1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Г92 Глава 7. Метод функций Гумно 233. Найти функцию Грина урааненив Пуассона внутри полусферы х +уз+к~<Аз, л>0 с нулевым граничным условием С(х +уз+ аз=Ну) =С(8=0)=0. 234. Показать, что двумерное уравнение Лапласа ковариантно относительно преобразования инверсии г — С = -„'У, 235. Используя Функцию Грина нз задачи 204, решить задачу Дирихле и)8 — — ил2уз в круге г < 22. 236. Найти решение задачи Неймана лля уравнения Пуассона в полупространстве х > 0:  — и(х,у,к) =у(х,у). 237. С помощью функции Грина трехмерного уравнения Шредингера -(сХ+й )С(г,г )=б(р-р'), 1пп С(р,т')=О 2 аз вывести интегральное уравнение для волновой Функции фНУ(р) с асимптотическим поведением на бесконечности: плоская плюс расходящаяся волна (основное уравнение теории рассеяния).
Потенциал предполагается убывающим(г'(р) 0 при т со. 230. Доказать, что Функция Грина уравнения теплопроводности из — — и„позволяет получить оператор эволюции (функцию Грина второго рода) по формуле С,(х — х',8) = С(х, П х',О). 239. Найти функцию Грина С,(х -х',8) уравнения теплопроводностн с помощью преобразования Фурье: па времени, по координате, по обеим переменным. 240. Начальное распределение температуры гауссово: ехр (-хз/2аз) и(х,О) = аъг2яя Как оно будет эволюционировать по времени? 24К Найти функцию Грина уравнения теплопроводности и,=ике с граничными условиями и(8,0)=0, и(б,оо)=0. 242.
Найти решение задачи Коши и(х, 0) =хз, и(0,8) = 0 дпя уравнения теплапроаодности в области х>0. 8>0. ' Преабряюкяние нниерсии — гоника окна из исков группы кон$оринык преобразоикнна (Луиз!1 асгзнчяюшиз гармоническую функиггю гкрмонггческоа. !93 7.5. Задачи 243. Построить временную функцию Грина задачи Коши к уравнению Шредингера лля одномерного гармонического осциллятора , дф — - рз ызхз, д з — =ЙФ, Й= — + —, Я=-! —. О! ' 2 2 ' дх 244.
Найти функцию Грина неоднородного двумерного волнового уравнения. 245. Найти функции Грина второго рода двумерного волнового уравнения. 246. Определить запазаывающую функцию Грина трехмерного волнового уравнения (7.11). 247. Точечный заряд движется по закону т=22(!). Пользуясь функцией Грина, найти скалярный потенциал во всем пространстве (потенциал Лиенара — Викерта). 248. Показать, что решение неоднородного волнового уравнения ии — и„=7(х,!) может быть получено из решения задачи Коши для вспомогательной функции е(х, й т): де — (х,1;т) =7(х,т), е(х,т;т)=О, ев-е„=О, где О < т < ! — параметр, с помощью формулы и(х, !) = ~ е(х, С; т) Ат.
в 249. Найти непрерывный спектр следуюших операторов, определенных на всей вешественной оси: (а) А=х; (б) А=- —; Ахз ' Аз (в) А= — — +х . Ахз 2М. Найти непрерывный спектр бесконечной матрицы, у которой элементы наа и под главной диагональю равны единице, а остальные элементы — нулю: О 1 О О 1 О 1 О О 1 О 1 О О 1 О Глава 7. Метод фунаннй фина 7.6. Ответы е -!>-х! если х<х'; е-1 219. С(х,х') = е 1 — Р- '1 если х>К е — 1 220.
(а) С(х,х')= г > 1 (х) = — 1(*'+ !)У(х) дх'+ — ( (х'- !)У(х') дх', г о з о 1 (б) 1>(хх)=-ппп(хх)=-х<, п(х)=- ) х>уЩдх'-х) у(х~)дх'. 221. 6(х,х') = -х<(х> — 1)(х -х ). ! г 222. (а) С(х,а>) =д(х-х')е 11* *1. й(х -*') (б) б(х,а>)=-Е(х'-х)51П 1 222> С(х,х') = — —. х< Зх> 51ПЙХ<51ПЙ(Х> — 1) 224. (5) В(х,х')=, Й1ехп,п=0,1,.... Й51ПЙ спайх<ссай(х> — 1) (б) С(х,х') =— ЙФхп,п=0,1,.... й51пй 1 225. (а) С(х,х)=--ехр(-йх>)еййх<, Й~0. й ! ! (б) С(ха>)т — — ехр( — й(х> — х<))=- — елр(-Й(х-х'!), гй гй 226. ф(х) = ент — — 5!и й(х - х) у(х ) дх'. й,/ х' 227. С(х,х')= 1,гп1/ — х<(х>-х> ), п5>0; х'1пх>, 1п=б.
