1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Методы решения обратной задачи рассеяния для операторов Шредингера обсуждаются в книгах [ЗМНПВО, Мар77, Нью89!. 8.5, Примеры 251. Решить уравнение /от хо в(х) = / в !и ~-~ в(в) йв+ —. ~ху !6 о (8.38) ! г" хз и'(х) = — — / ва(в)йв+ —, х~ 4' о ! Г 3х! а»(х) = — / ва(в) дв - в(х) + —, хо/ 4 ' о Решение. ДифФеренцируя уравнение (8.38) последовательно два раза, получим 8.5. Примеры откуда слелует дифференциальное уравнение э а + — и+и=х х с граничным условием а(0) = а'(0) =О, которое слелует из (8.38). Фунда- ментальная система решений состоит из функций Бесселя,7ь и Нейма- на Уь нулевого порядка. Для решения неоднородного уравнения построим функцию Грина, обрашаюшуюся в нуль при х=О, уе(у)ге( )ез(у- х)+ уе(у)уе(х)В(х — у) (у.(.),ч*)) = — у Г1Уь(у)да(х) Н(у — х) + Уе (у)3сь(х) ~(х — у)1, 2 где вронскиан равен И'(Хе(УЮ(УН = уеуь' — уеуь =— (8.39) яу (см.
задачу 140). Теперь можно выписать решение а(х)=~С(х,у)у Иу. е Если воспользоваться рекуррентными соотношениями дпя цилиндрических функций (П.18) и проинтегрировать по частям два раза, решение а(х) можно записать явно: а(х) = х — 4+ 4,7е(х). 252. Метод определителей Фредгольма позволяет найти резольвенту по формуле В(х,у;Л)= ', г.'ь(Л)И'О, г5(х,у;Л) сь(Л) где определитель Фредгальма Ь(Л) и минор Фредгольма Ь(х, у; Л) накодятся как суммы рядов ( 1)п гЛ(х,у;Л)тК(х,у)+~~ Л"В„(х,у), и=! 2ь(Л) ы1+~', Л"С„. '" (-1)" „ ь=! Функции В„(х, у) и коэффициенты С„в свою очередь определяются рекуррентными формулами В„(х, у) = С„К(х, у) — и ~ К(х, 1) В„(1, у) 41, Глава а. Интегральные ураннения ! С„=УВ„!(х,х)дх, и=1,2,..., о где Со=1 Во(х у)=К(х у).
Найти методам определителей Фредгольиа резальвенту ядра К(х, у) = х2у ху2 Рещение. Последоватевьно получаем Со = 1, Во(х,у) = азу — ху, С,=О, ~ х+у 1 ху! В!(х,у) =ху — — +-+ — 1, 4 5 3~' С2= !я, В!=0, а значит, обращаются в нуль все последующие коэффициенты С„и функции В„. Причиной обрывання рада является специальный вид ядра К(х,у)=г(х)у(у)-у(х)у(у) (покажите, что для таких ялер справедливо соотношение ! ! 1 ~К(х,у)К(у,а)К(я,й)дудам-К(х,1) / ~К(з,у)К(у,я)дуда, о о о о с помощью которого можно выразить все повторные ядра через первое и второе). 'у-хуз-Л Ц+Я вЂ” *Я В(а,у;Л)— '+2йб Л 253.
Решить спектральную задачу для уравнений с ненормируемим ядром: Ф(х)=ь~-Л~ огп(ху)ф(у)ду. о Рещение. Обозначим синус-преобразование Фурье функции ф(у): ф(х) ю ~/ — 1 мп(ху)ф(у) ду. о Применяя синус-преобразование к обеим частям исходного уравнения, получаем Ф(х) = Лф(х), откуда ф(х) =ЛФ(х) = Л ф(х). 211 828 Примеры Значит у оператора только два собственных значения Л = х1, а собствен- ные функции имеют внд ф(х) = у(х) + ЛП(х), где у(х) — произвольная функция, для которой существует образ 6'(х) при синус-преобразовании Фурье, например, Г2 х ф(х)=ехр( — ах)х)/ — —, 0<к<ос, а>0.
