1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 40
Текст из файла (страница 40)
266 Глава 11. Применения теории групп в физике Подставляя 6 или 6' в уравнения дви.кенив 2 — — ю Ьг =-26|+Ьг+Ьь, 6 гп — — ы Ьг=Ь! — 26г+Ьз, (11.17) — — ы 63=63-2Ьз+64, 6 2 — — ы Ьл=Ьг+Ьз-264, Ь получаем выражение ыз = з( — для собственной частоты двукратно вы- ть рожденного колебания системы. Вектор 6', преобразуюшийся по представлению Аз, однозначно определяется условием ортогональности к векторам Ь', Ь, Ь'. Ь' = (1, -1, 1, — 1) . Частота, соответствуюшая этой моде, вычисляется аналогично ыз и равна юз=-2 / — ". 346.
Пойти кратности вырождения нормальных колебаний молекулы воды НгО, которую моноло схематически представить себе в виде равнобедренного треугольника (рис. 11.2). Ртиевне. В случае молекулы НтО группа симметрии См состоит из четырех элементов: О: единичного е, поворота г на 180' вокруг оси 1, отражения 6~ относительно плоскости молекулы и отражения 6г относительно плоскости, Н перпендикулярной плоскости молекулы и проходяшей через ось 1 (см.
рис.!1.2). Группа, очевидно, абелева, и каждый элемент образует Ргм !12. Иоле"ула Нг!3 класс сам по себе. Следовательно, имеются 4 одномерных неприводимых представлении с таблицей характеров: ! ! 1 1 ! ! — 1 — 1 1 — 1 ! — 1 1 — 1 †! ! Буква Е здесь и ниже обозначает тождественное предсивление. Из одномерности неприводимых представлений следует, что все частоты колебаний невырожаенные. Исходное представление Ф, в пространстве размерности 3п = 9 имеет следуюшие значения характера: хг(е) т9, Х,(г) = 1+2соья = — 1, ~ь(6~) = 3, Гм(сг) = 1.
267 11.4. Примеры Вычитая из них значения характера представления в подпространстве нулевых мод (поступательное движение и врашение молекулы как целого), для характера представления Ф в колебательном подпространстве с размерностью Зп — 6=3 получим: Х(е)т9 — 6=3, Х(ь)=-1-(-2)=1, Х(6ь) = Зь Х(62) = ! Используя ортогональность характеров неприводимых представлений, парис. П.З.
Нормальные колебания холим разложение Ф в прямую сумму 1 Ф = 2ЕФВ. Все три частоты в этом случае невырожаенные. Равенство единице характера элемента 6~ в представлениях Е и В означает, что во всех трех нормальных модах атомы колеблются в плоскости треугольника (рис. 11.3). 347. Олределить кратности еыролсдення нормальных колейаннй линейной молекулы углекислого газа СОь (рис. 1!.4). Решмее. Линейная молекула СОь имеетдве вращательные степени свободы, поэтому число колеба- О С О тельных степеней свободы равно Зя — 5=4.
ГрупРис.!1.4. Линейная па симметрии Ры, является прямым произведением 1 С, ьй С „группы инверсии и группы С „, которая содержит непрерывную группу врашений вокруг оси молекулы и отражения в плоскостях, проходяших через ось молекулы. Это приводит к двукратному вырождению частоты колебаний, нарушающих прямолинейность молекулы: колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходяших через ось молекулы, олинаковы. Что касается движений вдоль оси, то в этом трехмерном подпространстве действует представление Ф фактор-группы и — — С, группы симметрии, состоящей из двух элементов: единичного и инверсии ь относительно положения атома углерода. Из таблицы характеров этой группы е ь ! ! ! — 1 ХБ Хл слелует разложение нашего исхолного представления отклонений а~омов от равновесия вдоль оси молекулы, характер которого равен Х(е) =3, 268 Глава ! 1.
Применения теории групп в физике Х(1) = — 1*>, иа иеприаолимые Ф=Ет2Е', соотаетстауюшее симметричному (Е) и аитисимметричиому (Е') иор- мальиым колебаниям и сдвигу молекулы как целого (Е*). 348. Определить кратности вмрожгдгния нормальнмк колебаний молтгулм аммиака 1ЧНВ, предстааллютгй собой пирамиду с равпогторонпии треугольникам а основании, в вершинах которого пахадлпкя атомы водорода. Решение.
Группа симметрии Сз„молекулы состоит из 6 элемеитоа, распадающихся иа три класса: единичный е; 2 поворота г иа 120'агс и 240 вокруг вертикальной оси, проходящей через атом 1»Г; 3 отра:кеиия а относительно плоскостей, перпецаикуляриых основанию и проходящих через атом Х и один из атомов Н. Таблица характеров этой группы приаедеиа а решении задачи 291. Исходное представление Ф, а пространстве размерности 4п = 12 имеет следующий характер: 2гг Х,(е) = 12, йй(г) = 1+ 2соа — =О, Х(а) = 2. 3 Вычитая из иих характеры представления а подпростраистае нулевых мол, лля характеров предстаялеиия Ф а колебательном подпростраистае размерности 4п — 6 = 6 получим: 3Г(е)=12 — 6=6, уГ(г)=0, д(а)=2. Разлагая иа пеприаолимые представления, получаем (а обозначениях залачи 291) Ф= 2Т1~10у22нз1.
