1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Запишем уравнение Бесселя на функцию,Уь(Лть) и умножим его на .гь(Л„1): .ть(Л„1) ~~- — 1 —,Уь(Л„,1) + ~~Л' — — ) Уь(Л,1)) = О. " 1,1,и 41 ~ 1з) Перепишем это равенство, переставив индексы и, пь. Затем вычтем уравнения лруг из друга и проинтегрируем результат от О до ! по Ый 1 (Л'„, — Л'„) / 141 У,(Л„Г)дь(Л 1) = о д = -1 (Эь(Л„1) — Ль(Л Г) — Ль(Л„1) — Уь(Л„1)~ 41 41 Если Л„„, являются нулями функции Бесселя Хь(Л„т) = О, то интеграа обрашается в нуль при пь ~ и, поскольку правая часть равенства обрашается в нуль.
Интеграл обрашается в нуль и в том случае, когла Л„,„ 5.4. Примеры )З5 являются нулями производной -и- = О. Чтобы найти значение интеегдх„1 грела при и = пг, необходимо раскрыть неопределенность: Г дГ,ЧЛче),т (Л„Е) = = Бш з з ~Л,Ть(Л„) — Л„.Ть(Л ) д.г (л ) л.Чл„)л Я и Откуда следует первая или вгорая формула (П.2б) в зависимости от того, явлшотся ли Л„нулями функции Бесселя или производной от функции Бесселя. 143. Подти решение уравнения тенлонроводности в цилиндре единичного радиуса с тенлоизолирующими стенками и начальным условием гг (! г)з. д — У(й,г,р,з) = сзУ(Ф,г,~р,г). Решевие.
В цилиндрической системе координат граничные и начальные условия не зависят от чг и з, поэтому решение будем искать как функцию только от г и Б Применяя метод разделения переменных ГГ(г, Г) = ~) Дг22,(г)Тг(Г), ша на функции 1Гч(г) и Т;(г), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения: — ТМ) = -Л;Тг(Г), „д (,) Л ( ) д д г дг дг Решения этих уравнений имеют вид Т(г) = ехр(-Л|г), Ву(г) = Уе(Лгг), где Хе(а) — функция Бесселя. Константы Л, определяются нз условия отсутствия потока тепла через стенки ю — — — О; ео д ! д О = — Щ )~ = Л; —,Ц*)! = -Л,.ЦЛ,).
дг ~ит ди Иначе гоизря, Л, — нули функции — ф = —,У~(Л). Коэффициенты А; найдем из начального условия, воспользовавшись ортогональностью !36 Глава 5. Снециальнме функции функций Бесселя (П.26). Интегрируя ГГ(т, О) с функцией,7о(Лзт), найдем тйт!Г(т,0),уо(Лзт) = ~~~ А;/ тйт уо(Лот).Уо(Лзт) =А!— о о Откуда А =, /тАт(! - т) уо(Лгт) = з( / Ах уо(х). .1,(Л;),/ ' Л„уз(Лг) l о о Решение имеет вил !1(т, !) = ~~ А; ехр( — Л,'Ф)уо(Л,т). г=о Б.Б. Задачи !49. Выразить ~Р~(о; а; а) через элементарные функции.
150. Показать, что уравнение с лвумя регулярными особыми точками можно принести к виду Аду  — + — — + — 0=0. Ах! х Ах хз Решить это уравнение. !51. Доказать формулу ~Е)(о; 1; х) = е*~й) (т — а; 1; — х). !52. Выразить полиномы Лагерра Ь~(х) через вырожденную гипергеометрическую функцию. !53. Выразить полиномы Эрмита Н„(х) через вырожденную гипергеометрическую функцию.
