1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Л и не Иное пространство представления может быть и бесконечномерным, например, гильбертовым, или таким пространством, пополнение которого — гильбертово пространство. Обозначим х пространство бесконечно лифференцнруемых функций 1(х), хе ге~, эааанных на сфере. Каждому элементу д Е ЯО(3) поставим в соответствие линейное преобраюванне Т(д):1(х)- 1(х)ту(д х), (!0.1) отображаюглее пространство Р на себя.
Формула (10.1) определяет действие элемента грунны на функцию. Если за преобразованием Т(д~) следует новое преобраювание Т(дэ), а именно Т(дг):У(х)-1 (х)=У'(дз х) то результатом будет композиция Т(дг)Т(д):1(х) 1л(х) =1(дэ 'х) =~(д, '(д, 'х)) =1((дэд,) х). Таким образом. Т(дэ)Т(дд =Т(дтд~). Поэтому соответствие д Т(д) является прелставлением группы ЯО(3) на бесконечномерном пространстве функций. 10.2. Представления группы вращений 239 Для определения неприводимых представлений группы вращений ЯО(3) достаточно рассмотреть ее алгебру во(3), генераторы которой (см. задачу (а)) удовлетворяют коммутационным соотношениям ггУа,др") = йвар Л7, где .7 — с точностью до множителя 1 инфинитезимальные операторы поворота вокруг оси ех. В квантовой механике оператор д называют оператором момента.
Поскольку по алгебре Ли может быть восстановлена группа, то лля выделения неприводимых представлений достаточно рассмотреть соответствующие представления алгебры. Эта задача сводится к нахождению спектра оператора момента .7з и его собственных векторов. Каждое неприводимое представление задается собственным значением у(у+!) оператора вз. Размерность неприводимого представления равна 22+ 1 — числу (при заданном 2) возможных проекций момента на ось квантования (г).
Пусть У и У вЂ” конечномерные векторные пространства над полем С размерности гп и а соответственно. Пусть (е,) и (а,) — базисы пространств У и У соответственно. Для любых еббр, або рассмотрим множество конечных сумм формальных произведений вида еЭа со следующими свойствами: еЭ(а +ав) = еЭа +еЭа, (е'+ ен) З а = е' Э а+ ен За, Л(еЗа)=(Ле)За=еЗ(Ла), ЛеС. Построенное таким образом множество является векторным пространством, натянутым на шха базисных векторов е,За =юц, где 1= 1,...,ш, 2=1,...,п. Оно называется твнзврным произведением пространств У и У и обозначается В'= УЗ У. Если У и У вЂ” пространства со скалярным произведением (, ), то скалярное произведение в УЗУ может быть определено формулой (е!Эанез Эаз) = (янез)(ан аз).
Введем понятие тензврного (прямого) произведения матриц. Пусть имеется дае квадратные матрицы Т= 111;г)! и 22 = )1гц 11 порядка и и гп соответственно. Прямым произведением матрицы Т иа матрицу 21 является квадратная матрица порядка я х гп, имеющая следующий вид: гн21 1н21 ... гь12 2М гп11 ° 2н2ь 1Л 1шВ 1нн21 Заметим, что Тг(ТЗН) =ТгТ ТгЯ. Пусть заааны представления Т(в) и Т'(в) группы С, уб С, т.е. каждому злемеиту р группы С соответствуе~ линейный оператор Т(в) Глава 1О.
Непрерывные группы пространства )г и линейный оператор Т'(9) пространства С, причем Т(у!дг)=Т(д!)Т(дз) и Т'(у)уз)=Т'(у!)Т'(у!) дяя любых элементов д! и у! из С. Определим мензорное (пряное) произведение представлений группы. Выберем базисы пространства т" и пространства С: )г=(е„ез,...,е„), С=(а),ат,...,а ). Пусть в этих базисах оператору Т(у) соответствует матрица Р(у), а оператору Т'(у) соответствует матрица Р'(9), т. ес Я ы Т(9)ш =У~О)т(9)е!' Т (9)аз =БР (9)а! )=! )=! Определим линейные операторм Т"(у), действуюшие в пространстве т ЭР формулой: Т (у)(е; Э аз) = Т(у) е! Э Т (9)аь = Р)з(у)е)Э~ Р)ь(у)щ =~~!,РУ)(у)Р)ь(у)(е)Эег).
! ! яц Легко проверить, что матрица, соответствуюшая оператору Тл(у), есть прямое произведение матриц Р(у) Э 2у(у). Это и есть прямое (тензорное) произведение представлений группы. Прямое произведение представлений может быть разложено на неприводимые представления (задача Клебша — Гордана). Лля группы УО(3) эта задача соответствует квантовомеханической звввче сложения моментов. Пусть Р1"' и Р"') — два неприводимых представления группы вРашениа со значенилми момента 3! и уз соответственно.
Тогда пРЯмое произведение представлений Рб')ЭР)п) разлагается на неприводимые представления в виле (см. задачу 334): рц)ЭРбг) РЬ«)!)я)р!!)+и-!)«) ЭР()п-д)) (10.2) Это и есть разложение Клебша-Гордана для группы ЯО(3). Из разяожения (10.2) слелует, что базисы представлений Р!г): ( ГМ) (-Я < М<э), могут быть разложены по базису прямого произведения представлений Йгп!) Э(у)гп!): !.™,г)г!) = К~' Сг, «,!««г(3!гп!) Э)э)гп!) «ч «нл«и Коэффициенты разложения Ссыпь называются коэффициентами Клебша — Горлана. Пусть имеется матричное представление размерности и группы С, т.
