1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 24
Текст из файла (страница 24)
7.1. Решение залачи (7.1) выражается интегра- Рис. 7д. Область яам Дюаиеяя опреаеяения краевой зааачи и(х) = ~ С(х, х ) Г(х ) Юх . о Из разложений прямого и обратного оператора по проекторам на надпространства собственных функций )и) Е = ~ Л„ (и) (и(, Е = ~ — 1п) (и/, Л„ зг О (7.3) и н вилно, что функция Грина — это интегральное ядро обратного оператора С(х, х') = (х)С '1х'). Отсюда же выводится уравнение (7.2). Функция Грина сушествует и елинственна, если спектральная задача (7.4» ь" )и) = Л„(п», 6 (и) ),вь = О не имеет нулевого собственного значения. Из разложенив (73) также следует, что функция Грина самосопряженного оператора (С = ь1, см.
главу 1) подчиняетсв принципу взаимности С(х,х) = С (х,х). 163 7.1. Функции Грана Чтобы найти функцию Грина дифференциального уравнения, следует придерживаться следующих правил. Пусть б — обыкновенный дифференциальный оператор 7!Г-го поряшга. Проинтегрируем (7.2) по бесконечно малой окрестности точки х' и найдем скачок (Лà — 1)-й производной от С в точке х = х'. Остается выполнить три шага: 1.
Решить однородное уравнение. 2. Записать решение в областях* < х' и * > х' в мше двух различных линеяных комбинаций решения однородного уравнения, содержащих 2ЛГ неизвестных коэффициентов. 3. Найти зти коэффициситм, используя 7У краевых условий, Дà — ! условие непрерывности производимх порядков О, 1,..., Дг — 2 и одно условие иа скачок производной порядка ЛГ- ! при х = х'.
Функция Грина предсшвеяется, вообще говоря, разными формулами при х < х' и х > *'. Если функция Грина симметрична, т. е. С(х, х') = С(х',х), эти формулы отличаются только тем, что в них меняются местами х и х'. Для сокращения записи вместо х, х' будет использоваться обозначение х< — — пип(х, х'), х> —— шах(х, х'). 2. Если задача (7,4) имеет нетривиальные решения (1), г = 1,,, 7с, с Л! = О (так называемые нулевае моди), то неоднородная задача (7.1) разрешима, когда ее правая часть 7 орчогональна нулевым молам задачи Е!о=б, Д!о~ =О, (7.5) где .С! — оператор, сопряженный к бц (о, Еи) = (ь!о, и), а В! — сопряженный оператор граничных условий.
Для разрешимых неодноролных задач используется обобщенная (модифицированная) функция Грина, которая вместо (7.2) удовлетворяет уравнению СС(х, х') = б(х — х') — ) о,(х)о,'(х'), (7.б) где нулевые моды иг и о, прямой и сопряженной задачи взаимно ортого- нальны и нормированы условием оз(х)иу(х) бх = бг, г,у' = 1,..., Зс Обобшенная функция Грина определяется единственным образом, если потребовать ее ортогональности к нулевым модам однородной сопряженной задачи (7.5): о,'(х)С(х,х') дх = О, г = 1,...,7с. (7.7) 1бб Глава 7. Метод функций Грина Разложение по проекторам в подпространстве, ортогональном нулевым ! У ОЭ модам, записываетса как С ' = 2,' т- 1и) (и(, где 2 = 2 означает н к «=ьы суммирование по ненулевым молам.
Чтобы найти обобщенную функцию Грина обыкновенного дифференциального уравнения с нулевыми модами, надо сначала их нормировать. В шагах 1, 2 к решению однородного уравнения надо добавить частное решение уравнения (7.6) без б-функции. В шаге 3 для нахождения неопределенных коэффициентов не хватает й условий, поскольку каждая нулевая мода удовлетворяет одновременно двум граничным условием. Поэтому следует добавить й требований ортогональности (7.7). Решение запишется как и(х) = / С(х, х')7(х') бх'+ ~~~ с;и;(х), « г=! где с; — произвольные коэффициенты.
