,7) = — / 7(,7созф, -ЛО021пф)япфдф, т 2я,/ о 2ч 1 й = — 7 р'(Л), р'(у) = — / 1 (.7 соз ф, -уыь 51п ф) соз ф дф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