Указание: Сделать неконформную замену х = Л. В новых переменных в уравнении появляется регулярная особая точка х = О. Отдельно рассмотреть полиномы четной и нечетной степени. 154. Привести к гипергеометрическому виду (5.6), (5.1) уравнение А~у т(х) Ау а(х) — + — — + — 0=0, в(х) Ах е~(х) где т(х) — полипом не старше первой степени, а е(х) и а(х) — не старше второй степени. 137 5.5. Задачи 155. Показать, что присоединенные функции Лежандра Р,, задаваемые формулой Родрнга (П.37), удовлепюряют уравнению Лежандра (П.36). 156. Найти собственные функции и энергию стационарных состояний уравнения Шредингера дла двумерного осциллятора в полярных координатах: — — (Ь вЂ” г )ч7(г) = ЕФ(т). 2 2 Указание: Выделить асимптогики в особых точках радиального уравнения и, сделав замену г' = х, свести его к уравнению Лагерра.
157. Вывести рекуррентное соотношение (П.54) и формулу дифференцирования (П.55) лля полиномов Эрмита (П.5О). 158. Найти произволяшую функцию (П.56) для полиномов Эрмита, используя рекуррентные соотношения (П.54). 155. Найти производящую функцию (П.65) полиномов Лагерра с помощью интегрального представления (П.бб).
168. Найти производящую функцию хч Р(х,.х) = ~ — Б„(х), и! п=е гле Ь„(х) = Ь~(х) — полиномы Лагерра с и = О. 161. Найти разложение вблизи х = О функций, удовлетворяющих уравнению — +х — +(х — и)у=б гдУ ду т Ихз дх лля нелепых и. 162. Вывести формулы дифференцирования для функций Бесселя (П.18): — (х ",7„) = хх З„ю. Показать, что функция Неймана (П.21) ,у„соз (а'и) — Х „ Гр = а|п (1ги) уловлетворяет тем же соотношениям.
138 Глава 5. Слеццальлме функцяи 5.6. Ответы 149. ~Р)(а; а;ж) = ехр(х). 150. Уравнение имеет два линейно независимых решения уш = х"*, тле 1* - щ ( 1 — м ~ „'~т- сг- 4В г 15!. Указание: Подставить равенство в уравнение (5.7). Воспользоваться тем, что правая и левая часть равенства являются регулярнымн в нуле функциями. (я+ гл)! 152. Ь~ = ~р)( — и,гп+ 1,я). ийи! ,~! 7' 1 153, Н„(я) = (-1) — ~ р) ~-й, —, х ) при и = 20, 1й ~ 'г' ) ( + 1)! Г 3 21„(я) = х(-!) 12г) -7г,—,в ) прин =2я+1. (й+ !)! ! '2' !54. Указалие: Рассмотрим три случая.
!. Если а(*) = 0 имеет два различных корня (например, (П.Зб)) в(я) = я(я — а~)(я — аз), то уравнение имеет три регулярных особых точки и приводится к виду (5.6) после замены переменных (я — а~) (аз — а~) и подстановки р(1) = 1"(1 — !)"Г(1), где и и и — характеристические показатели в регулярных особых точках 1 = О, 1 = Е 2. Если корни трехчлена в(я) совпадают, т.е. произошло слияние двух особых точек и = а~ — — вн то нало перевести иррегулярную особую точку х = в1 на бесконечность с помощью конформной замены переменных а -а~ = —,.
В новых переменных уравнение сохраняет свой вид, однако а(е) = х теперь полипом первой степени. 3. Если в(а) — полипом первой степени, сделаем линейную замену переменных * = в(я), тогла уравнение имеет одну регулярную особую точку х = 0 н одну иррегулярную особую точку е = со (еслн г(а) и с(х) — константы, то точка х = оо 139 5.6.
Ответы является регулярной, но в этом случае уравнение имеет степенные решения). С помощью подстановки у(х) = х" ехр (рх)Р(х) уравнение приводится к виду эг х — Р + [7 — Ьх[ — à — аР = О. ,1 з При Ь Ф 0 это вырожденное гипергеометрическое уравнение (5.7) в переменных 1 = Ьх. При Ь = О асимптотика на бесконечности Р ехр(ж2/оха). Сравнивая с аснмптотикой (5.7), видим, что в этом случае привести уравнение к виду (5.7) можно с помощью замены 1= 4т/ох аи подстановки в (1) = у(й) ехр (-1).