3. Когда вместо (7.!) надо исследовать задачу с неоднородными граничными условиями (7,8) Св = О, Ви(нев = у, тогда требуется найти функцию Грина вторит« рода С,(х,х'). Решение задачи (7.8) записывается в виде интеграла по границе Я области З: в(х) = / С,(х,х')д(х')дх', х Е 2».
Решение линейной задачи с отличной от нуля правой частью и ненулевыми граничными условиями Си=У, Вя(велюр мо но искать в виде суммы решений двух зааач (7.1) и (7.8). Получается сумма объемного интеграла по 77 с функцией Г и поверхностного по Я с функцией р. Функции Грина первого и второго рода связаны. Их связь для конкретного уравнения находится с помощью соответствующей Оуормули Грина, лля вывода которой надо рассмотреть разность скалярных произведений (и, Е«) — (Еги, «) и свести ее к поверхностному интегралу.
4. Назовем фундаментальным решением любое решение уравнения (7.2), не обязательно удовлетворяющее граничным условиям. Фунламентальное решение определено с точностью до любого решения однородного уравнения. Вид особенности фундаментального решения уравнения Пуассона Ьу(г, г') = б(я — г') 1б5 72. гдумкции Грима можно найти интегрированием по г вблизи точки г = г'. Для размерности и = 1,2,3 получится Функцию Грина первого рода С(х, х') можно построить по фунламентальному решению р(х, х'), если добавить линейную комбинацию решений однородного уравнения, не имеющих особенностей прн т = г', и потребовать выполнения граничных условий. Реально найти такую комбинацию удается, когда область 27 симметрична.
В трехмерном случае иногда помогает метод изображений, а в двумерном также метод конформных преобразований. Применение метода изображений основано на преобразовании инверсии г' — —,, уравнения Лапласа (см. залачу 203) гг относительно сферы радиуса Л, если 77 — шар рааиуса Л, илн отражения относительно плоскости, если 77 — полупространство. В двумерном случае уравнение Лапласа ковариантно относительно конформных преобразований. Конформные преобразования полезны, если с их помощью удается отобразить область на более простую, для которой функцию Грина легче построить.
Для эллимгмичесмага оператора Гельмпхчьиа Ю = г'.г — йз илн оператора Лапласа С = г.'г разность интегралов по объему выражается через интеграл по поверхности следующей формулой Грина: (е, ьп) — (С е,в) = — / ~е' — — — я~ бд, (7.9) /~ д д где ш обозначает производную по внутренней нормали. Формула вы- е водится из тождества е гз и — в Ь э = 01ч(е%Гп — итГе) с помощью преобразования объемного интеграла в поверхностный.
Возьмем в качестве е(х) функцию С(х,х'), которая подчиняется уравнению (7.2), а в качестве в(х) — решение задачи (7.8) и воспользуемся формулой Грина (7.9). Теперь поменяем обозначения х х', применим принцип взаимности и получим в(х) = / (С(х, х ) , — , и(х')) Их'. (7.!О» , ди(х') дС(х, *') 1бб Глава 7. Метод фуикяий Грина Отсюда находится функция Грина второго рода для разных граничных условий. Для задачи Дириоге в(х)(, з — — р(х) (В = 1) функцию Грина первого рода надо выбрать удовлетворяющей граничному условию С(х, х')(иез = О. Функция Грина второго рода (потенциал двойного саая) получится из формулы С,(х, х ) = — —, С(х, х ) д ди' Для задачи Неймаиа -~~* ~ = р(х) (В = Д) функцию Грина первого рода наао выбрать удовлетворяющей граничному условию ОС(х, х') ~ )чвз Функция Грина второго рода (потенпиал прастага слоя) получится из формулы С,(х, х) = С(х,х)1, ез.
$. Для опереттам параболического типа, например, оператора теплопроводности В = ы — Ел можно ввести две функции Грина. В безграничной по координатам области функция Грина первого рода убывает на бесконечности и удовлетворяет уравнению СС(г, М т ', 1') = б(г — т ')д(1 — т'), С(з,1;г ',С') О при 1г — г'(- оо. Функция С позволяет решать задачу Си = 7(г,1), в(з,г) О при 1 -со.
