1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Согласно уравнению — лги и г -тр лм у лги — Лги 5 г — лги 3 г гмг Рис. 37. Спектр трехмерного гармонического оспиллятора. (88), квантовое число т может принимать все целые значения между — и и +и. Нетрудно найти число с линейно независимых векторов, принадлежащих каждому значению т; результат приведен в следующей таблице: ! лг! = н п — ! н — 2 ... и — 2а н — (2а + !) п — (2а + 2) ... саг ! ! 2 ... т+! а+! а+2 (89) Однако по свойствам момента импульса каждому собственному значению !я, т. е.
каждому значению !, соответствует некоторое число серий из 2! + 1 векторов с заданными (!т), при этом в Гл. хп Гармонический осциллятор 440 каждой серии число пг принимает 21+ ! целых значений от — 1 до +1. Пусть А это число серий. Очевидно, что с =Хг(1 гз аг и поэтому С(1 = Сг — Сг+Ь Обращаясь к таблице (89), мы видим, что А = ! для 1=а, п — 2, ..., п — 2з, ..., т. е. для всех целых значений 1 четности ( — !)", заключенных между О и п (включая крайние значения) и что 4 = О для всех остальных значений 1.
В заключение отметим, что каждому собственному значению (и+ 3/2) йю энергии соответствует (и+!) (и+ 2)/2 состояний момента импульса (1пт). Для каждого возможного значения 1 существует 21+ ! собственных состояний, соответствующих 21+ ! значениям т от — 1 до +1. Значения, которые может принимать квантовое число 1, таковы: п, п — 2, ..., О, если ( — !) =1 1ч — различных значений), а Го+2 л го+1 и, а — 2, ..., (, если ( — 1) = — ! 1ч — различных значений).
2 Спектроскопическая диаграмма на рис. 37 представляет ос . новное и первые возбужденные состояния трехмерного пзотропного гармонического осциллятора. Полезно сравнить эту диаграмму с соответствующей диаграммой для атома водорода (рис. 36). ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть а и ат — два эрмитово сопряженных оператора, причем (а, ат! = = 1.
Полагаем М а'о. Показать, что: а) (Ж, аэ) = — рая; (Ф, атэ) =+ рата (р целое > О); б) единственными алгебраическими функциями от а н аэ, коммутируюшими с Л', являются функции от У. 2. Показать, что операторы о и ит задачи 1 не имеют обратных. З. Построить матрицы, представляющие операторы 4 и р в представлении (Ф) (обозначения $5). Проверить, чзо они являются эрмитовыми и удовлетворяют условиям коммутации (2). Рассмотреть проблему собственных значений 4 в этом представлении, проверигь, что спектр д является простым, непрерывным и распространяется от — с ло +со, выписать в явном виде собственный вектор, принадлеэкащнй собственному значению О. 4.
Сравниваются свойства квантового осциллятора в состоянии (и) и микроканонического ансамбля классических осцилляторов при той же энергии ($ 10). Показать, что статистическое распределение переменной о в этом ЗАДАЧИ И УИРАЖНРИИЯ квантовом состоянии обнаруживает осцнлляцни, тем более частые, чем боль. ше квантовое число и, н в пределе н -о оо его среднее значение на нескольких периодах стремится к соответствующему распределению для ансамбля классических осцилляторов (использовать метод ВКБ).
5. Пусть Хо, ым По — начальные значения следующих средних величин; Х =(ч ) (Ч) ю = (Рт) — (Р>' П = (РС + СР) — 2 (Р', (Ч» относящихся к волновому пакету гармонического осциллятора. Установить закон эволюции во времени этих средних величин. Показать, что он выражается функциями вида А + Влоз2ы(+ Сз)н2е! и что Х и ы остаются постоянными во времени в том и тольно в том случае, если По=О о'о=аз м Хо. з о 6. Состояние гармонического осцнллятора в нача.оьный момент времени 0 представляетсн минимизирующим волновым пакетом ((с) = (2по) ' ехр ! — (Р) д— у ' (П вЂ” (ч))'1 (й чо Показать, что этот пакез остается минимизирующим в том и тольно в том случае, если о = й>2щы (см. задачу 5).
Пусть это условие выполнено. Показать, что в этом случае )(д) есть волновая функция, представляющая состояние ))> =ехр ( — (Р> д) ехр ( — й (д> РХ (О). Вывести отсюда (пользуясь тождеством (29)), что функция г(д, !) получается с точностью до фазового множителя, если подставить в ((и), вместо значений (д) и (Р) з момент времени О, их значения в момент времени й Определить коэффициенты с, разложения ))> в ряд по собственным векторам гамильтоииана и показать. что о (с„(' е и! ' Е а= —; КЛ Ьы ' ! Екл 2 ((Р>'+ гнзмз (Ф'). 7.
Проверить, что теорема Блоха ($ )2) применима танже и к классическому гармоническому осциллятору и что статистическое распределение величины ад+ БР лля квантового гармонического осцнллятора в термодииамичесном равновесии стремится к классическому распределению при достаточно больших температурах йу л Ды. ГЛ.
Х!1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 442 8. Показать, что гамильтониан частицы с массой и» н зарядом е в постоянном магнитном поле »йГ, направленном по оси Оа, имеет вид т Н вЂ” +и, Ра 2»н где и,= —,(Р„+Р„1 — —,Р41,+ —,М( +„*), 1 з г е е' Показать, что операторы р», 1», Н„, образуют полный набор коммутирующих постоннных движения и что их общие собственные функции в цилиндричесних координатах (з,р,О) могут быть представлены в виде ехр(1йг) )( Х ехр (1ЛО) пх„(р).
