1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (828611), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Найти правила отбора но четности операторов электрического б и магнитного гм динольных моментов. Ревшние. Группа инверсии О=(е,Р), Рз=е имеет только одномерные неприводимые представления, поэтому функции состояний (Д и Щ могут быть либо четными, либо нечетными, т.е. преобразуются по одномерным представлениям Рь(Р), ВГ(Р)=к1. Так как электрический дипольный момент меняет знак при инверсии, а магнитный не меняет, то Рв —— — 1, Рт=1. Прямое произведение представлений содержит тривиальное представление РгЗВоЗРг=1, если ВуВ;= — 1 для б или ВгВ; = 1 длв гп. Матричный элемент бд (гпд) может быть отличен от нуля, а переходы разрешены, если состояния (у! и (ь) имеют противоположную (одинаковую) четность. и' 352. Найти правила отбора оператора электрического дипольного момента б = ег'. (а) но полному орбитальному моменту Р. (б) по проекции орбитального момента М.
Решение. (а) Оператор электрического дипсльного момента представляет собой вектор, поэтому преобразуется по трехмерному неприволимому представлению Рг группы 80(З), с г =1. Обозначим через Ь момент начального состояния, а через Р' — момент конечного, тогда при Ь > 1 разложение Р =Рс ЗВ~ ЗРь =Рп(Рь ~ ЗВьфВсю) содержит тривиальное представление только при Ь'=Ы к1; Ь> !.
Если же Р = О, то В~ З Вь = Вы поэтому В = Р', З В~ солержит тривиальное представление только при Р' = 1. Поэтому матричный элемент межлу двумя Я-состояниями обращается в нуль. Заметим, что в атоме водорода, солержашем один электрон, переход в состояние с гг'=г запрешен по четности.
Решеиие. (6) Врашения вокруг направления оси квантования з образуют абелеву группу ЯО(2), все неприводимые представления которой олномерны: Вм — — ехр(!М!ь). Поэтому произведение В= В'„г, ЗВм ЗРм содержит тривиальное, если М'=Мч-пг. Матричный элемент проекции дипольного момента на ось квантования б, отличен от нуля, если М'=М, а лля М'=Мж! отличны от нуля матричные элементы операторов бе =4, м!бг, которые преобразуются по представлениям Вь~ соответственно. 272 Глава П. Применения теории грулл о физике 11.5. Задачи 353. Показать, что матричные элементы скалярного оператора между состояниями, преобразующимися по различным неприводимым представлениям, обращаются в нуль. 354.
Доказать, что в разложении прямого произведения лвух разных неприводнмых представлений на неприводимые нет тривиального представления. 355. Найти правила отбора для векторного оператора при наличии симметрии Р>. 11.6. Ответы 353. Укозалие: Использовать соотношения ортогональности характеров. 355. Запрещены переходы между состояниями, преобразующимися по разным одномерным представлениям. Сводка формул по специальным функциям П.2. Г-функция Эйлера Г(х)= ~алл* е ', а Г(х+ 1) =хГ(х), Г(х)Г(1 - х) = —, в(пих (пл) (П.2) (П.З) П.2. Гииергееметрические функции П.2.1.
Пииргеонечричесввя фунниив Пенсе зУг Дифференпивльное уравнение для зУ~(в,Ь;с;х): х(1-х)у + [с-(а+Ь+1)х~ у'-вЬу=б. Разложение в степенной рял возле х =О: аЬ х а(а+1)Ь(Ь+1) хг зУДа,Ь1сх) = 1+ — — + с 1! с(с+1) 2! (П.4) (П.5) Преобразование Эйлера: (П.б) (П.7) П.2.2. Вмрожвеннвя гнпергеонетрнчесвяя фунвння г У, Дифференпнвльное уравнение для ~У~(а„с;х): ху" +(с-х)у' — а у=О.
(П.З) зР~(а,ьгс;х)=(1-х) зУ, с-е,Ь;а,— х-1у Интегральное представление; Г(с) г Ф~ '(1-1)' з ' У>(в,Ь;с;х)= — У и Г(в)Г(Ь) / (1-гх) о 274 Сводка формул яо специальным функциям Разложение в степенной рвд возле а =О: у=х» '~Р~(а-с+1;2 — с;х) Преобразование Куммера: ~у)(а;с;х) =е'~у)(с — а;с;-х).
