1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Кардинальное число (мощность множества) г различных смежных классов называетсл индексам подгруппы Н в группе С и обозначается с= ~С:Н(. Пусть Н,Нхп...,Нх, — множество смежных классов, которые не пересекаются и исчерпывают всю группу, что обозначается как С=Н+Нхг+... +Нх,. 227 9.2. Представления Будем говорить, что элемент х группы б сопрялггн с элементом у, если найдется такой я Е б, что у=я 'аа. Множество элементов, сопряженных с х, называется классом сапряхгвнных злгмгнтвв а, содержащим х. Подгруппа Н группы С называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем, если х 'Нх=Н для всех хЕС. Это обозначается Наб.
Пуси Твб и СтТ+Тхз+... +Тх„. В качестве элементов новой группы б возьмем смежные классы Тхь Определим произведение в С формулой (Тх;)(Тх.)=Тхы если х;х ЕТхь в б. Проверим, что произведение определено однозначно. Пусть 1!х; ЕТх, и !зху Е Тх .. Тогда 1,хфзхз=дхфзх, '.хгхг=!зх,хй так как Твб. Но если х;хуЕТхь, то тзхзх Е Тхы Таким образом, все произведения элементов из Тх; на элементы из Тх; попадают в тат же смежный класс Тхь. 1)зуппа С называется фактор-группой С по Т и обозначается С= у~.
9.2. Представления Будем называть представлением группы С любой гомоморфизм а группы С в некоторую группу И', й1атричным представлением степени (размерности) и группы С над полем комплексных чисел ч. называется гомоморфизм Т:д- Т(д) группы б в подгруппу группы СА(и,к.), где СЬ(и,б) — группа невырожденных матриц размерности и над полем комплексных чисел С. Представление называется точным, если отображение а — изоморфизм. Матричное представление является точным, если из Т(д) = Е, где Š— единичная матрица, следует, что д — единичный элемент. Примерами матричного представлении конечной группы могут служить единичное и регулярное представления.
Единичное (тривиальное) представление получается, если все элементы группы отобра:каются в единицу, которая рассматривается как матрица размера 1х 1. Пусть С=(д„...,д„) — конечная группа порядка и, а У вЂ” и-мерное векторное пространство с базисам в,,...,и„. Для того, чтобы определить еше одно матричное представление Т(д), поступим следуюшим образом: для каждого 1, ! < ь < и сушествует такое однозначно опрелеленное число г, ! < у < и, что дд, =д,.
Тогда положим Т(д)и, = е,. Таким образом, Т(д)— матрица преобразования пространства ьг в базисе и„...,еч, переводяшая 1-й базисный вектор и; в ~-й базисный вектор е,. Элемент в (у',1)-й клетке этой матрицы равен 1, а остальные элементы 1-го столбца и г-й строки матрицы Т(д) равны нулю.
Отобрюкение д Т(д) и называется регулярным представлением группы б. Будем говорить, что два представления Т и Т' эквивалентны, если сушествует такая матрица 5 Е СЬ(и,к.), чта Т'(д) =Я 'Т(д)Я Лля любого д Е б. Матричное прелставление (г; б — СЕ(и О) называется приводимым, если оно эквивалентно представлению Т вила Глава 9.
Грулны и иредставления тАу) Р(у) 0 Тт(у) (9.1) где и — размерность представления Р( )(у), в — количество различных неприводимых представлений группы С. Рассмотрим какое-нибудь представление, тогда характеры элементов Х(у'), входящих в олин класс сопряженных элементов у'ба', равны межау собой, что можно записать в виде Х(у') = Х(а'). Напишем таблицу характеров (руины П Дла строк этой таблицы справедливо соотношение ортагвнавьнасти ха- рактеров, являюшееся следствием (9.2): » ~~' й'Х *(')дР( )=Юб.р (9.3) »=( где Ь( — число элементов в классе а,.
При этом столбцы таблицы (кото- рую можно рассматривать как квадратную матрицу) также ортогональны между собой, т.е. ~~,Х' (а;)Х (а))= — б, (С! (9.4) ь=! у ь о. Поскольку характер единичного элемента группы равен размерности представления Х(")(1) = и„, то лля п„справедлива формула где Т(у) матрица г хгу(у=1,2),г)+гз=п. В противном случае представление называется ненриводимим. Если У(у) — нулевая матрица, то представление называется втыне лриввдимым. Характерам Х(у) представления (д группы б называется след П: Х(у) =ТгЯ(у). Характер неприводимого представления называется соответственно ненриводимым характером. Число неэквивалентных иеприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов в С.
Пусть а(,...,а, — множество классов сопряженных элементов, Р(')(у),...,Р(')(у) — матрицы всех неприводимых неэквивалентных представлений, Х)(у),...,Х'(у) — все неприводимые неэквивалентные характеры группы б'. Тогда справедливо соотношение ортогонавьности ненриввдимых нредстааеений Р( (у)Р, (у) = — б рб;ьб.), (а)» (р) (б~ его а,)3=1,...,в, г,у=!,...,п, Й,1=1,...,пр, 229 9.3. Примеры ~ и =)П1, (9.5) ь=! Здесь х(д) — характер представления Т(д), а (...) означает усрелнение по группе.
