1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В результате для коэффи- пиентов а(Л) находим а(Л) = / 7(х)Р„'(х)гЫ. (7.15) Если же П вЂ” некомпактная область, то (7.!2) может быть уже неверно и должно быть модиФицировано, поскольку у оператора А может быть непрерывный спектр. Пусть А по-прежнему самосопряжен. Мы говорим, что интервал (а, Ь) вешественной оси принадлежит непрерывному снекнгру и„если дяя всех Л б и, = (а, Ь) сушествуют решения 1Ьз(х) уравнения 169 7.3. Режмьвенгяп Заметим, что изменение нормировки, т.е. появление коэффициента С(Л) при б-функции в (7.14), повлечет за собой появление коэффициента СТз) в правой части (7.15).
Будем считать, что выбрана нормировка (7.14). Тогда спектральное разложение дара А(х, *') принимает вид А(х, х') = ~ Л«»)«(х)Р«(х') + / АЛ Л»лз(х)Рл(х'), (7.16) « « где суммирование производится по дискретному спектру»гю интегрирование — по непрерывному. В формуле (7.16) подразумевается, что собственные значения непрерывного спектра оператора А невырождены.
Если же имеется вырождение, то в каждом собственном подпространстве с собственными значениями Л можно выбрать ортонормированный в смысле (7.14) базис Р„(х). Спектральное разложение при этом дополняется суммированием по всем собственным функциям, принадлежашим данному собственному значению Л А(х, х') = ~~» Л„»)»„(х)т»„'(х') + / АЛ Л ~~»»Р„'(х)»7»„у(х'). (7,17) « а, У Возможность вырождения собственных значений дискретного спектра учитывается в (7.16), (7.17) тем, что некоторые Л„в первом слагаемом могут совпадать.
7.3. Резояьвеитй Режи«в«атой Й, данного самосопря:кенного оператора Й называется следуюший оператор, зависяший от комплексной переменной а как от параметра В» = (2 — гг) Из определения следует уравнение на интегральное ядро И,(х, х') оператора Й, (з — Й)В»(х, х') = д(х — х).
Собственные функции у»„(х) у Й и Й„очевидно, одни и те же, а собственные значения тривиально пересчитмваются. В итоге мы получаем спектральное разложение лля А,(х, х»): В,(х,х') = ~~» — »)»„(х)~„'(х')+~ — '7»)»ц (х)»р~ (х'). (7.18) « « При а = 0 реюльвента с точностью до знака переходит в функцию Грина. Виано, что в резольвенте В,(х, х') заключена вся информация о спектре оператора Й. Как аналитическая функция переменной з б С резольвента Г)О Глава 7.
Метод функций Грина йее 22, = ~ ф„г(х)ф„'г.(х'), г быть найден с помощью 1 1 !!ш, — — = -2ивб(е) -ю Ле+1е х — 1е/ и равен В,[, „, — Я,[, мене —— -2ят' ',г фй(х)фг".'(х'). (7.18) 3 Это соотношение позволяет по известной резольвенте найти нормированные согласно (7.14) собственные функции непрерывного спектра с точностью до унитарного поворота в их собственном подпространстве. Такой поворот оставляет инвариантной билинейную форму ~ ф".7(*)ф"'(*') Таким образом, знание особенностей резольвенты как функции своего комплексного параметра е эквивалентно знанию собственных значений и собственных функций как дискретного, так и непрерывного спектра. Метод функций Грина разобран в книгах [Соббб, МУ72, МФ58[.
Понятие резсльвенты и свойства функций непрерывного спектра описаны в [Рих82[. 7.4. Примеры 199. Найти функцию Грини и еынисать решение неоднородного ураенения ин = 7(х), если и(0) = и(1) = О, х Е [О, ! [. Решение. Решение однородного уравнения — линейная функция. Функцию Грина сразу ищем в виде, удовлетворяющем граничным усло- виям ) Ах, если х < х'! '( В(х — 1), если х > х'. определена в плоскости с разрезом вдаль участка вещественной оси, соответствующим непрерывному спектру, и полюсами, соответствующими дискретному спектру оператора Й (рис.7.2).