(П.11) Интегральное представление: !Р,(а;с;х)= ' ' ) 411' '(! — Ф)' ' 'е Г(с) Г(а)Г(с- а) ) ' (П,12) в йес) йеа )О. Асимптотическое поведение: Г(с)... ,Ю',(а;с;х) — е*х' ', Г(а) ~у)(а;с;х) ( — х) ', Г(с) (П.13) П.З. Цилиндрические функции П.3.1. Функнии Бессели .У„н Неймана 2г„ Дифференциальное уравнение ллл Х„(х): х у~+ау+(х -и )у=О. (П.14) Разложение в степенной рла возле *= О: (- ! )" (х/2)»"+" д (х)= ~-~ и!Г(и+и+1) (П.15) Выражение через гипергеометрическую функцию: (х/2)е и / ! .У„(х)= е "~Р~ ~и+-;2и+1;21х). Г(г +1) ~ 2' (П.16) Рекуррентное соотношение: 2и —.У„(х) =.У„1(х)+.У„ы(х). х (П. 17) х'» а х а(а+!) х» »Р~(а;с;х)= !пп»й) а,Ь;с;-) =1+ — — + — +....
(П.9) ~ ' ' 'Ь) с 1! с(с+1) 21 Второе решение; (П. ЬО) 275 П.З. 2(нлиндрические функции Формулы дифференцирования: Ю 2 — У„(х) =Х„~(х) — У„.,~(х), г1х — (х ",7„(х)) =жх ".У„ч~(х). фх (П.18) Интегральные представления: !Юе! Х„(х) = —, / — „+, ехр ~ — (л- -) ) = фу !еяаа-ма агнии Г -«йг-и 2и я (П.19) «!э ,у„(х) = / г1!рсгм (р)соя(ха!п(гэ)) = .у г( +ц2)11,2) .I е 1 тЯГ(и+ 1/2) ( 2 ) ,/ (П.
20) Рис.П.1. Контур интегрирования, обхоая- ший раэреэ гб( — сс,о) а положительном на- правлении Второе решение: 1 Г,(х) = — [.1„(х) сотки-2 „(х)), 5!и а и (П.2!) Асимптотическое поведение: ! 2 г' ия ,7„(х) )/ — соэ ~х — — — -71, х- ьос. !/ях ~ 2 4!' (П.22) В первом интегральном прелставлении интегрирование идет по контуру, начинающемуся и эаканчнваюшемуся в -оо, обходящему точку л=О в положительном направлении (рис. П.!). В интегральном представлении Шлефли (П.19) при целом и остается только первое слагаемое.
В интеграле Пуассона (П.20) Веи> -~1. 277 П.4. Ори огеиалвиые полнили и Интегральные представления: (х/2)" / -и 2 в-02 1„(х) = /! 41е л (1-1 )" -! К„(х)= /йе *'~~с!оиа, Ксх>0, о 1 1!еи>-- (П.31) П.О. Ортегюнаивные пелнномы П.4.!. Полинины Лемаилря Зо) и присоединенные 4!уикиии Лемаиара Р™ Лнфференпнальное уравнение для Щх): (1-х )ул — 2хуу+1(1+1)у=О. ЛифФеренпиальное уравнение для Зв,"'(х): гя! (1 — х )ул — 2ху'+ (1(1+1)- — ~ у=О. (П.35) (П.36) Формулы Родрнга: Р!(х) гя Рл(х) = — — (х — 1), 4' 2Ч! Их' лл!в(х) = (1 — х ) — Р!(х), Первые 3 полинома: Зх! — 1 Ро(х)=1, Р~(х)=х, Р2(х)= (П.37) 1г тмг К„(2,/Я)=- ~-~ ~ х" 'е о' т~'йх, Кер>0, у!ее>0. 2И / Асимптотическое поведение: /ях, /я л„(х) ~ — е*, К„(х) ~ — е *, х — +со. (П.З2) уг л„(х), Ко(х) -1пх, х- +О; (П.ЗЗ) (х/2)" Г(и+ 1) Ки(х) — ~-~), х +О, иФО.