Решение задачи Коши с начальными условиями Ви = О, в(г, О) = ф(г) выражается через функцию Грина второго рода С„которая стремится к д-функции в начальный момент ЕС,(г,г',1) = О, С,(г,т',1) 6(г — г') при 1 +О. б. Для оператора В гипердалическага типа, например„б = П, сушествует несколько разных функций Грина. Нами будет использоваться только запаздывающая фупкиия Грина, опрелеляемая из решения волнового уравнения П С = 6(г — т )б(1 — 1), П гв — — — гз. 1 Оз (7, 11) с' д1з Запаздывающая функция обращается в нуль при 1 ( Р и убывает на бесконечности вместе со своими первыми произволными С(г,йг',Г) =О, 1с Г, С(г,йэ',1) О, (г — г'/ со.
167 7.2. Непрерывный спектр Если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны, то функцию Грина можно найти с помошью преобразования Фурье. Прн выполнении обратного преобразования может возникнуть трудносгь, если полюс функции Грина в нг,й-представлении попадает на контур интегрирования. Правила обхода полюсов нахолятся из физических соображений.
Для задачи Коши с начальными условиями вместо преобразования Фурье можно использовать преобразование Лапласа. 7.2. Непрерывный спектр Если А(х, х') — ядро интегрального оператора (АР)(х) = ( А(х, х')тз(х') ах', а то его можно разложить по собственным функциям А(х, х') = (х )А(х') = ~~~ Л„ф„(х)т1н(х'), р„(х) = (х)в), ф„'(х') = (в)х*) . Такое представление оператора называется сиектраньным разнахгениен. (7.12) Мы будем рассматривать в основном дифференциальные операторы, действуюшие в Ьз(П) — в пространстве квадратично-интегрируемых функций аргумента х б П. Величина А называется собственным значением оператора А, если существует решение 11л(х) уравнения Айл(х) = Лтвл(х) принадлежащее Ьз(й).
Зта решение называется собственной функцией. Принято говорить, что л — собственные значения дискретного спектра и что все такие л образуют лискретный спектр ар. Для самосопряженного оператора А = Аг, действуюшего в л.з(П), где П = 27 — какая-нибудь конечная область пространства, имеет место утверждение: собственные значения А образуют дискретный набор ар — — (Л„), в = О, 1,... и соответствующие собственные функции, отвечаюшие различным собственнмм значениям, артогональны. Для большинства дифференциальных операторов, применяемых в физике (напрнмер, операторов Штурма-Лиувилля и Лапласа), множество собственных функций образует полный набор в л.з(й). Из ннх можно построить ортонормированный базис„выбирая и нормнруя подходящие линейные комбинации в вырожденных случаях.
При этом оператор А можно представть в каноническом вгще (7.3) 1б8 Глава 7. Ьгеесд функций Грина АУЗ (х) = Л(Ь„( ), не принадлежашие з.'(й), но такие, что любая ил суперпозиция вида Ф(х) = / а(Л)рз(х) вЛ, в(Л) Е й (а, Ь) в уже лежит в з,'(П). Говоря на языке квантовой механики, из волновых фун к пи й иепрермвн ого спектра можно построить нормируемые волновые пакеты, скаль угодно близкие какой-нибудь данной зй»(х) в сколь угодно большой области пространства.
Например, функция е '"'= (Л-Л.) +. с малым, но конечным е имеет кон«чиую норму, и нормируемый пакет чз(х) в области с линейным размером; будет мало ( е) отличаться от функции 1Ь (х). Собственные функции непрерывного спектра самосопряженного оператора А взаимно ортогональны: (Фырк) = Уйх Фз(х)ЗЬи(х) =О, Л ФЛ', и и вместе с функциями дискретного спектра образуют полный набор: любая у б Ь'(Й) мо:кет быть представлена в виде линейной суперпозипии /(х) = ~ а»р»(х) + / аЛ а(Л)»рз(х). (7.13) В и Для функций непрерывного спектра принято выбирать нормировку «на 6-функпию» (7.14) ох Рз(х)ЗЬ~„(х) = 6(Л вЂ” Ле) Умножим скалярно обе части (7.13) на рм(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