е. каждому элементу у группы соответствует матрица Ри(у). Набор чисел Т=Т„г,, Ть; Е«., !«=1,...,я, й=!,...,г. называется п)ензораи ранги г имногшнельио группы С, если Т преобразуется по закону; Т,'„,, =Очи(у)Рь,(д)...Р;,(д)ти„, з 241 10.2. ))рвдснщвления грулнм вращений (Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.) Числа Т;„.
м называются камнанвнтами (координатами) тензора. Множество всех тензоров данного ранга и образуют векторное пространство размерности и'. Тензор Т называется инвариантнмм относительно действия группы С, если его компоненты не меняются под действием преобразований из группы О. Заметим, что инвариантный тензор имеет столько независимых компонент, сколько раз входит елиничное представление в разложение тензорного произведения представлений группы. Важным свойством тензоров является тот факт, что операция перестановки индексов коммутирует с действием группы О. Пусть ߄— группа полстановок г символов. Эта группа состоит из элементов вида (1~ !з ... 1„)' (10.4) ! а ь = — '(а в+ам — — анб,ь) + — (аа — ам)+ — аиб м (1О 5) Каждый член в этой сумме есть инвариантный гентор относительно группы вращений ЯО(3).
Первое слагаемое в (10.5) имеет нулевой след и соответственно 5 независимых компонент. Этот тензор соответствует моменту 3 =2. Второе слагаемое отвечает вектору (момент 3=-1), а последнее — скал яру (Х = О). Каждая перестановка определяет линейное преобразование пространства тензоров ранга г в соответствии с формулой аТ„,,= Т... Т „„,. Эти линейные преобразования, соответствующие грчуйпе Я„, коммутируют с действием группы С.
Тензор Т=Т;„... называется симметричным, если вТ = Т для любой подстановки в Е Я, и кососимметричным, если для нечетных подстановок в выполняется вТ = — Т, а для четных вТ=Т. Таким образом, симметричные тензоры являются собственными векторами любой подстановки из Я„отвечающими собственному значению 1. Поэтому симметричные тензоры образуют инвариантное относительно О надпространство. Аналогично, множество всех кососиммтричных тензоров является С-инвариантным подпространстаом. Если С вЂ” группа вращений ЯО(3), Т;„;;„— тензоры и-го ранга, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (точнее говоря, они — элементы пространства НзЗ... йбмз), то Р(у) в законе преобразования (!0,3) есть стандартное представление группы вращений, отвечающее неприводимому представлению с моментом 3 =1.
В этом случае Р,. Р, ь ...Род в (!0.3) есть тензорное произвеление неприво- 1» !» 1» димых представлений с ! =1. Это произведение может быть разложено по неприводимым представлениям. Каждое из неприводимых прелставлений для данного тенюра и-го ранга будет выделять его инвариантную часть. Например, тензор второго ранга а,ь может быть представлен в виде 242 Глава 10. Пглрезыаные группы По теории групп Ли можно отослать читателя к книгам [Кир7В, РихВ4, ДНФ79[. Некоторые вопросы теории групп, имеюшие приложение к атомной и молекулярной физике, рассмотрены в [ЛЛ74[.
10.3. Примеры 315. Рассмотрим однояараметричгскую группу Стд(в). Параметр В выберем таким образом, что д(в,)д(в,) =д(в, + вз), (10.6) д(0) = Е. (10.7) Пусть 1в = (11) „— инфинитезимагьная матрица, пнииастствующая параметру д. Показать, чпю тогда д(в) = ехр (1гд). (1О.В) Реищиие. Продифференпируем обе части равенства (10.6) по В~ и положим затем В~ —— О, Вз — — В. Получим 21 =1вд(В). Эти уравнения имеют единственное решение, удовлетворяюшее начальному условию (10.7). ° 316. Пусть д(о~, ам аз) — матрица, пютветствующая повороту во- круг оси вращения а=(ппаз,аз) на угол В=(оз+озз+аз)ыз. Показать, что тогда д(а„аз, аз) т ехр (1, а, + 1зпз+ 1>оз), где 1ы 1з, 1з — инфинитезимавьиые матрицы группы ЯО(3).
Решение. Рассмотрим однопарамстрическую группу поворотов во- круг оси, направленной по вектору и. Воспользуемся формулой (10.8) з д(в)=ехр(1вд)=ехрв~~~ 1 — з~ , 'дд ~,,' Здесь о~ =Всех(Оз,сз), аз=всеь(Ор,п), аз=всея(Оз,п). Поэтому д(аьоз,аз) =схр(1!о, +1заз+1зоз). 317. Пойти иифииитезимальные матрицы: (а) группы вращений ЯО(3), параметризованной как указано в задаче 316. (б) специальной унитарной группы ЯУ(2), пктоащей из матриц вида е" сове е'"з1пц '! -е щзгпгг е Цсозц/ ' =(-"- 243 гОЗ.
Примеры Решеивге. (а) В качестве параметров группы ЯО(3) возьмем три составляющие апаз,аз вектора а, направленного по оси вращения и равного по длине углу поворота: /! 0 0 р(ац0,0)= ~0 сова~ в!па> ) . 0 -в!па> сова| др(ап0,0) Аналогично гз 0 0 0 > аз= — ! 0 О Реяевие. (6) Унитарные унимодулярные матрицы 2-го поряака имеют виа Гг= > еисовв! ерв!п0 '! -е г"в!пп е Исовя) =(-- — ) и зависят от трех вещественных параметров (,О,го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
