1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Очень часто лля получения асимптотического разложения функции, прелставленной в виде определенного интеграла, удобно использовать интегрирование по частям. Иногда это эквивалентно почленному интегрированию разложения в ряд Тейлора. Примерг Найдем асимптотическое разложение при х оо функции Г(а, х) = / е ~1 ~ Ж. Интегрируя по частям, находим ... / а — ! (а — !Ка — 2) Г(а,х) е 'х' ~1+ — + -)- х хт Г(а) -К.(" —.) "х' Тот же ответ можно получить, сдвигая переменную интегрирования 1 = т + х и разлагая функцию (х + т)' ' в ряд Тейлора по -'. Г, г' (а — 1)т (а — 1)(а — 2)т» Г(а,х) е *х' / дте ~1+ х + 2х1 '.-)- Г(а) ~, Г(а+ 1 — и) 6.2.
Интеграл Лапласа Рассмотрим интеграл вида р(и) = / е"Дмр(х) дх, а д(и)--е""', (1-ьО(и )). „ ы Ф(а) иУ'(а) (6.3) тле Р(х) и у(х) — действительные непрерывные функции, а и — боль- шой параметр, Если функция у(х) принимает максимальное значение на границе области (например, в точке а) и у'(а) Ф О, Ф(а) зе О, то 6.3. Метод стационарной фазы 14З Если же максимальное значение достигается в точке х = с внутри интервала а < с < Ь и ф(с) ф О, то у(и), — „е"~и~ф(с)(1+ О(и )). 1( иу"(с) (6.4) Если максимальное значение достигаетсл на границе (например, в точке а) и ф(а) ф О, 1'(а) = О, а у"(а) < О, то у(г ) . е"диф(а).
'Ч2 ун() (6.5) Приведенные формулы получаются разложением у(х) вблизи точки, в которой Г(х) принимает максимальное значение, и последующим интегрированием в бесконечных пределах или по частям. Тем же способом можно получить асимптотические формулы в случаях, когда ф(а) = О или ф(с) = О. 6.3. Метод стационарной фазы Рассмотрим интеграл вида у(х) = / с~у™ф(х) ах, в гле у(х) — действительная функция, а и — +со. Тогла основной вхлал в интеграл дают либо окрестности точек, в которых Г'(х) = О (точки стационарной фазы), либо окрестности точек а и Ь, если на отрезке интегрирования нет точек стационарной фазы. В послелнем случае у(и) —.
е'"Д ' — —. еытнг+ О( '), у'(Ь) зе О, у'(а) Ф О. Если внутри интервала а < х < Ь есть только одна стационарная точка с, в которой У"(с) ф О и ф(с) ф О. то у(и), „ф(с)ехр аиу(с) х — ~ (1+ О(и ')). (6.6) 1)1 и1ун(сЯ ~ 4 / Эта формула получается разложением у(х) до квадратичных членов вблизи х = с и вычислением интеграла Френеля. Знак при фазе е совпадает со знаком второй производной з1уп(ун(с)). Если внутри интервала интегрирования есть несколько стационарных точек, в которых у"(с) га О и ф(с) ф О, то у(и) лается суммой всех вкладов вила (6.6).
144 Глава 6. Асимптомические метоаы 6.4. Метод перевала Поставим задачу оценить интеграл вида у(и) = / е""'*~о(а)ое, и - аа, (6.7) Рис.6.1. Топография еешестеениой части функции ш(х) вблизи седловой точки з = ге Стрелками показано направления, а которых и(г) = йе и(г) убывает Идея метала перевала состоит в деформировании контура интегрирования 7 так, чтобы основной вклад в интеграл вдоль деформированного контура набирался на как можно более коротком отрезке, т.е. вдоль линии наискорейшего спуска. Будем рассматривать только такие деформации в области аналитичности функции ш(х), при которых концы контура интегрирования остаются неподвижными. Контуры 7', палучаюшиеся при таких деформациях, называют эквивалентными, поскольку где ш(а) и ф(а) — не зависящие от и аналитические функции а в обла- сти П„содержащей контур интегрирования у и стационарную точку ае, в которой ш'(га) = О.
Точка ла может не принавлежать контуру интегри- рования. Для простоты будем считать, что ши(ае) Р О, а р(а) = 1. Тогда сушествует контур Г 6 П, ае 6 Г, вдоль которого мнимая часть функции ш(х) = и(х, у) + (е(х, у) постоянна; е(х, у) = е(хе, уа) = сапы, где а = х + гу. Функцию ш(а) вдоль контура Г можно записать в виде ш(а*) = ш(г,) — г(г*), гле а* Е Г, а г(а') — действительная неотрицатель- ная функция. Градиенты функций и(х, у) и о(х, у) ортогональны в силу соотношений Коши — Римана для аналитических функций ди де ди до д Ви д  — — — — (тГе, туи) = — — + — — = О. дх ду' Ву дх дх дх ду ду Отсюла слелует, что контур Г является линией наискорейшего спуска лля функции и(х, у). Последняя убывает вдаль контура Г в абе сторо- ны ат точки ха, которая называется седлоеой точкой функции и(х,у) (рис.6.1).
145 6.4. Метод лерееоло ю(г) = м( ) + ( — д)'+.... ге" (ге) 2 Основной (экспоненциально большой) вклал в интеграл набирается вдоль контура Г. Чтобы оценить этот вклад, заменим переменную г на вещественную вдоль контура Г переменную г = е '"(г-ге) и запишем вторую производную в виде ик(ге) = ре'е. Тогда старший член асимптотического по -„разложения интеграла есть ! р(Р) ф(гд)ем™ / 4е еге ехр г(-ре еве~м) 2 ф(га)е"ыше™ / ехр ~ — -рг"1 де. г (6.3) величина интеграла (6.7) не зависит от у '. Контур 7' называется мини- мокглмм колтуром, если на нем достигается ппп шах !е""!'!1= ш!и шахе Ш*'т1 = е "!*не'1, тмп лет' т'ЕР зЕГ' где 22 — мно;кество эквивалентных контуров 7'.