4. Если а(х) = сопзг, то подстановкой у(э) = Д(э)ехр (- / йт — ) г" г(т) т 2в г' коэффициенты уравнения приводятся к виду г(х) = О, а(х) = 1. 2 Выделяя В <Г(х) = (в(л — ж~)) + ве пОлный квадрат и делая его новой переменной л = з/а(х — х ), получаем уравнение для квантового осциллятора —, +(е — х )у =О, ву г у которого одна иррегулярная особая точка з = со с асимптотикой У ехр (жу).
Чтобы свести его к уравнению (5Л), надо сделать неконформную замену х' = 1, которая приводит к появлению регулярной особой точки 1 = 0 и подстановку ~(й) = Р(1) ехр (-1) 155. Указание: Подставьте формулу Родрига дяя присоединенных функций Лежандра (П.37) в уравнение (П.36) и получите уравнение (5.24) на функцию у = (2;) г). Пока:ките, что уравнение (5.24) получается из уравнения (П.35) на полиномы Лежандра после применения к (П.35) операции пз-кратного дифференцирования. 156. Ф(т) = гьы ехр ~- — ~х.~~~(г~) ехр((гпр), я(п + пз)! ~ 2 Вл = 2п+ [из[+ 1 гд 57+ 1, п = О, 1, 2,..., пз — целое.
157. Указалие: Выразить первую производную полинома Эрмита через линейную комбинацию полиномов с помощью (П.50) Точно так же выразить вторую производную полннома Эрмита через линейную комбинацию полиномов. Затем воспользоваться уравнением (П.49). Глава 5. Снециаеьньье функции 158. Указание: Выразить производную по з произволяшей функции з« У(а, х) = ~~~ ( — ) Н«(х) «=о через У(з,х) с помошью (П.54).
Решить получившееся дифференциальное уравнение на У(з, х) и воспользоваться нормировкой У(О, х) = Но(х) = 1. 159. Указание: Подставить интегральное представление (П.бб) в определение пронзводяшей функции У(з, х) = 2 а«Гь„"(х), просуммиро«=о вать ряд и взять интеграл. 160. У(з, х) = ехр (л)го(2«/лх х). 161. Указание: Выделить степенную асимптотику при х = О в виде у(х) = хну(х). Подставить у(х) в уравнение и разложить в ряд Тейлора аналитическую в нуле функцию у.
Сравнивая члены при одинаковых степенях х, найти коэффициенты разложения у(х) в ряд Тейлора. Функция у(х) есть сумма двух линейно независимых решений е„(х) и Х „(х), разложение которых вблизи х = О имеет вил (П.15). !62. Указание: Домножнть разложение функций Бесселя в нуле (П.!5) на хе«н пролифференцироаать. Глава б Асимитотические методы 6.1. Асимптйтнчесиий рййы При решении различных задач возникает проблема приближенного вычисления интегралов, содержащих большие (или малые) параметры. При этом ответ представляется в виде так называемого асинпвивяическего раввхнтяая. Формальный ряд (6Д) называется асимптотнческим разложением Функции у(а) при з зе, если лля каждого значения Аг у(а) — г е„ф„(з) = о(фл(х)) а О при з — хе Злесь ф(з) = о(фи(з)) означает, что отношение ех(()) О при х - зе.
Отсюла следует, что и — ! У(з) — Е а ф (з) ал — — Нш— (6.2) с и фл(з) Формальный ряд (6.1) может быть расхсдяшимся. Асимптотическое разложение зависит от выбора асимптотической последовательности (ф„(а)). Кроме того, две разные функции могут иметь одинаковые асимптотические разложения, если они различаются на такую Функцию ф(х), что лля любых н ф(з) йш — = О. -" ф.(з) Точку зе можно считать бесконечно удаленной, так как для конечной хе можно перейти от переменной з к переменной з' = —,, которая стремнтса к бесконечности при з зе.
Если ф„(з) = —,'., то такой асимптотический ряд называется степенным. Аснмптотические степенные ряды допускают операции, аналогичные операциям с обычнымн степенными 142 Глава 6. Асимлтомические мемеды рядами (сложение, умножение, почленное интегрирование) при выполнении определенных условий непрерывности и дифференцируемости соответствующей функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