Г(и) /х ! (П.34) 2 ~2/ 278 Сводка 4юрмул ла саециальиым фуикцилм Соотношение ортогональности: ! 2 (!+оп)! дх Ргв!(х)Реь(х) = — — бх. 21+1 (1-гп)! (П.38) -! Рекуррентиое соотношение: х(21+1)Р!(х) =(1+1))ь)!.!(х)+Щ !(х). Формулы лифференцированил: В В (21+!)Р!(х) = — Р+,(х) — — Я !(х), Вх + дх д В (П.48) Щ(х)=х — 1!)(х) — — Р! !(х). Вх дх Производлшие функции: т.р)(х), г<1; 1 г=о !=о Интегральные представления: !ое! ч!*!- — „', 1' (П.42) е 1 ! Р!(соьВ) = — о( ду!(соьВ+ ! япВ сову!) .
о В формуле (П.42) интегрирование идет по замкнутому контуру вокруг точки 1=0 в положительном направлении. Асимптотическое поведение: Р!(соьВ) ьу! —, 1!ил В! > 1. (П.44) !' 2 яп((1+1) В+ 21 ь! йпВ (П.39) — 1<к<!. (П.41) (П.43) Сферические гармоники 2г! Рьв(В,у!)=С!„,е ~Р!~ (соьВ).
Дифференциальные уравнении ллл 1'!„,! , д Ьоуы = 1(1+ !)1! ! 1!т = гпу! до (П.45) (П.46) 279 П.4. Оршегональлые яоаияеми «о ! У) (н)2" (ш')=б(м-и'). шо т=-г (П.48) ПА.2. Полиишаы зргипв Н„ Дифференциальное уравнение для Н„(х): у — 2хр'+2нр=О.
(П.49) Формула Родрига: г Ю г Н„(х)=(-!) е — е х . бхх Первые 3 полннома: Не(а) = 1, Нь(х) =2х, Нт(х) =4х~ — 2. (П.50) (П.5!) Соотношение ортогональносги: Мхе * Н,„(х)Н,(х) = /х2"н1б (П.52) Соотношение полноты: «=О (П.53) Рекуррентное соотношение: Нх.ы(х) — 2хН„(х) + 2нН„Дх) = О. (П.54) Формула дифференцирования: б — Н„(х) = 2пН„|(х). (П.55) Производящая функния: а ехр(2хг — е ) =~~~ — Н„(х). и=а (П.56) где бгп — угловая часть трехмерного оператора Лапласа в сфермческих координатах.
Соотношение ортогональности: ипббВФрК„,(б,тг)2е ~(б,уг) =б~гб г. Соотношение полноты: 280 Сводка формул по спецпалмемм функцккм Интегральные представления: 2ии'Е' е „, 4е Вя к Оп(х) = / дг гие ' соо ~2хг — — ~ о = — / (х+П) е 42. л/ (П.57) П.4.3. Помпюмм Лагерра й"„ Дифференпиаоьное уравнение для й"„(х): хр" +(и+1-х) р'+яр=О. (П.58) Формула Ролрнга 1 й,",(х) = — е х" е". и даи (П.59) Первые 3 полинома: йо(х)=1, й",(х)=и+1-х, (и+ 1)(и+ 2) хт Ц(х) = -(и+2)х+ —. (П.60) Соотношение ортогональности: дее ехей,"„(х)й"„(х) = бми. (П.61) Г(в+ и+ 1) о Соотношение полноты: ( г)ег2 -(е4и1г2'о и(х и * 6(х хг) (П 62) , Г( +и+1) Рекуррентное соотношение: Формулы лифференпнрования: х — й,",(х) = вй„"(х) — (в+и)й,", г(х), — 'йи(х) = -й„"",(х).
х (П.64) " В книге 1ЛЛ741 абабшенные папинамм лигерри апрелеиены аничк (в+1)й,',ы(х) — (2п+и+! — х)й"„(х)+(в+и)й"„г(х) =О. (П.63) Литература [АС79! [Арн78) [Арн84) (Арн89) [Арн97! (Арс84) [Арф70! [БЗП71! ! БЭ73! (БЭ74) [БЭ67) [Биц78! [БК77) [БК98) Айрамавиц М., Сгаигаи И.
Справочник по специальным функ- циям. Мз Наука, 1979. Арнольд В. И. Лополнительные главы теории обыкнояенных дифференциальных уравнений. Мл Наука, 1978. Ариальд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мл Наука, !984. Ариальд В. И. Математические методы классической механи- ки. Мл Наука, 1989. Ариельд В. И. Лекции об уравнениях с частными производны- ми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