Вычет в полюсе х = Л„резольвенты 22,(х, х'), как следует из (7.18), равен где ф„г(х) — собственные функции: Йф„ Л фиг 3 = 1,...,и„, где и, — кратность вырождения собственного числа Л„. Скачок резольвенты на разрезе может формулы Ряс. 7.2.
Компеексная плоскость спектрахьиого параметра л с полюсами в точках лискретиого спектра и вырезом, соответствующим непрерывному спектру Гу! 7А, Примеры Здесь О < х < 1, 0 < х' < 1. Условия непрерывности функции и единичного скачка производной дают систему двух уравнений для коэффициентов А, В Ах — В(х — 1) = О,  — А = 1. Ответ удобно выразить через переменные х>, х<. О(х х ) = х< (х> — 1).
т 200. Докаэать, что функцня 7)гика уравнения С,в(г) = у(е) с онератором ,12 б, = — + йз(г) дгз и граничными условиями в(0) = и(!) = 0 представимо в виде (,) х1(<)хз(>) ) х() х(") ( ) %(г') ' ~ д',(г) !ггз(т) 1 ' если нулевые моды отсутствуют. Здесь функции 7гг(т) — линейно независи- мые решения однородного уравнения С,кг(г) = О, г = 1, 2, К~(0) = дз(1) = О. Ртпеиие. Поскольку 71~ удовлетворяет левому граничному условию, а 7!з — правому, можно сразу искать функцию Грина в виде 6( г) ! Ад!(е) если г' < г ! ) ВХз(т), если г > т' Граничные условия выполнены автоматически, а требования непрерывности при е = г' дают систему уравнений на коэффициенты А, В А ~~(г ) — В~!(г') = О, Вхз(г ) - Ад~(г') = 1.
Отсутствие нулевой моды означает, что 71~ И' !!т. Определитель системы совпааает с вронскианом (7.20) фунааментаяьной системы решений в точке г = г', а поэтому отличен от нуля. В данном случае вронскиан !(г(г') не зависит от г'. Если граничные условия не разделяются на пранас и левое, то формула (7.20) уже дает не функцию Грина О(г, г'), а только фундаментальное решение й(г, г'). Фундаментальное решение можно превратить в функцию Грина, прибавив линейную комбинацию решений однородного уравнения, а граничные условия позволят определить коэффициенты.
Приведем формулу лля функции Грина, когла нулевые моды отсутствуют. Пусть вместо нулевых условий на функцию и(г) в задаче заданы олнородные граничные условия обшего вила В~и = О, Взи = О, где 6, з — операторы граничных условий, прелставляюшие собой линейные комбинации значений функции н первой производной на левой и правой границах. Функция Грина строится по фундаментальному решению Гуг Глава 7. Метод функций Грина с помошыо формулы д(т,т') х (т) хз(т) 1 В!Х! В!Ху Ь=~ В = В,д В,х, В,х, В7Х! В7Х7 Вгд ВХ ВХ1 б(т,т) =— г(т, т') й Действительно, формула лает сумму фунламентального решения д(т, т') и линейной комбинации фушсций Х!у(т), не имеющих особенностей при т = !".
Прн действии операторов В! или Вз на определитель и получается определитель с парой совпадаюших строк, поэтому В!лв = О. Значит б(т, т') удовлетворяет уравнению и краевым условиям'1. 2()2. Прн каких услаеинк разреиеима ноаднародная задпча ив = у(х), и'(0) = а, и'(1) = Ь? Выписать решение. Решение. Умномим уравнение на нулевую моду во(х) гд 1 и проинтегрируем от 0 до 1. Получаем условие разрешимости ! 6 — а — „~ у(х) дх = О, о (7.22) '! Квк обобюитыиниую оюрмуиу нк урввнеиие и-го порядка н на оперягор с нувевммн новями укямио в справочнике (Квм761.