Здесь й — некоторое вещественное число; Л=О, ~1, ц-2,... ..., ~ос; и = О, 1, 2, ..., ез. Соответствующими собственными значениями являются йй, ОЛ, (2п+!) — М. 2тс Сравнить зти результаты с выводами задачи П.4, ДОП ОЛНЕНИЕ А ОБОБ)ЦЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ФУНКЦИИ б И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Раздел 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ') Б 1. Понятие функционала и строгий подход к проблеме непрерывного спектра «Функция» б Дирака, применение которой позволяет трактовать непрерывный спектр в полной аналогии с дискретным спектром, по существу не является строго определенным математическим объектом.
Корректное теоретическое исследование наблюдаемых, обладающих непрерывным спектром, требует иной постановки проблемы собственных значений. Собственные функции наблюдаемых в волновой механике встречаются только в форме скалярных произведений с волновыми функциями, т. е. в форме скалярных произведений с функциями, квадрат модуля которых интегрируем. Пусть à — одна яз собственных функций, а ф — произвольно выбранная волновая функция, тогда скалярное произведение (ф г) (обозначения гл.
Ч) мозкно рассматривать как антилинейный функционал ф или, лучше, как линейный функционал ф«. Обозначим последний символом р, тогда по определению Р (и) (ф', Р). Следовательво, теория оперирует ие с собственными функциями нак таковыми, а с некоторыми функционалами, сопоставленными каждой собственной функции. Функционалы волновой механики принадлежат некоторому классу фуииционалов, называемых обобщенными функциями, относительно которых можно с векоторыми ограничениями определить те же операции алгебры и анализа, что и относительно обыкновенных функций. Поэтому можно строго формулировзть волновую механику, рассматривая операторы теории как операторы, действующие на обобщенные функции; при этом собственные решения эрмитового оператора суть обобщенные функции частного вида; это линейные н непрерывные функционалы от ограниченных квадратично интегрируемых функций, которые удовлетворяют уравнению на собственные значения этого оператора.
Пусть Х я Š— две наблюдаемые, спектр которых ради простоты будем предполагать всюду непрерывным и невырожденным, и пусть (5)я) есть матрица унитарного преобразования, связывающего представление (Х) и представленяе (Е). В строгой формулировке квантовой теории (5)х) представляет одновременно: ~) См. !.. Зсйюаг!з, ТЬ'еопе без бн1НЬпиопз, Неппапп (Раиз, 1950— 1951); см. также того же автора, Еез. Мй!Ьобез Ма!Ьеща!!Пиеа бе РЬуз!йпе, Сопгз бе ЗогЬоппе (Раг!з, 1955); см.
также В. С, Владимиров, Обобщенные фуннции з математической физике, «Наука», 1975; В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, «Наука», 1971, ДОПОЛНЕНИЕ А $2. Определение обобщенных функций Обозначим с помощью <~(хь хь ..., х ), или просто ~р(х), некоторую функцию ~ непрерывных переменных «ь ..,, х„, отличные от нуля значения которой принадлежат ограниченной области изменения этих переменных и которая дифференцируема по этим переменным сколько угодно раз (бесконечно дифференцируемая функция с ограниченным носителем). По определению обобщенная функция Т[гр] есть линейный и ненрерменмй функционал функций гр. Линейность означает, что для всех линейных комбинаций Л1ф~ + Лзфз имеем Т[Л|ф~ + Лз~рл] = Л1Т [ф~] + ЛзТ [фе!.
Непрерывность же цзначает, что для асиной последовательности фп ф„ ...,~рн ... функций р, такой что 1пп фг = ~р, имеем г.ь ))ш Т [<р [ = Т [<р]. ! Всякой локально интегрируемой функции [ (т. е. функции, интеграл от которой ') по конечному интервалу существует) соответствует обобщенная функция й определяемая скалярным произведением [ [м] = ~ [(х) еЗ(х) йх =(ф', [). Две локально интегрируемые функции определяют одну обобщенную функцию, если они равны почти всюду (т. е. всюду, кроме множества точек меры нуль), В частности, волновые функции волновой механики (квадратично интегрируемые фуииции) определяют обобщенные функции. Функции 1/х не может соответствовать никакой обобщенной функции, так как эта функция не иитегрируема в точке х = О.
Но можно определить обобщенную функцию Р— [ф] о.р. 1 йх, 1 Г ф(х) х х (2) где символ о.р. обозначает главное значение интеграла в смысле Коши: з) Интегралы, о которых идет речь, суть интегралы в смысле Лебега. Интеграл Лебега сводится к интегралу в обычном смысле, т. е. к интегралу Римана, каждый раз, когда последний имеет смысл, однако, интеграл Лебега может существовать и тогда, когда интеграл Римана не определен. а) множество собственных решений Х в представлении (Б), т.
е, некоторую последовательность функционалов от функций переменной $, отмечаемую непрерывным индексом х; б) множество собственных решений Я в представлении (Х), т, е. некоторую последовательность функционалов от функций переменной х, отмечаемую непрерывным индексом $ В этом разделе мы дадим точное определение обобщенных функций и укажем без доказательства их основные свойства. оиовщиннын огикции «Функция» Днрака 6 определяет обобщенную функцию согласно разснству 6 ! р! = р (о). (6) дналогичным образом «функция» 6(х — х«) определяет обобщенную фуннцию 6, [ф[-ф(хс) (4) 3 а и е ч а ни е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