195 2б. Отееты 1 1 ! 1 228. (5) С(х,х')=--(х>-х<) +-(х> — х<) — —. 2 2 !2 Х> СОЬХХ> 5!П ех< + Х< СОЬХХ< 51П ХХ> (б) С(х, х')— 51ПХХ>51ПХХ< 91ПХХ<СОЬЕХ> 251 11 Х> 5!ПХХ> СО5ХХ< + Х< 51ПХХ<СОЬХХ> (в) С(х,х ) —— СОЬЕХ>СОЬХХ< 5!ПХХ<СОЬХХ< 251 + х (г) С(х,х')=ае*ь '12ае — (х+х)~ -асЬ(х — х')- — е 1* '1, 2 1 а= —. е2 1' 229. (5) а(х)=а(1 — х)+Ьх+ / С(х,х')[У(х')+х (а(1-х')+Ьх')~ 4х'+ о +Со!пхх, гг(а+Ь) = / 5!пхх5 (х)11х.
о 1 (б) и(х) =Ь(1+х)-ах+ / С(х,х ) ~У(х)+ ах' — Ь(1+х )~ г!х'+Се*, о 1 а — Ье= / е*2(х)11х. о 230. С(х, у, ь; х', у', ь ) = Р(5') - Ь'(-5'); ! Р(Х,У,Ь) —— 45 231. С(х, у, 5; х', у', 5') = е(х', у') — Р(-х', у') — е (х', -у') + Р( — х', -у ); е(х,у ) —— 45 232. С(х,у,е;х',у',5)=Р(х,у,х;х',у',ь') — Р(х,у,х;х',у',— 5'); СХР ( (Х-Х')1+(у-у) +(5 — 5')1) е (х, у, х; х, у', ь')— 45 (х — х')1+(у — у')'+(5 — 5')1 Глава 7. Мемед функций Гримо Дэ 233. С(г,р,ухт',Гу,уэ')=Г(г,т',ф) — Х(т,г',ф) — — уг(т,—,ф) + —." (''-.' ) 1 Р(т,г,ф) =— «~~+ и-Г ' З сов ф = соьрсоьВ'+ ь1пВь1п Вэ соь(р - уэ ), соьф=-соьйсоьрэ+ь1прь1пВ'соь(р — уэ). 234.
Лг =(ь,гэр 235. в(т,тэ)=гэь1п —. 21з з12 ' 1 /' /' В(х', р') йхз Вр' 2х// 237. фз+1(г) =ехр(з1ьт) — — 1 ГГ(г')ф1+1(з') йг'. 1 Г ехр(Щт -т'~) 2и,/ эт — гз( 230. Указание: Начальное условие в(х,О) = ф(х) можно перенести в правую часть уравнения, получится яз = в«, + ф(х)6(1). В(1) Г (х- )з1 239. зз(х,1;х',0)= — ехр~- 1 — В(х-х'), 1- +О. э/4я1 ~ 41 / хз 240. — — ехр ~- эгйх хат+ 21 ~ 2(аз+ 21) / ' . Дисперсия при расплывании тауссовото пакета растет линейно со временем аэ(1) = аэ+ 21. В(1) г Эхей Нзь7'э 241. С(х,з;х',0) = — [е « — е э/4ят 242 зз(х 1) хэ+ 20хэз +60хтэ 243.
С(х,1;х',0) = — т/сзйья ехр з' В(1) 1, м(х сов«я — х') 1 /2х1 ми 2ма 244. 6(г,т;т',1') =— с В(ст — р) 2зт эЯтз- рэ 245. бз,1(з',з'',1) = — —, С~~э (з',з ',1) =— ' =2х й,/Ж=-,~ " =2х,у-,з— рРешение Лается формулой Пуассона д Г р(т')йэт' 1 Г ф(г')Взт' в(з,т) — — — + 2 «э '2Р-( ° — «эз 2 э ак-К - 'Эз и о 7.6. Ответам 246. С(т,(;т',1')= — б(р-ст)„р=(т — т'1, т=(-1'.
41гр с 1 1 247. ф(т,1) =— т' = Щг), 1' =1 — — !т — т'(. 4х (т — т'( — 1/сЛ(1')(т — г') с 248. Ухазаиие: По формуле Даламбера (7Д5) найдем решение вспомогательной задачи ве(г — т) е(х,(; т) = — 7 (х, т) Йх . 2,/ Дифференцируя по 1 и х функцию в(х,(), покажите, что она удовлетворяет неоднородному волновому уравнению. 249.
(а) Непрерывный спектр совпалает со всей вешественной осью. (б) Непрерывный спектр Л > О. (в) Непрерывною спектра нет. Собственные функции дискретного спектра — полиномы Эрмита — образуют полный набор. 250. Непрерывный спектр на отрезке — 2<Л<2.
