1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 90
Текст из файла (страница 90)
О, — 1, — 2, ..., то существует только функция г р (а — р + 1, 2 — рз г). Если р = 2, 3, ..., то ! — 3 существует только функция Р(а, (1; г). 458 ДОЛОЛНЕНИЕ Б плоскости 1, такой, что функция го(1 Г)Р сее принимает одинаковые значения на его концах, то интеграл егг(а-! (1 1)8-а-! у( (4) г является частным решением уравнения (1).
Предположим, что а не целое, () = Ь (Ь целое > О). Замкнутому контуру Гз, охватывающему точки ! = 0 и Г = 1 (рис. 38)'), соответствует решение типа (4). По соглашению зги à — аги(! — 1) = 0 на той части контура, где) изменяется вдоль действительной осн между 0 и 1 в направлении возрастающих й Это решение, будучи целой функцией х, пропорционально г(а, 8; г). Рис.
38 Рис. 39. Коэффициент пропорциональности получается при разложении з*' под знаком интеграла н применении формулы м(х у) Г(")Г(у) (1 ея!в) ' $(х-!(1 г)з-!лг (б) Г (х+ у) г, (х+ у целое, у не целое). Находим (! е-ыа)-~ ( ) ззгг -! П г)ь- -! Уг (8) Г (а) Г (Ь вЂ” а) д г Двум петлям Г~ н Гь обходящим точки Г 0 и ! 1 соответственно (рис. 39)з), отвечают два решения типа (4), нерегулврные в начале, именно БГ ( „1. ) (1 з-тя!а) ! Г (Ь) ~ езгти ! (1 !)з-а-! уг (у) Г (а) Г (Ь вЂ” а) г (г 1, 2). Условие сходимости интеграла есть и/2 я. агй з + т + 2лм ( За!2 (т — аргумент бесконечной точки на петлях Г~ н Гз).
з) Контур Ге обходится в положительном направлении. з) Г, н Гг проходятся в положительном направлении. 459 спенийльнын Фу!!ниии По соглашению ч): — и < ага г < л, — и < т <+и (знак т =знаку агав). В конце петли Г1 н в начале петли Гм агн(=т, т — н, если О<я<и, агн(1 — 1) = т + и, если — и < г < О. При этих условиях йг~ (Ь вЂ” а, Ь; — г) е ' йг, (а, Ь; г), йгз (Ь вЂ” а, Ь; — г) = е з(р1(а, Ь; г) (- а < аг8 г < + и; — и < а си (- г) < + и); р (а, Ь; г) йуг(а, Ь; г) + У7з (а, Ь; г).
(8а) (86) (9) Асиипготичесхие разложения решений йгг и йгт (они получаются мета. дом скорейшего спуска): Г(Ь) и~я Г(п+а) (Р~(ш Ь ) 1,1„„Г(Ь,) ( — г) "~ Г(„) Х я-о Г(н+а-Ь+1) (-г)Я Х Г ( а Ь + П л ! ( Р О ) (- и < зги( — г) <+ и) йтз(а, Ь; г) ' — е ги Г(Ь) з и зчт Г(и+1 — а) !г!+" Г(а) Ег Г(1 — а) Х д~ Г(я+Ь вЂ” а) г Г (Ь вЂ” а) л! (-и < агйг <+и). $2. Полнноыьг Лагерра Определение '): йя й гэ зз " (е-ггз) (й ( !)й " (й, р О, 1, 2, ..., оз) (12) 4) Это соглашение предполагает йпг чь О.
Чтобы определить йг, и (Ггз иа действительной осн, необходимо осуществить аналитическое продолжение. Прн этом результаты будут различными в случаях 1шг- О+ и 1шг-ио-. ') Некоторые авторы символом ьр обозначают полинам ( — 1) ь й в пай й й ших обозначениях. ДОПОЛНЕНИЕ В цбо г. есть полинам степени р, обладающий р нулями между О и + оо: » г'. (г) = » ((р+ Ф)!)э рви Р( — Р, й+1;г)— Р -~( 1). НР+»)!)э (р з)!(й+з)!з! -з В частности, Е~ ~И дифференциальное уравнение (Лапласа) дэ д ч г — + (» + 1 — г) — + р~ г'.