в Ч" м 254. Найти собственные функции, убывающие на бесконечности быстрее любой стелени, и собственные значения интегрального уравнена» Л / К(х,у)ф(у)бу=ф(х) с ядром Килсона — Стореро ! 1 (х — ау)г) К(х,у) = ехр ~ — 1, О < а <!. (840) Решение. Применяя преобразование Фурье к обеим частям исходного уравнения, получаем функциональное уравнение на фурье-образ Ф(й) функции ф(х) г й Ф(й) = ЛФ(йа) ехр (-(1 — а ) — ) . 4) ьг Функция у(й) =Ф(й)ехр(4 ) растягивается в Л раз при растяжении ее аргумента в а раз: у(й) = Лу(йа), откуда у(й) = й" — степенная функция, а значит, йгх Ф„(й)=й"ехр — — ), Л=а ".
4)' Если гг> — 1 не целое, собственная функция ф(х) убывает на беско- нечности степенным образом. Прн целых и=о можно явно выполнить обратное преобразование Фурье, в результате получаем ф„(х)=Н„(х)ехр(-х ), Л„=а ", п=0,1,2,..., где ̈́— полиномы Эрмита. 255. Найти собственные функиии лреобразованил Фурье Л) ф(у)ехр(гху) — =ф(х). бу з/2х -х 2!2 Глава 8. Иитеергмьнме уравнения Ртиеиие. Обозначим преобразование Фурье функыни ф(р): 1 Ф(х) = — / ехр(гхр)ф(р) ду. ~~2 е Применяя преобразование к обеим частям исходного уравнения, получаем Ф(х) = Лф( — х), ф(х) = ЛФ(х) = Л~ф(-х) =ЛзФ(-х) = Л ф(х).
Значит у оператора четыре собственных значения Л = х1,х1, а собственные функции имеют вид ф(х) тр(х)+ЛС(х)+Л р( — х)-г-Л Й(-х), где р(х) — произвольная функция, для которой сугиествует образ С(х) прн преобразовании Фурье, например, / хз~ ф„(х)тН„(х)ехр ~- — ~. 2~' Это собсгвенные функции задачи о квантовомеханическом оспилляторе.
Заметим, что уравнение Шредингера оспиллятора дзф — -х~фт2НФ йхз переводится преобразованием Фурье в то же уравнение. Четные функпии соотвегсгвуют собственным значениям Л = х1, а нечетные — Л = х1. м 256. Найти ретения г(р) ураенений Урисона: (а) 2 / у(х-р)у(р)уар=х(!х!+ 1)е 1*1; 00 (б) / з(х-у)г(р)(1+р )йр=1. Реюеиие. (а) Вспомним, что если У(ы) — фУРье-обРаз функции У(х), то фурье-образ функции х,г(х) равен зу'(ьг).
Выполняя преобразование Фурье, получаем , 4 1 2!У (ы)У(ы) = 4г— 213 8.5. Примеры Чтобы у(х) была ограниченной, необходимо, чтобы ее фурье-образ стремился к нулю при ы- хсо, что позволяет найти константу интегрирования. Таким образом ,2(Ы)=х 2, 2(Х)=хЕ *. 2 Решение. (6) Выполняя преобразование Фурье, получаем ,У (ы) — 2'(ы)у(ы) = 2кб(ы).
Стремяшееся к нулю при ы- хсо решение этого уравнение имеет вид ,2(ы)=М/ке ! !. 1 у(х)=х ( )= 2 — +й у2С=б(х — х ). 2 21х2 Полагая б(х — х') = О при х > х', лепсо находим, что --з!пй(а-х) при х >х; ! Ф О прн х > х'. (8.41) С помошью функции Грина уравнение лля функции ф преврашается в уравнение Вольтерра ф(х, й) = егь*+ — илй(х — х )Ю(х', й)ф(х', й) г!х'.
(8 42) й,/ Рассмотрим функцию т(х,й) =ф(х,й) ехр(-!йх), которая удовлетворяет уравнению у(х,й)=1+ —, (1-ехр(2!й(х'-х)ЦУ(х)Х(х',й)г!х'. (843) 22й у л При вешественнык й, по предполо,кению, решение уравнения (8.42) существует, т. е, интеграл в (8.43) сходится. При выходе в верхнюю 257.
