1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(а) Свести (8.51) к интегральному уравнению Вольтерра на функпию Ф(х) =в"(х). 266. Пусть и(х) — решение обыкновенного дифференпиального уравнения второго порядка 218 Глава 8. Иимегргымгме ураемеиия (б) Показать, что если известна функция Грина уравнения (8.51), уловлегаоряюшая уравнению ХС(х,у) = 6(х — у) с граничным условием Сгад при хСУ, то резольаента ядра К(х,р)гм — р(х) — у(х)(х-у) при х > у выражается формулой дусе(х, р) 2 (в) Методом сведения к дифференциальному уравнению найти резальвенту уравнения Вольтерра с ядром 2 К(х у) = — 2(х-р). хз 287.
Поюьтать, что для разностного степенного яЛра К(х,л)=аа(х)+аг(х)(х-а)+... + — (х-е) ез»-г(х)»-г (и — 1)1 резольйента дается выражением В(х,л) = —, у»у дх» где функция у(х,в) подчиняется уравнению д»у Г д»-гу д»-2у дх» ~ д .»-г — — ~ае(х) +аг(*) — + ... + а» г(х)у = 6(х — е) дх»-2 с нулевыми граничными условиями на бесконечности. 268. Решить уравнение с неограниченным ядром (ураеиеаие Абеля) о 269. Решение уравнения Фредгольма П рода'У г Р(х)-5г ~К(х,у)Ф(р)др=йх) о можно записать через резольвенту 11(х, р; Л) г Р(х) = У(х)+ Л / К(х,р; ЛЩУ) 68. о (852) о В случае произеольимл конечных прелелоа иитегрироааииа урал»сапе Фрелгольма саолитса к »илу (2621 лииейиой заменой иста»»симой перемеииой.
219 8.6. Задачи (а) Показать, что резольвента подчиняется интегральному уравне- нию ! В(х, у; Л) = К(х, у) + Л 1 К(х, 1) Я(1, у; Л) дк е (б) Показать, что резольвенту можно записать в виде ряда Неймана В(х у;Л)=~Л !К (х,у) (8.53) где повторные ядра находятся из рекуррентных соотношений К!(х у)ьв К(х у) К««!(х у)= / К(хт)К(ту)дт, о=1,2, е К„(х,у)= /К (х,з)К«(т,у)дт, и=2,3,.... (г) Показать, что для фредп!льмова дара, для которого ! ! 11~ 1(т ~~~ (, !! ю а радиус сходимости ряда Неймана (8.53) дается неравенством 1Л1 ( 88«. 270. С помошью прямого суммирования ряда Неймана (8.53) найти резольвенты следуюших ядер уравнения Фредгольма: (а) К(х, у) = 1; (б) К(х,у) =ехр(х-у); (в) К(х,у)=ху.
27!. Найти решение уравнений Фредгольма с вырожденными ядрами: (а) ~ ехр ( — х — в ) !Р(е) дв = р(х) + х; ! (б) ~х а !8(в)дз=ф(х)+х~; — ! (в) Показать, что произвольное повторное ядро подчиняется фор- муле 220 Глава 8. Интегральимеураененил (в) 4(х)-Л ~(!+х~р~)ф(р)йу=х~; е 3 (г) ф(х) — Л / ехр(х — р)(1+ау)ф(у)йр=ехр(х).
а 272. Показать, что если известна функния Грина С(х,у) краевой залачи Х =ре(х)нг"1+р (х)н'" "+-"+р (х) =Ь(х), Уь(н)=оь и(О)+хе,' и'(0)+... +аь+ +171е1н(1)+71'1и(1)+ +р1"-'1н1"-'1(1)-0 где а„. рнь1 — константы, х = 1,2,...,и, то уравнение Фредгольма 3 н(х) =Л / гг(х,р)и(р)йр+ у(х) е сводится к заааче на собственные значения Хн = Ли+7е(х), $$ь(н) = О, если кЩ) =О. Как связаны Функнин У(х) и Уе(х)7 273.
Путем сведения к дифференциальным уравнениям решить уравнения Фредгольма: ! (а) 4(х)+Л~ К(х,х')4(х')йх'=х'-х, уГ(х,х')=х<(х>-1), Л>0; е ! 3 (б) ф(х)+~!х-е(ф(е)<Ь= — -х. 3 1 274. Найти решение уравнения с иенормируемым каром: 4(х) = е *+Л~ сов(2хе)ф(а) фв. 275. Решить спектральную задачу лля уравнений с ненормируеммм ядром: ф(х) = Л ~ ехр (-(х — у() ф(р) ду. 221 8.6.
