1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3г/2 сйз УУ/2 (х — У4)1 представляет собой уединенную волну (солитон — от англ. зайса~у тчаче), экспоненциально затухающую при б = х — И вЂ” хао (рис. 4.3). Характерная ширина солитона бб 3г Н' однозначно связана с ега скоростью У и амплитудой Т. г Уравнение Кортевега — де Фриза описывает волну в среде с дисперсией, где фазавая скорость зависит от длины волны. Для волны достаточно бальшой амплитуды расплывание волнового пакета из-за дисперсии может скомпенсироваться укручением волны за счет нелинейности. Солитон — это решение, в котором дисперсия и нелинейность взаимно скомпенсированы без изменения формы.
/(х-И) Рис.4.3. Сопитоннае решение урав- нения Кортеьеш — де Фриза прн Р = 1,7 потому ан и распространяется 104. Найти решение типа уединенной бегущей волны уравнения нелинейной струны з ии — и„+(и )„+ и„„= О. Решение. Подставив бегушую волну и = /(х — И) в уравнение нелинейной струны, получим обыкновенное дифференциальное уравнение /(У вЂ” 1)ч-(/) +/~ ~=О, Решение. После подстановки и(х,4) = /(х — Р4) для функции / получается уравнение третьего порядка /м + (б/ — (г)/' = О, которое можно два раза проинтегрировать: з +Зз Ру+С1 — О г +з гз +С1/+Сз — О 2 Чтобм при х аа функция /, ее первая и вторая производные обращались в нуль, следует выбрать С~ — — Сз — — О. Тогда уравнение интегрируется в элементарных функциях.
Решение 94 Глава 4. Автомодельнасть и нелинейные уравнении которое два раза интегрируется у" + у'+ у(! '- !) = С,1+ с,. Функция / обращается на бесконечности в нуль вместе со своими производными, поэтому Сг = Сг = О. Тогда уравнение можно умножить на /' и еше раз проинтегрировать. Получится — / + — / + — / (у — !) = Сг. и ! г ! г 2 3 2 Третья константа также равна нулю для уединенной волны.
Получилось уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его решение существует только при !Р! < 1 (или в размерных единицах скорость волны должна быть меньше скорости звука): !-Рг /(~) = -' 2 г ггг! — 4гг ь сй 1!!5. Одномерное двигкение иалитроиного газа оиисывается системой уравнений Вр + — (ре) =О, Вх В ( Р ) + — =О, р Вх (4.!8) сг( ) г ( Р ) Найти автомодельные решения д и двух разных начальных условий: (а) В начальный момент илотнасть имеет скачок ири х = 0: р(х, 0) скорость равна нулю: о(х, 0) = О. (б) В начальный момент имеется лори ия газа, сосредоточенная в точке х = О.
Газ растекается без изменения неллой массы. Решение. Выполняя преобразование подобия ! — Р1, х Лх, и ои, р — ир, получаем, что уравнения не изменятся, если а аг иг ' и иа (4.!9) р Л' р Л Л 95 4.3. Примеры В этой системе уравнений имеется два своболных параметра. Их число уменьшается до одного разными способами в зависимости от начальных условий.
(а) В этом случае нужно выбрать = 1, поскольку на бесконечности р = ре. Решая (4.19), получаем а=1, Л=р. Ищем решение системы в виде Р=У(я1 ) "=у( 1 ). На г, у получается система обыкновенных дифференциальных уравнений (9-()у'+ 1у' = о, '(У) (4.20) — ~' + (у — б)у' = о, 1 где б = ее ', а штрих означает производную по б.
Тривиальное автомодельное решение получается, если опрелелитель линейной системы уравненид относительно у', у' не равен нулю. Тогда у' = у' = о, (4.21) т.е. у, у постоянны. Условие равенства определителя нулю лает связь межау / и у: (у — ~) = с (г). Отсюда получаем, что для нетривиальных решений у = ( ж с(У).
(4.22) Если условия (4.22) выполнено, то уравнения в системе (4.20) становятся эквивалентными. Найдем решение, соответствующее выбору знака «минус» в уравнении (4.22). Тогла Подставляя выражение лля у в уравнение (4.20), получаем уравнение интегрируя которое, имеем 7+! /У1 7+! — ( — ) = — (У) = А+(, (4.23) ~ ре) где А — произвольная постоянная. Подставляя (4.23) в (4.22), получаем 7 — 1 2 у=- — А+ — с. (4.24) 7 + 1 7 + 1 96 Глава 4. Авшаиодельногьть и нелинейные уравнения Решение, соответствуюшее выбору знака «плюс» в уравнении (4.22), получается изменением в формулах (4.23) и (4.24) знака перед Е на обратный. Сконструируем решение начальной задачи из автомодельных решений (4.23), (4.24) и (4.2!).
