1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если бы мы выбрали другую функцию У(х), получилось бы решение ! (*) = / а(х,*') ~У(*') — Пя(*')) д '+ П( )+ С, (7.23) ь которое совпадает с предыдушим с точностью до нулевой моды. Последнее мо:кно показать интегрированием по частям. Проверим, что (7.23) является решением задачи.
Для этого продифференцируем (7.23) дважды и воспользуемся уравнением на функцию Грина (7.21), получится а (х) = у(х) — / ~Г(х) — У (х)) дх. ь Из условия разрешимости (7.22) следует, что интеграл в правой части этого выражения равен нулю. 203. Показать, что если ф(е) — решение трехмерного уравнения Лапласа, то и ф(г) = —, — также решение. мер') Решение. В сферических координатах ьн )- ~-',— ',, ° ~,"~н ~- -'[~, + ь )ь(;",).
Сделаем замену 4 = -,'г, так что ( = г, 40 30 — =4 — +2с —, Вгз д(з Я~ ' ф( „" ) = ф(, В, ф) = ф(4, В, ф). Тогда з дз 2д Ьо г3„ф(е) = а ~ — + — — + — ~ ф(4, В, р) = 4 Л, ф(4) = О. ~д~з 4 В( (з ~ 204, Найти функцию Грина двумерного уравнения Пуассона сзи = у(е) в круге радиуса П, в)„л = О. Получить решение задачи кирилле для уравнения Лаазаса г.'ьи = О в круге с граничным условием и), л = А(ф), где уз — »гол. Выразить решение в виде контурного интеграла в плоскости колзнлексного неременного. 175 7.4. Примеры Решение. Функцию первого рола найдем методом изображений, поместив заряженную «нить противоположного знака в точке инверсии т', = -, и добавив подходяшую константу.
Тогда тг 2, ф+ С(т 5«;т'5о') = 4— 1и тгтггГВг — 2т" ф+ Вг' так что г»), д = О, независимо от т', 5г'. Функция второго рода находится дифференцированием > дб) ! Вг — тг От')т гг 2«гВ Вг — 2Втссаф+ т' Решение задачи Дирихле лается формулой Пуассона г» 1 Г Вг тг 2я / Вг+ тг — 2Вт сов(у» — тт) о Задача «Найти аналитическую в круге функцию, вешестяенная часть которой принимает на границе круга значение Г(х)», решается с помощью формулы Шварца (') = — у — — у(а+*, 1 Гбс г,+л 2я1 У (7.25) вешественная часть которой сводится к (7.24) с помощью замены а = тегт, г, = Ве'т .
тогда (ь — л(г = Вг + тг — 2Вт соз ф дает знаменатель функции 1)зина, а 1~Щ. = +Г;2 — саму функцию Грина 6,. Гармоническая функция и(х) есть вешественная часть аналитической функции м(х). 205. 7)губа радиуса В и бесконечной длины номещена в груню на глубину Ь и ноддернсиваетса нри лостолнной темнературе То. Найти раснределение нммиератлуры, если на новерхносми земли Т = О. Решение. Распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа Г5Т = О. Поскольку Т У не зависит от координаты вдоль трубы, область, в которой предстоит решить уравнение Лапласа,— В Д двумерная (рис.
7.3). Воспользуемся методом конформных преобразований. Прн помаши дробнолннейной функции Рве. 1.3. Двумерная с и+ (7 20) область к заааче 205 л+с можно отобразить в кольцо рассматриваемую область. Прямая с = гу перейлет а единичную окружность (ь(~ = 1, если с — лействнтельное число. Поверхность трубы также перейдет в окружность (Ь)г = аг радиуса 176 Глава 7. Метод функций Грина а = )Я < 1, если с = ь/Л~ — В~. Это можно проверитьь подставив с = й + 22е'г в дробно-линейное преобразование (7.26).
Двумерное уравнение Лапласа ковариантно относительно конформных преобразований, поэтому в новых переменных температура также удовлетворяет уравнению Лапласа. Условия на границах кольца останутся теми же т(!С1, = 0, т! „= 2т Поскольку граничные условия не зависят от угла !с в полярных координатах, задача может быть сведена к одномерной. Двумерное уравнение Лапласа имеет два решения, не зависяших от угла: !п !ь'! и 1. Их комбинация, удовлстворяюшая граничным условиям, имеет аид тК) = т —.
!п !ь! !па Возврашаясь к исходным переменным Ь = Яф-'„находим решение задачи: т !и( — „-' ~ (ьщ! чу~ /н-с !и— а 266. Найти функцию Грина треюнерного уравнения Гельмгольца с«а + йьв = 7(г), удовлетворяющую условию излучения Заммерфельда (с«одящаяся волна„при- с'"ь' «одящая из бесконечности, отсутствует) и), Решеяие. Коэффициенты оператора не зависят от г, поэтому урав- нение (с."ь+ 1сь)б(г,г ') = б(г — г') можно свести к алгебраическому с помошью преобразования Фурье по переменной г — г' (йь! — й )бь = 1. Функция Грина б(г, г') зависит только от разности г — г'.