Глава 8 Интегральные уравнения 8.1. 'уравнения Фредголъма Уравнения, содержащие неизвестную функцию пол знаком интеграла, называются интегральными. Как было показано в предыдущей главе, линейное дифференциальное уравнение 2.ф(х) = Ях)г)(х) + д(х) Здесь а(х,х'» — функция Грина оператора Ь, у(х) = / а(х,х')8(х') дх'+ ! (х), !! г(х) — вклад от неолнородных граничных условий. Уравнением Фредгольио иервого родо называется уравнение 0 = 3( К(х, х ) р(х ) дх'+ у (х). (8.2) Уравнение вила гд(х) = Л ~ К(х, х) зд(х') дх'+ у(х) (8.3) называется уравнением Фредгольва вюорого рода. В этом уравнении Л— спектральный параметр.
Если ядро К(х,х') интегрального оператора в (8.3), (8.2) удовлетворяет условию ) К(х,х') при х' < х; ) О при х'>х, с дифференциальным оператором Ь, действующим на определенном классе функций р(х), х Е а, и линейнмми !раничными условиями может быть сведено к интегральному уравнению уг(х) = ~С(х,х')Щх)Ях ) дх'+1(х). (8. Ц 199 8,2. Вмролгденные ядра (1 - ЛКНФ) =! У). (8.6) Здесь К вЂ” интегральный оператор, имеющий ядра К(х,х').
Уравнение (8.6) разрешимо, если существует обратный оператор к А=! — ЛК, называемый резольвентой. В этом случае решение (8.6) записывается в виде !т>> = к!У> к = (! — Лк) (8.7) Явное выражение лла резольвенты может быть представлено в виде ряда по Л (разложение Неймана, оно же — метод последовательных прибли;кений): Л=1+ЛК+ЛзКт+ =~ ~'Л"К", (8.8) п=е Здесь К" также интегральный оператор, его ядро называют повторным. Ядро задается формулой: К (х х )= / дх! / дхз... / дх !К(х х!)К(х! хз)... К(х ! х ). Если > ~К(х,х )(дх' ( М, то ряд гд = 2 , 'Л" К" 7 равномерно сходитса в круп ге радиуса 1Л~ < —.
В частности, это означает, что однородное уравнение (1-лк>1й>=О (8.9) имеет только тривиальное решение 1тр) =О. При этом решение (8.7) является единственным. 8.2. Вырентденные ядра В другом важном случае — выралсдвнныл ядер, когда К(,у)=~ тз.(х>р.(р), н=! (8.10) то интегральные уравнения называют уравненилии Валынерра соответственно 1-го и 2-го рода: О= / К(х,х')ф(х')дх'+,7(х), (8А) и« 3Р(х)=л / К(х,х')гр(х )дх'+7(х).
(8.5) и<н Уравнение (8.3) (а также (8.5)) может быть записано в обозначениях бра и кет: Глава 8. Интегральные уравнения решение уравнения Фредгольма (8.3) сводится к чисто алгебраической процедуре. Функции (ф„(хЦ, а также (3е„(у)) можно считать линейно независимыми (в противном случае вначале необходимо выразить все линейно зависимые функции через линейно независимые). Для нахождения решения уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром ф(х)=Л ,') Рь(х)~ф (у)гР(у)г(у+1(х) «=! о (8.1!) рассмотрим разность ~р(х)=Р(х)-2'(х). Если разложить эту разность по функциям ф„(х), н С„-Л~;Мыс,=У„, (8.12) Гдс,УГ = ) Гй(у)~(у) г(у = (фГЩ, Мя~ = ) тэ„(у)уу!(у)дум (р„)(Л).
Решение уравнений (8.12) может быть, например, найдено с помощью правила Крамера. Если бег(1 — ЛМ) ~0, то С=(!-ЛМ) 'у. Здесь С,У вЂ” векторы с компонентами С„и /„. Если оег(! — ЛМ)=0, то матрица 8= 1 — ЛМ не имеет обратную и решение уравнений (8.12) разрешимо не для всех у. Для разрешимости необходимо найти решение сопряженной зааачи для оператора Ь: (С)А=О, (8.!3) где (С! — строка, Число линейно независиммх решений (С'! этой системы равно !У вЂ” д, где д — ранг матрицы Ь. Условие разрешимости уравнения (1 — ЛМ)(С) = )У) (8.14) состоит в ортогональности правой части ко всем векторам сопряженной задачи (8.!3): (С')3) =О.
(8.15) то из (8.! 1) видно, что на коэффициенты С„получается система линейных алгебраических уравнений 20! 8лй 'терема Гильбирта — Шмидта Это условие является необходимым и достаточным. В этом случае реше- ние уравнения (8.15) определено с точностью до Лà — 9 констант А,: /С) =~ А,/С")+(1 — ЛЛГ) (Гг). (8.16) 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