Задачи 276. Решить задачу Коши с начальным условием и(х О)=2ехр(-хз)хз лля интегро-дифференциального уравнения ди — = — ии(х,о) +и~ К(х,о)и(о,о) Ио с ядром Килсона — Сторера (8АО). 277. Найти решения ф(о) уравнений Урысона: (а) / ф(о) ф(х — о) до = е *; (б) ~ ф(в) ф(х — о) до = о1 их. о 278. Найти все решения ураелеиий гаммерштейиа с вырожденным ядром: (а) ф(х)=~ хоф (о)до+-х; у 4 о Г соо'о, 1 (б) ф(х)=/ — ф (о)до+ —, хб(0,1). ,/ соох сов х' о 279. Показать, что в ядре Р(и+р), определенном формулой (8Д5), коэффициент 2 ос о'(оич) положителен.
з з 288. Для потенциала б'(х) = --„т-- с помошью треугольного представления лапти собственные функцйи непрерывного спектра. 281. Найти коэффициент прохождения д(6) = (ог для потенциала 282. Для безотражательных потенциалов показать, что ядро треугольного представления К(х,у) выражается в виде К(х,у)=~ ф„(х)е "'", где ф„(х) есть собственная функция и-го дискретного уровня. 222 Глава 8.
Иитегральяые уравнения 262. В(х,у) =~)~ — Р„(х)Р„'(у). ««! 263. (а) Указалие; Подставим решение (8.48) в уравнение Вольтерра (8.47) и, менвя порядок интегрирования, получим уравнение на резольвенту (8.49), 264. (а) В(х,у)=елр(х — у) (б) В(х,у)=ъ/Ла)гъГЛ(х-у). (в) В(х,у) = ехр2(х -у). (г) В(х,у)=Лекр[Л(х — у)+хз — уз|. сйх (д) В(х,у)=Лекр(Л(х — у)) —. сну 265.
(а) В(х,у)=х-у (б) В(х,у) = — а)г «Г2(х — у). ! =.2 ~х-уЛ г' ! 'т «/5(х-у) (в) В(х,у)=ехр ~ — ! ~опт+ — знт7г, т= 266. (а) Дифференпиаяьное уравнение сваантся к уравнению Вользер- ра (8.47) с ядром К(х,у) = -р(х) -е(х)(х — у) и правой частью з (х) = г е(х) — р(х)С! — ч(х)(С х+ Се). 2/ узЛ (в) В(х,у) = — ~! — — /. -Зу ~ хз/ 268. Указанле: Уравнение Меля решается с помошью преобразования Абеля. Переобозначить х- Г, умножить на «г;-7, проинтегрировать по 4Г в пределах от 0 до х, поменять порядок интегрирования и воспользоваться тем, что (4Г(х-!) Нз(г-е) Н'=я. « 2тБ Ф(х) = —. ! 278.
(а) В(х,у;Л)= —. (! — Л) (б) В(х,у;Л) = ехр(х — у) ху (в) В(х,у:Л)= 223 271. (а) Указалие: Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром сводится к системе алгебраических уравнений. ф(х)=-х + елр(-х ), /я/2 ,/ /2-1 5хз (б) ф(х)=- —. 3 з Л/6(1 Л/2) з Л/4(1+Л/45) з+ з+ 15 = — (4Л~ — 54Л+ 45) Ф О. 45 Л/ Л хтЧ 4 Лз (г) ф(х)=ехр(х) 1+ — ~1 — — +-/131, /з=! — -Л+ — зеО. 2ь \ 12 2(3' 3 12 1 272.
/(х) =~С(х,у)/е(у)4р. е 273. (а) Ядро 2Г(х,х') служит функцией Грина краевой задачи (а): в" = /е(х), и(0) = и(1) = О, а функция /(х) удовлетворяет тем же граничным условиям, Значит уравнение Фрелгольма эквивалентно краевой задаче фа+Лф=/ ( )=2, ф(0)=ф(1)=0 Функция Грина такой краевой задачи построена в (а). 2 1 1-соей ф(х)= — 1 — созда- — мпйх, й=з/Лзьяп, и=!,2,....