2111. Найти обобщенную функцвю Грина однородной краевой задачи 2 = — 7, и'(0) = н'(1) = О. Решение. Нулевая мода в данном случае — постоянное решение, соли его нормировать, то мо(х) = 1. Поэтому функция Грина удовлетво- ряет уравнению б"(х, х') = б(х — х ) — 1. (721) ! Решение уравнения без 6-функции есть — —, поэтому ишем б в виде ) Ах+В, если х <х', 2 ( Сх+Р, если х >х.
Граничные условии позволяют найти два коэффициента А = О, С = 1. Сшивка при х = х' дает только одно условие В = х'+ Р. Недостаюшее условие возникает из требования ортогональности нулевой моде ! ! я' ! =1/' ~ / дх б(х, х ) = - - ху дх + 1 В дх + 1 (х + Р) дх = О, 2з о о о я' н! ! *о ! откуда найдем В = х' — -à — 7, Р = --à — 7, а 1 х>+ х< з 2 б(х,х) = --— + хя 3 2 17З 7.4. Примеры т.е. условие ортогональности нулевой моде сопряженной однородной задачи.
Наглю»но можно понять алгебраический смысл получившегося условия, если вместо дифференциального рассмотреть разностное уравнение, как бы подготовив дискретную молель для численного решения. Для этого приблизим первую производную разностной схемой и'(х) ш (-"(*-+с!-)), а вторую — схемой '(в(х — И) — 2в(х) + п(х + 6)) 1 в (х) ю Ь» Ь = —. Р7 Тогда расширенная матрица системы (»'» + 1) х (М + 2) примет вид 1 1 0 0 0 ... 0 0 0 1-2 1 0 О... 0 0 0 0 1-2 1 О... 0 0 0 0 0 1-2 1... 0 0 0 У(/4)Ь» 7'(26)Ь» У(ЗЬ)Л» 0 0 0 0 О...
1-2 1 0 0 0 0 О... 0 1-1 7(1 — Ь)Ь» -ЬУ» Первая и последняя строки соответствуют граничным условиям, а остальные отвечают дифференциальному уравнению. Вертикальная черта отделяет матрицу системы от столбца правых частей. Как нетрудно заметить, сумма всех строк матрицы системы равна нулю, а значит, обрашается в нуль определитель, и нуль является собственным значением. Собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, есп дискретный аналог нулевой моды.
Для разрешимости необходимо, чтобы сумма элементов последнего столбца тоже обращалась в нуль и-! Ь(а — 6)+Ь",> У(ЬЛ) =О. ь=~ Тогда ранг расширенной матрицы системы К совпадет с рангом матрицы системы. Отсюда при 1т ос и получается условие (7.22). Если бы были наложены условия не на производную, а на функцию в(0) = а, в(1) = Ь, то в первой строке пропала бы вторая, а в послелней строке — предпоследняя единица.
Тогда матрица системы бьша бы невырожденной, нулевые моды бы исчезли, а краевая зааача стала бы разрешимой при произвольных а, 6, у(х). Чтобы выписать решение неолнородной задачи, нужно найти какую-нибудь простую функцию, удовлетворяюшую граничным условиям У'(0) = а, ЬГ'(1) = Ь. Выберем, например, У(х) = ~М 1-' —. Будем искать решение в виде в(х) = в(х) + !Г(х). Тогла функция е(х) удовлетворяет уравнению е" = у(х) + а — Ь и нулевым граничным условиям на производную е'(0) = е'(1) = О. Запвча сводится к прелыдушей, а решение )74 Глава 7. Метод функций Грина запишется как ! (6 — а)хз в(х) = ~С(х,х')~(х')дх'+ах+ +С, 2 ь где произвольная константа С вЂ” коэффициент при нулевой моде. Мы не написали а — 6 под знаком интеграла, воспользовавшись условием ортогональностн модифицированной функции Грина и нулевой моды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