поэтому равна б(г — г', О) и находится с помощью обратного преобразования: г дй е'тм б(г',О) = / — з / (2„)з йз га Интегрирование улобно проделать в сферической системе координат, выбрав ось с вдоль вектора г. Интегрирование по уг дает 2я, после интегрирования по В остается однократный интеграл Г 1 ~сндй б(г О) = —— 1г (2«)! / йь~ — йг !77 7.4. Гуримерм Полюсы подынтегральной функции лежат на контуре интегрирования. паато- й" О му надо выбрать правило их обхода, исходя из граничных условий.
Чтобы получить функцию, удовлетворяюшую условию излучения, надо оставить расходя- йа шуюся волну и отбросить сходяшуюся. -)с /с' Поскольку г — положительная величина, замкнуть контур следует сверху. Что- Рис.7.4. Контур интегрирования бы интеграл сводится к вычету в точке лнЯ УРавнениЯ Гельмгольца (с = йв, выбираем контур, указанный на рис. 7.4. Окончательно (после замены е т — гг) имеем еы»1»-»7 Сбй(т,г') =— 4я(г" — е Ч Такая функция Грина в виде расходяшейся сферической волны используется, например, в задачах дифракции и теории рассеяния (см.
задачу 237). 2()7. Найти функции Грина трехмерного уравнения тенлонроводности тц = гзв и нестационарного свободного уравнения Шредингера твг = — —. о» Решение. Поскольку коэффициенты уравнений постоянны, функция Грина может зависеть только от разностей времен и координат. Тогла уравнения для функций Грина можно записать в внае 1 С, — Л С = б(т)б(Г), »С, + — ХХ С = 6(з )б(Ю), а в окончательном ответе вернуть исходные аргументы, т.е. выполнить замену т — г — г', 1 -+ Ф вЂ” Г, Преобразование Фурье ,/ (2я)г привалит уравнения к виду йг '» (-ты+4')Сь» =1, (. — — УС Обратное преобразование Фурье лля уравнения теплопроводности можно выполнить, интегрируя в плоскости комплексного переменного»г.
При 7 < О контур следует замкнуть в верхней полуплоскости, чтобы исчезал интеграл по бесконечно удаленной полуокружности. Единственный полюс полынтегральной функции расположен вне области, которую охватывает контур, позтому прн г < О функция Грина обрашается в нуль. )7О Глава 7. лгемод функций Грина При г > О контур замыкаем в нижней полуплоскости (рис.7.5). Интеграл выражается через вычет мн е'' е-» н Сь(г)= —, =-з Кез =е ь'. -з +дз =-.- * — ' +(гз Преобразование по й сводится к вычислению гауссового интеграла и дает а(2) ( (г — т ')зЧ С(, 1; г', О) = — е р ~- (4т))згз ~ 47 В случае уравнения Шредингера полюс попадает на вещественную ось, поэтому для сходимости интеграла следует сместить контур интегрирования с вешественной осн (выбрать правило обхода полюса). Дополнительным соображением, позволяюшим выбрать нз двух возможностей, может служить принцип причинности — условие обращения функции Грина в нуль прн при г с О.
Тогда при г > О контур выбирается согласно рис. 7.5, а интеграл равен е ""' -го~1/з Са(1) = -з Кез з —— -ге ' н=й~/2 ы — и~/2 После обратного преобразования по й получится запаздывюошая функция Грина С(гф" О)=( .)зшехр( 24 р(т) Г з(г' — г ')з 1 (2я; з)за которая опнсымнт расплывание волнового пакета, локализованного в начальный момент. Запаздываюшая функция Грина позволяет решить задачу Коши с начальными условиями.
Для решения задачи Коши можно вместо преобразования Фурье выполнить преобразование Лапласа по времени ( ')= йз 'т гР+ — з) С ь = ), С„ь = / Сь(3)е и 4К 2у о Рис.7.5. Контуры интегрирования для уравнений теплопроводности (слева) и Шредингера (справа) 179 7.4. Примеры Обратное преобразование Лапласа определяется контурным интегралом ! Г Сь(!) = —. уф С,ае" йр. 2яг / При ! > 0 правило обхода полюса определено однозначно: все полюсы в плоскости комплексного переменного р надо обходить справа. В результате также получается запаздывающая функция Грина (7.27).
В некоторых физических задачах требуется функция, обращающаяся в нуль при ! > О. Лля ее получения полюс нала обходить снизу, и получается так называемая онерезкаютан функция Грина С< ! ог й(-!). Решение. Решение задачи Коши Сг = С+хС, + — Сгю С(х,х',О) = б(х — х') (7.28) 2 лля функции Грина второго рода С ищем в виде гауссовой функции С = С(!) ехр ~- ( — а(!)) 1 (7.29) Уравнение Фоккера — Планка сохраняет нормировку (число частиц) С(х,х',!)бх т 1, откуда находится С(!) = (2кР(!)) . Подставляя (7.29) в (7,28) и приравнивая коэффициенты при х, хз, получим обыкновенные дифференциальные уравнения дея среднего а(!) н дисперсии Р(!) а= — а, Р= ! — 2Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