= О. дгг дг Р (14) Производящая функции г !Р ,, -~~' — Г.Р»(г) ((!) С 1). (15) (! — 1)»+' (р+ й)! р-э Соотношения ортонориированности: »»»„ПВ+ »)!1', е г г р. о (16) ф 3. собственные функции водородоподобнмх атомов (теория Шредингера) Введем обозначения аэ дэ а=— Я дш'еэ ' а, — радиус орбиты Вора, де — заряд ядра, т' — приведенная масса электрона. Собственные значения энергии: Уел )э ш'сэ 1 Яеэ ( н Йс 2л' лэ 2а Нормированные на единицу собственные функции в сферических «оординатах выражаются формулами: Л~ р ( 2 ) ((У) 2 (л — Х вЂ” 1)! л' [(л+!)!Р ' р„,(х) х'е "'(.энг+г! э(х) (17б) (л 1, 2, ..., оо; ( О, 1, ..., л — 1; и= — (, — !+1, „., !). снниилльнын еннкции 461 — '+, ' (г*> — (2з+ !) а(г*-')+ — ' [(21+ !)'- зз]а'(~-з)-О (з ) — 2! — 1); ( — /- — ' ( — /- г / пза ' >~ге / (21+ !) п'а' ' (г) — ]Зп' — 1(!+ 1)] а; (гз)= — ]бог+ 1 — 31(1+!)] паап.
1 1 2 2 Таблица первых радиальных функций: (--.' -"'(-.)) ды=2е и, бз — ~1 — — ) е о>з, бз — ре РГ«, Ч/2 г р ч ц/6 2 к 2) ' зя 12 2ч/3 г 2 2 д = — ~~1 — — р+ — рз) е п~ 9 к 3 27 ) д = ~р — — )е о>з н = — ре з/. Зц/6 г рзч 2Ч/ЗО з — 3 зз 27 к 6 ) ' а> 966 п 3 9 4. Чисто кулоновская волна Пусть фс(г) есть стационарная волновая функция рассеяния частицы чисто кулоновскнм потенциалом 22'ез/г, й = гао/Й = волновое число, о = начальная скорость.
Пусть также Ея'ез у= Ьо (18) Тогда: фе=е ' Г(1+!7)е Р( — !у, 1; й(г — «)) фг+ фл' я' — и е Г (1+ гу) е ~>р> (- 17, 1; й (г — а)), фа е Г(1+!7)е йгз(- 17, 1; й(г — «)). Аспмптотичеекая форма: еззз+гт>пз (г з>) ! .! у > З >г-з>-ь чч й (г — «) ег >зг-т >п ззг> ( ( 1 + ту)з фазе-з>-ью/з( ) г зс + й(г — «) + ''' 1' (19) (20) (21) (22) (23) Приведем также рекуррептпое соотношение между средними значениями степеней г, относящимися к одному собственному состоянию (и!ш): ДОПОЛНЕНИЕ В где е (л(0) = — е у ст со (зсп~ )+зсоа 8 2Й зспз— 2 Г (1 + !у) 1'(1 — су) ' Поведение вблизи начала координат: (26) (26) Р (О)=е х Г(!+!у)„) Р (О)(а=в з 2ну е т — 1 (2У) 5 5. Сферические кулоноиские функции с(иффереици льнов уравнение. В сферических координатах проблема рассеяния нз ГЛ 4 приводит для каждого значения 1 момента импульса к радиальному уравнению (28) Сферические кулоновские функции являются частными решениями этого уравнения.
Это функции аргумента р = ег. Они зависят от энергии частицы через й и у. Определяют регулярное ( сс+') в начале решение Ру(у, йг) н нерегулярные решения Ос, и)+! и ис ! (сингулярность типа 1/г'). При помощи замены ,со с+со с с 2 = — 2ср, уравнение (28) сводится к уравнению Лапласа: [.. 12 б 2 — + (21+ 2 — 2) — — (1+ 1+ !у)1 ос = 0, регулярное в начале решение Р(1+ 1+ су, 21+ 2; 2) и два нерегулярных ре.