йз ~ з!пй (б) Указание: Уравнение сводится к дифференциальному ф" + 2Ф = 2х с граничными условиями ф( — 1)+ф(1)=0, ф(0)+ф(1)=ф(-1)— ф'(1). Решение имеет вид а!п з/2х ф(х)=х- ехр(-х)+Л/(1+4х ) 2 274. Ф(х) = ЛФ~ —. 1-яЛ /4 ' т/я' 275. У оператора нет собственных функций в классе Ьз(-со, со). Имеются решения на классе ненормируемых, но ограниченных Функций: ! 11„.2 Л = —, Ф(х) =ехр(гдх). 2 Глава В.
Иямегральяме ураааяяиа Здесь !шй = О, иначе решение не будет ограниченным на всей оси. Всякое действительное А > 1 является собственным значением. 276. Указание: Разделить переменные х и 1 и воспользоваться методом Фурье: разложить решение по найденным в задаче 254 собственным функциям.
и(х,1) = (1+ (-1+ 2х )ехр ( — И(1 — о ))] ехр(-х ). 277. (а) Указание: Уравнение Фредгсльма — Урысона типа свертки решается преобразованием Фурье. 2! /2 Р(х)=х —,ехр( — 2х ). (б) Указание: Выполнить преобразование Лапласа и решить получившееся уравнение. Обратное преобразование дается контурным интегралом ф(*)=+ —. / 1 г ехр(Ах) (8.54) 2яа./ т/!~Я с где контур С охватывает точки ветвления Ы. Дейюрмнруем его так, чтобы он проходил вдоль берегов разреза (рис. 8.1). После замены А =(з! луг (8.54) преврашаетсл в интегральное представление Бесселя.
ф(х) =~.уа(х). Ряе.8.!. Контур интегрирования лля обратного преобразования Лапласа можно замкнуть и деформировать а контур С. Разрез, соединявшая точки ветвления поамитегрольноя функции, заштрихаван 278. (а) Укаэвнце: Воспользовавшись тем же приемом, что и в задаче (а), можно свести задачу к квадратному уравнению.
Ответ имеет вил фу(х) = х, фз(х) = Зх. 1 (б) Р(х) = созх (! — х) 8.7. Оязветм 225 279. Указание: Воспользоваться формулой теории возмугдений лля сдвига знергии бЕ = — (фбУ~9) для оператора Шредингера. 299 9(й ~ пмзнгйих+й зи+й 281. а(й)= —, (й - гн) (й+ тн) Глава 9 Группы и представления 9Л. Группы Грутюй называется множество элементов С = (а, Ь с,... ) с бинарной операцией. бинарной операцией называется отображение, сопоставляюшее лвум элементам дндэ ЕС элемент дз ЕС, который называется»произгмдением» д, и дэ, а обозначается как дз —т додэ.
Причем выполняются следующие условия: (а) (аЬ)с= а(йс) (ассоциативность); (б) существует такой элемент 1, что 1а= а1 = а для любого об С (сушеспювание елиницы)1 (в) для всякого элемента ай С существует такой элемент а ' Е С, что а 'а=па '=1 (существование обратного элемента). Группа. состоящая нз конечного числа элементов, называется конечной. Мощность 1С( множества элементов группы С называется порядком группы С. Подмножество Н элементов группы С, само являющееся группой, называется подгруппой группы С. Если для любых элементов дпдз бС имеет место равенство д~йт =дэдп то такая группа называется обелевой или колинутативной. Порядком (периодом) элемента х называется такое наименьшее натуральное число и, что х" =1, если такое и найдется. Отображение С Н элементов группы С на элементы группы Н называется ммюморгйизиом группы С на группу Н, если оно сохраняет операцию,т.е.
изд, Лг идэ Лэ следует, чтод~дэ- Л,Ль Гомоморфизм группм С на группу Н, являющийся взаимно однозначным отобрюкением, называется иэоморлйизмом группы С и группы Н. Пусть дана группа С и подгруппа Н. Множество элементов вида Лх, где Л вЂ” любой элемент из Н, а х — фиксированный элемент из С, называется правым емехеным «лосгаи по Н и обозначается Нх. Аналогично, множество элементов вида хЛ, где опять Л вЂ” любой элемент из Н, называется левым смеэкным «лоссом хв по подгруппе Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