Предположим, что решение (4.23), (4.24) с ростом Е справедливо до точки Еь и потребуем, чтобы начиная с нее оно непрерывно переходило в решение (4.21) с г = рь н а = О. Условие непрерывности дает систему уравнений на А,бь, решая которую, получаем (4.25) иЛ=(. Выражая масштабные коэффициенты через Р, имеем () -7)!((»7) -22(1+7) Р2/((«'1) Отыскивая решение в виде Г2Д" 7) у( Г)ГИ )) 2('-1)Д' 1) ( 2- (и+ )) 2 ба=со, А= — са. 7 Интервал, на котором справедливо решение (4.23), (4.24), слева ограничен условием у > О, которое выполняется при Е > 8( — — — ~'$.
Окончательно имеем в момент времени 1 > О: — при х < Е(1 находится вакуум; и = О, р = О; — при (,1 < х < сь( скорость и = — —, (сь — -*,), а плотность определя- ется из (4.23); — при х > сь1 находится невозмушенный газ; о = О, р = рь (рис. 4.4). Р При 1 +О это решение стремится к начальным условиям. Заметим, что полученное поле скорости разрывно на границе с вакуумом. Формально это не противоречит уравнениям (4.18), так как скорость вакуума не определена.
Физически же это означает, -А( О сь( х что вблизи границы газ-вакуум становятся Рис.4.4. Аигаиалельнае леше- сушественными диссипативные процессы, ние задачи )05(а) с начальным не учтенные в системе (4.!8). Им соответпрофилем плотности в внле ствуют члены в уравнениях эволюции, соступенчатой функции держашие пространственные производные второго порядка. Если их принять во внимание, то разрыв сгладится.
Такая тонкая структура уларной волны для одномерных движений может быть определена в рамках уравнения Бюргерса с некоторыми аффективными параметрами. Это замечание относится ко всем залачам подобного типа. (б) Из сохранения массы получаем 4.3. Примера (Уа'+ (Уд)' = О, 'у+! ((7 — ~)д+ 26д'] + дд'+ ут-зу~ 7+1 (4.26) Интегрируя первое уравнение, получаем, что при У -,Ь О значение д(0) равно нулю, когда постоянная интегрирования равна нулю. Тогда имеем 2 д(ь) = ь. 7+~ Интегрируя второе уравнение, получаем у ~С+(7-')'бз1 '" ' гле С вЂ” произвольнаа постоянная. Второе решение системы (426) тривиально: у=д=о.
К сожалению, решения, полученные в предположении (4.25), выражающем сохранение массы газа, сами описывают движение бесконечной либо нулевой массы газа. 106. Построить автоиодельное решение, онисмеаютее растекание газа с отрицательным давлениемы др — + — (р )=о, де дх дв де др — +е — — — =О, И дх дх если е начальний момент всл масса М газа находилась в точке х = О. Ревмиие. Вначале решение точно повторяет решение задачи (б) для у = 2. Вместо (4.26) получается система — -'(уО'+(уд)'= о, 3 — — '((д+ 26д"(+ дд' — у' = о, 3 решая которую, имеем (4.27) 2 д=-6 3 Второе решение тривиально: У = д = О.
У=С вЂ” -6. 1 9 на функции У и д получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений 98 Глава 4. Автамодельность и нелинейные уравнения Решение, описывающее расплывание конечнод массы вещества, имеет вид !х! < 3,/С17/з. о(х,1) = 31 О, /х! > Зз/С177з хз р(,,1) = ~ 91Нз 7* 1 7771 С вЂ” — ~1, !х! < Зз/С!777. О, !х! > Зч'С47/з. =Л)"' Π— 1 О Рис.4.5. Коллапс параболи- ческого профиля плотности, го=2( — 1=0; - 1=1; -- 1 = 1,75; — 1= 1,95) Заметим, что заменой 1 — 1ь — 1 получает ся решение„в котором плотность обрашается в бесконечность в момент 1 = гь.
Такое явление называется коллапсом (рис. 4. 5). 107. Найти асимнтотику лри ! — +со решения у(х,1) неоднородного уравнения эволюции: лз дз л! лхз дхз ! + з — У вЂ” — (1+из)У =— с нулевыми начальными условиями. Решение. ОпеРатоР Е = ех(1+ хз) эРмитов в гильбеРтовом пРостранстве со скалярным произведением (4.29) и его собственные значения отрицательны. Это значит, что если решение нашей задачи Коши принадлежит такому гильбертовому пространству, то в асимптотике 1 — +оо оно не зависит от времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