Другими словамн, из всех эквивалентных контуров 7' выбирается тот„который проходит через седловую точку га функции и(х, р) и совпадает в окрестности га с контуром Г. При этом функция и(х,р) должна иметь в точке ге не только локальный, на и глобальный максимум на контуре 7 '. Если минимаксный (перевальный) контур существует, то го называ- ется точкой лерееоло лля интеграла (6.7).
К сожалению, общего алгоритма поиска перевального контура не существует. Зто сложная топологичес- кая задача. Облегчить ее решение можно, если соблюдать следующие три правила: !. Нарисовать линии уровня функции и(х, у) (как на топографической карте, рис. 6.1). 2. Выбрать такой путь от начальной до конечной точки контура интегрирования, чтобы максимальное вдоль пути значение и(х, р) было как можно меньше. (Представьте, что вы путешественник, боящийся высоты, а и(х, р) — высота в точке х, у нал уровнем моря.) 3. Вблизи точки с максимальным вдоль выбранного пути значением и(х, у) провести контур вдаль линии наискорейшего спуска.
(Чтобы как можно более короткий отрезок вашего пути проходил на большой высоте и.) В результате интеграл сведется к эталонному интегралу. Рассмотрим лва простейших случая: 1. Существует перевальный контур, и в стационарной точке го вы- полняется условие на старшие производные )РМ бите(го) ) 2> )мм!(ге)), тогла можно ограничиться разложением м(г) в окрестности точки ге до квадратичных членов: 146 Глава 6, Асимлтотичеекие методы Направление наискорейшего спуска определяется условием ехр(2!гр+ !а) = — 1, откуда тчд = -гу — являются углами между направлениями касательных к Г в точке ее и положительным направлением вещественной оси. Фаза Е* принимает то из значений гр д, которое соответствует направлению интегрирования вдоль контура у ' в точке еа.
Последний интеграл в (6.8) является интегралом Лапласа (6.4), поэтому р(н) асимптотически равен 2х д(н) Ф(ее)е" ~ ехр(пр') (6.9) Следует отметить, что перевальный контур может проходить через несколько точек перевала аг, в которых значения Ие м(а;) совпадают. В этом случае надо просуммировать вклады от каждой точки перевала. П. Перевального контура не существует. Контур интегрирования можно деформировать так, чтобы максимальное значение и(х, у) вдоль него находилось в начальной (или конечной) точке а~ контура т. Если выполняется условие на старшие производные )и" 'м'(а1)~ Ъ (го!щ(е~)~, то можно ограничиться разложением ге(е) ло линейных членов в окрестности точки е!..
м(е) = то(е~) + м'(е~)(а — е~) + .. Из точки е, выходит одна линия наискорейшего спуска Ь б П, вдоль которой !ш м(е) .= 1ю то(е,). Заменим переменную а на переменную е = е !" (е — е,), вещественную вдоль линии наискорейшего спуска Ь. Запишем производную в виде м'(х~) = -рехр(-!Р) и деформируем контур т так, чтобы он совпадал с Ь вблизи точки аь Тогда старший член асимптотического по „- разложения функции р(и) имеет вид 1 д(и) р(е))е""!од ! оее'Еехр ( — иреег!" ~1) —,, (6.10) е( )-.( ( )) ив'(е~) х где направление наискорейшего спуска определяется равенством ф = Е. Если максимальное значение и(х„у) находится в конечной точке ез контура т, то аналогичными рассуждениями получим, что старший член асимптотического по -„' разложения функции р(и) имеет вид (6.
!О), в котором е~ надо заменить на аз, а знак минус перед дробью — на знак плюс. 6.5. Метод усреднения Если невозиущенная система с и степенями свободы совершает движение в ограниченной области фазового пространства, то иногда можно перейти к переменным действие — угол, в которых дифференциальные уравнения имеют вил 147 6.5.
Мемед усреднение 1=0> Ф=ы(1)' 1=(1~ 1м-.- 1н)> ф=(ф»фп". фе). (611) В невозмущенной системе 1 — набор интегралов движения, а переменные ф меняются в интервале 0 < ф; < 2я. Возмушенные уравнения содержат в правых частях добавку, пропорциональную малому параметру е: 1 = ед(1, ф, с), ф = ы(1) + е~(1, ф, е), (6.12) где 1 и д являются 2я-периолическнми функциями каждой нз переменных фь Поскольку переменные 1 меняются медленно (вследствне малости параметра е), то еазмуя1енную свежему можно заменить гораздо более п ростой усредненной системой дла медленных неременных 3(!) = 1(!) + О(е): у> д( 1, ф, 0) дф При переходе от уравнений (6.12) к усредненным уравнениям (6.13) проводится процедура усреднения по периодам колебаний функций д. Эта процедура корректна при и = 1.
В случае нескольких степеней свободы усреднение по ф может стать неприменимым, если в системе имеются резонансы, т.е. частоты ы; — компоненты векюра ы в формуле (6.11) удовлетворяют уравнению е >!г;ы; = О> где Ф; — целые числа. дримарг дана возмушенная одномерная система с постоянной частотой и 1 = е(а + Ь соз ф), ф = ь>. Она привопит к усредненному уравнению .1=со, которое имеет решение .7(!) = Хе + еа! (рис.6.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