Основы теории групп и прелставлений изложены с доказательствами в [Холб2, Сми74а]. 9.3. Примеры 283. Построить нзоморфизм группы сим- 2 метрнд треугольника 27з и группы подстановок трех элементов: "=(( " Л Ревмвие. Занумеруем вершины треугольника против часовой стрелки цифрами 1, 2, 3 (рнс. 9.1). Пусть р поворот на 120' против ча- 1 совой стрелки, с — поворот, переставляющий вершины 1 и 3 н оставляющей вершину 2 у Рве. 9.1. Нумерация верна месте. Тогда Р (23 !) Р (3 ! 2) (32 1) (2! 3) ! (1 3 2) (! 23)' Легко убедиться, что построенное отображение является изоморфиз- мом. связывающая размерности представлений и порядок группы.
Произвольное представление Т(д) конечной группы С можно разложить в прямую сумму неприводимых представлений Т(д) =с~Т!Ч(д)е сгТ(з!(д)Ю...Гос,Т!Ю(д). Числа с показывают, сколько раз неприводнмое представление Т! ! встречается в Т(д). Другими словами, существует базис, в котором матрица приводится к блочно-диагональному виду, причем блок Т!'!(д) встречается с, раз, блок Т!П(д) — сг раз и т.д.
Коэффициенты разложения с находятся с помощью соотношения ортогонахьности характеров (9.3): = — ~ !ьх'( !)х (а!) = <х'(д)х'(д)). )П! гзО Глава 9. Группы и представления 284. Доказать, что два левых (правых) смткных класса группы 6 по Н или не пересекаются, или совпадают. Реипиие. Если Нх и Ну не имеют общих элементов, то нечего доказывать. Поэтому пусть х Е Нх и я Е НУ. Тогда я = Ь|х = Ьзд. Отсюда х=Ь, 'Ьту и Лх=ЬЛ, !Ьгутйу. Поэтому НхСНГь Аналогично НуС Нх. Значит, Нх= Ну, 285.
Пусть 0 — конечная группе, Н вЂ” под руина группы В. Доказать, что !Сг( = !Н) . !!г: Н ). Решение. С = Н+Нхт+... +Нх„, смежные классы Нх! и Нху содержат одинаковое число элементов, равное (Н(, а число т различных смежных классов и есть (О: Н). (а) Пусть Со(х) — многкество элементов группы С, перестановочных с х Е С. Докалгть, что тогда Со(х) — подгруппа группы С. (б) Пусть С; некоторый класс соирялтнных элементов, хЕС!.
Удгда мощность !С;! многкества элементов в классе С! раею индексу )сг: Со(х)! подгруппы Со(х). Решет!с. Пусть С=Со(х) и элементы, сопряженные с х с помощью д! д! Е С, равны, т е. д, 'хд! — — д! 'хд!. Обозначим с =д д! ', тогда — ! — ! — ! с хе=У!У, хд!Уг — — х~хстсх. Значит сЕС~Су! — — Сог, т. е. д!,дг лежат в одном правом смежном классе С по С.
ПУсть 9!,Уг лежат в одном пдавом смежном классе гРУппы С по полгруппе С, т, е, Сд! — — Сд! ~ с=9!д! Е С. Тогда -! †! †! -! -! -! х=с хе=(д!д! ) хд!Уг ~д! хУ! =У! х92 т. с элементы, сопряженныс х с помощью д,, дг, равны. Таким образом, число различных элементов, сопряженных с элементом и, равно числу правых смежных классов группы 6 по подгруппе С. 287. Паиин! порядок группы симметрий куба. Решение. Пронумсруем вершины куба. Симметриями, пора!клавшими группу, являются зва вращения вокруг осей третьего и четвертого порядка (рис.9.2) и отражение, 231 9.3.
Примеры )1 2 3 4 5 6 7 8~ ~2 3 4 ! 6 7 8 5/ )1 2 3 4 5 6 7 8~ ~1 4 8 5 2 3 7 6/ 7 !'1 2 3 4 5 6 7 8'! ~5 6 7 8 1 2 3 4/ Рис.9.2. Элементы симметрии куба: еся второго, третьего и четвертого порядков 4 п=3 Элементы а и Ь порождают группу Сы отображающие кажлую вершину а любую другую. Это видно из диаграммы 1 — ь2 3 — 4 — 5 — 6 — 7 8. Здесь ь — у означает, что элемент х переводит ь а у. Элементы, остааляюшие 1 на месте, образуют подгруппу Н, группы Сы и мы можем разложить С1 по НП С вЂ” Н~ + Н1 хэ + Ы~ хэ + Н~ хь + Н~ хэ + Н ~ хь + Н~ хэ + Н~ х и .
Поскольку асс элементы класса Н,хь переводят 1 а вершину э, а вершин всего 8, то здесь выписаны асс смежные классы по Н~ и (С~ . 'Н|(= 8. Очевидно, что Нь = (е, Ь,Ьэ), где е — тождестеенное отображение. Поэтому !С~!т!Н~) !С:Н,!=3 8=24. Отображение с не содержится и Сы но так как сэ=1, со=ос, сб=аэЬаэс, мы видим, что С=С~+Сьс, поэтомУ !С!=48.
288. Показать, что подгруппа индекса 2 — инвариантная подгруппа. Решение. Если С=Н+Ых, то С=Н+хН. Следовательно, Нх=хН. ы 289. Показать, что: (а) характер является функцией класса сопряэкенных элементов, т. е. характеры сопряэкенных элеиентов равны; (б) эквивалентные представления имеют равные характеры. 232 Глава 9. Группы и представления Ратеиие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