Таким образом, имеется дае иеаырождеииые и дае двукратно аырожаеи- иые частоты колебаний. 349, Атом с полным моментом,7 =1 помеимп в вершину тетраздра с основанием а виде равностороннего треугольника, образованного атомами другого сорта (см. рис. 11.5). Учитывая глипиие этих атомов, найти кратности выралгдгпий и разбиение по подуровням состояний с разными проекциями момента на ось симметрии (аькота Ь). Решеяие. Группа симметрии Р системы состоит из единицы, даух поворотов иа углы —" и Т» вокруг высоты й тетраэдра (один класс г, гз) и трех отражений относительно плоскостей, проходящих через эту высоту и одну из вершин треугольника осиоааиия (класс а, аг, аг').
Эта группа изоморг(гиа группе бз перестановок трех элементов, ее таблица характеров вычислена а решении задачи 291. Основной гамильтоииаи ииаариаитеи и Инкрсим всегла можно представить ниле поворота вокруг гки на !ВО и отраженна а плоскости, перлендикуларноа зтод оси В нагнем случае х(г)= — и а не — 3, поскольку рассма гриме»ел олномерное движение. 269 11.4. Рримеры Рас.
Илй Аюм а палс, создаваемом тремя атомами друюго сорта, расположенными в вершинах правильного треугольника относительно полной группы врашений О(3), исходное состояние имело степень вырождения 21+1=3. В нем действовало трехмерное представление группы О(3).
Группа У является подгруппой О(3). Характер исходною представления можно найти, пользуясь трансформационными свойствами функций УЛ (В,р), где В и р — углы в сферической системе координат с осью й вдоль высоты тетраэдра: ГУ(г)Уггп(В,Т)=У „,(В,ьг- — ) =е ' 'У (В,р), 3 у ' (11.18) (Г(а)Узт(В,Т)=Уг,„(В,— 1о)=Уг (В,р). Откупа для 7=1 1 /О 0 1~! Х(е)=3, Х(е)= ~~~ е з =О, Х(а)=Тг~ 0 1 0) =1. (!119) ы=-1 100 Используя ортогональность характеров неприводимых представлений, получаем Р=Т тТ (11.20) где Т!'1 — тривиальное, а Т!з! — двумерное неприводимое представление группы Яз.
Таким образом, исходный трехкратно вырожденный уровень расшепится на два подуровня, олин из которых невырожденный, а другой — двукратно вырожденный. Волновая функция, преобразуюшаяся по тождественному представлению, инвариантна относительно поворотов, Отсюда следует, что ей соответствует проекция момента на ось симметрии, равная нулю (нет р-зависимости): Огт = Уьо.
(11.21) Волновые функции двукратно вырожденного подуровня ортогональны к подуровню (1!.21), поэтому они являются линейными комбинациями состояний с проекциямн моментов к! на ось симметрии. 350. Атом с полным угловым моментом г =2 находится в центре равностороннего треугольника, образованного одинаковыми атомами другого сорта. Рассматривая их влияние как возмущение, найти, на сколько подуровней и какой кратности расщепится исходный пятикратно выроэсденный уровень. 220 Глава 1!. 1)римепепил меории групп е физике Решение.
По сравнению с предыдущей задачей появляется дополнительная образующая группы симметрии Р— отражение а относительно плоскости треугольника, еп = е. Этот элемент группы образует класс сам по себе, так как коммугирует с каждым элементом группы. Количество элементов группы Е удваивается ((Е! =!2), так как лля любого элемента группы существует парный, умноженный на а. Отсюда следует, что наряду с классами сопряженных элементов г и а появляются классы г' и а' — результат умножения на а. Так как а коммутирует со всеми элементами е", то в любом представлении Т(а) = жз, где 2 — единичная матрица. Количество неприводимых представлений также удваивается по сравнению с предыдущей задачей.
Рассматривая таблицу характеров как матрицу, мы получим таблицу характеров как тензорное произведение матрицы ('4 и матРицы хаРактеРов гРУппы гуз. Внизу таблицы выписаны характеры исходного представления 23, которые можно получить, если в качестве базиса в 5-мерном пространстве состояний с полным моментом 2=2 выбрать, например, ггм, с проекцией момента на ось симметрии третьего порядка ш=-2,— 1,0,1,2, и воспользоваться трансформационными свойствами (11.18), а также ГУ(а)У~„,(В,уг)=бг(а)Уз„,(-В,тз)=(-1) Уз,„(В,Р), (11.22) Щг ) = Ща)ТУ(г), У(а ) = У(В)Гг(а).
Заметим, что относительно преобразований группы вращений состояние с моментом 2 преобразуется как следующие функции единичного вектора ж=(п„,пз,п,): (11.23) 2 пс 3' где пе =п,ж1пз. Соотношение (9.3) ортогональности характеров неприводимых представлений лает разложение Р = е ш В ю В'. (11.24) 271 1!.4. Примеры Таким образом, исходный уровень расщепился на три подуровня; один невырожден, а два — двукратно вырождены. 351.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