Покають, что функции г)оста ф(х,й) и Ф(х,й) аналитически нрадолхсавма в верхнюю аалунлоскость й (1ш й > О). Решение. Вначале для свободного оператора Шредингера —,г+й Л,2 определим функцию Грина П как решение уравнения 2(4 Глава 8. Интегральные уравнении полуплоскость его сходимость улучшится, откуда и следует аналитич- ность функции д(х,й) и. ссютветственно, функции ф(х,й). Аналогичным образом можно показать, что функция Ф(х, й) аналитически продолжима в верхнюю полуплоскость. 258. Найти связь между асиилтотикой функции )тоста ф(х,й) нри больших й и иотеициалом У(х).
Ртиеияе. Из (8.43) следует, что при й- оо Х(х, й) = ! + —, ~ Щх') дх'+ о ~- ~, 2$Й (8.44) таким образом, д — !пп 2!Йзг(х,й) = -сг(х). дх ь- (8.45) !» Е(х+у)=~ ~М„ехр(-кн(х+у)). Зависимость ялра К(х, у) от у имеет вил'! К(х,у)т~ ф„(х)е "'". Простые вычисления лля ф„(х) дают слелуюшую линейную систему алгебраических уравнений: ф( ) М "'* М ~~ " =О, (8.46) »т! н„+и или в матричной форме и А„ф„= — М„е "", тле , ехр( — (но + к„)х) Авщ =йн,в+М, ко+к ' В внзм сззчвс сб зрввнсннн (ЗЛЗ! говорят квк об зрввнсннв с вмро клснным влром.
259. взойти ойций вид йезотрансатеяьного иотеициава с дискретными уровнями й„=вн„(п= (,...,гГ). Равенне. В этом случае а(й) имеет !5Г нулей в точках й = вн„, а т(й) тождественно равно нулю, поэтому Р задается в виде дискретной суммы 215 8.5, Примеры Решение (8А6) находится по нравилу Крамера дег В„(х) дегА(х) ' где матрица В„(х) получается из матрицы А(х) заменой и-го столбца на столбец ( — Мзе ".*). Заметим теперь, что потенциал ГГ(х) (8.31) определяется только К(х,х), т.е.
и и 2 дегВ„е "* бег А(х) и Нетрудно убедиться, что 2„дегВ„е "" = — ~; —, для чего достаточно -ага Ейшл1 ьт заметить, что производная от определителя есть сумма определителей, в и-и из которых и-й столбец заменен на его производную -Мзехр[-(к„+к )х[. Таким образом, дз сГ(х) = 2 — !и дегА. дх2 260. Найти выразкение дия малых нотенциалов У(х) в отсутствии дискретного снектра через амплитуду коэффициента отразкениа г(й) =,— Щ (первое доуловские нридлихсение). Решение. В отсутствии дискретного спектра с(х) = — г(й)е' *дх.
2я,/ Для малых потенциалов в уравнении (8.33) следует пренебречь инте- гральным членом. В результате К(х, х) -Р(2х) или лля потенциала 2ь Г У(х) =-2 — е(2х) = — — 1 г(й)йе ' *дй. дх 261, Восстановить амнлитуду нрохозкдениа д(й) (или а(й)) но ее модулю нри 1гай = 0 и нололсению дискретного снектра йа = гк„. 217 8.6. Задами (а) Показать, что резольвента подчиняется интегральному уравне- нию К(х, )=К(х,у)+1К(х С)В(С, )д . (8,49) (б) Показать, что резольвента представляется в виде суммы СО К(х,у) =К К„(х,у) (8.50) повторных ядер КДх, у) = К(х,у), Кьы(х,у) = ~ К(х,С)К„(С,у) дС, и = 1,2, 264.
С помощью формулы (8.50) найти резольвенты следующих ядер уравнения Вольтерра: (а) К(х,у) =1; (б) К(х,у) =Л(х-у), Л>0; (в) К(х,у) =екр(х — у); (г) К(х,у) =Лекр(х'-у'); Л сох (д) К(х у) = —. ей у 265. С помошью преобразования Лапласа найти резольвенты следующих разностнык ядер уравнения Вольтерра: (а) К(х,у)=аш(х-у); (б) К(х,у) =зЬ(х-у); (в) К(х,у) =ей(х — у). дзв ди Хи(х) = — + р(х) — + д(х)и = ~а(х) ,С з (8.51) с начальными условиями в(0) = Се, и'(О) = Сь Здесь р(х), д(х) предпола- гаются аналитическими функпиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