щения (Рс, з(1+ 1 + су, 21 + 2; 2) которого нам известны. Определения и соотношения между функциямис Р (у; р) =с,есор+'Р(1+ 1+ су, 21+ 2; — 2ср) = с в 'ор'+'Р(!+ 1 — !у, 2!+21 2!р), (296) и(с+!(Еб р) ж2!е сесе "р+ йтс(1+ 1 ~ су, 21+ 2; ~ 21р) = (30а) =~2!Е ССсВ~~ОР+ йтз(1+1~12, 21+2; ~21Р), (Зоб) Ос(гн р)= — (и!с+се с+ ис 'е '). 2 (31) Величины сс н сгс (кулоновский фазовый сдвиг) являются следующими функциями уб с = 2се с х т!Г(!+!+ту с= (21+ Пс с а агк Г (1 + 1 + су) (32) спнциьльиын еункиии 463 для С 0 оо агу!'(1+ Су), (32а) вля ! сь 0 и,= ос+~ага!6 —. (32б) у (21+ 1)11 '.и. ~'+, 1 ° з с Р и П вещественны, я с иСС ' — — и)+1", Рс = — (асс+'е с — и~ )е с), 21 иС+' — — е '(ПС ~ СРС). Асимптотические формы (г-ь со, р» 1(!-1-1) -1. уз): Рк Р з(п р — у1п2р — — +о 1, с р.ь 2 !с' (33) (34) (36) (38) (40) Сс соз(р — у!п2р — — + о), йс е+ 2 с Ф (36) и + ехр ~С р — у 1п 2р — 11 (Расходящаяся (37) оь» 2,с 1 волна), исс 1 ехр ~- с (р — у 1п 2р !'т )1 (сходящаяся Поведение вблизи начала координат (г-и 0): Рс — ебс + (1+ — р + ...1, (39) О (ур!п р), если С 0; ~т) Общее поведенае функции Рс.
Когда Р Растет от 0 до оо, фУнкциЯ Рс Растет сначала как Рсь', затем асс быстрее (экспонеициально) до точни р у+ ~(ус+!(!+1), затем функция бесконечно осциллирует между двумя зкстремальиыми значениями, которые асимптотическн стремятся к +! и — 1; период осцилляцнй асимптотически стремится к 2п. Рекуррентные формулы: (21+ ф+ '('+ 1)|Р,- !Ч/У + (!+ 1) Р+ + (!+ 1) ГТ+Р Р (! чьа), (41) ~1+ — у-) РС =* ( — а + — + — ) РС (! ЧЬ 0) (43) ДОПОЛНЕНИЕ В 464 откуда (1Ф 0) 1 Ою" с-с "(О(-( = (в /1 ! э (45) Если у = О, то с точностью до множителя р получаем сферические функ.
ции Бесселя; рс (01 Р) = Р)с(Р), О, (О; Р) = Рнс(Р) и((+с(0; р] =рь((+1(р), и(с с(0; р) =рь» 1(р) (определение 11, ас, Ь»~~ см. в следующем разделе). (46) Раздел П. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 5 6. Сферические функции Бесселя Дифференциальное уравнение, В сфеРических координатах уравнение Шреддигера для свободной частицы для каждого значения 1 момента импульса приводит к радиальному уравнению э) ! дт 1(1+1)Ч Г с(э 2 (С 1(!+1)1 — — р+!в Р ар Р' .» ' ».ар' ф =1 —,+ — — +!в Рз (с= . 1~ с 0 (47) В комплексной плоскости 1, имеет существенно особую точку в бесконечности и, в общем случае, полюс порядка 1+ 1 в начале р О. Сферические функции Бесселя являются частными решениями этого уравнения; оии определяют регулярную ( с') в начале функцию сй (собственно сферическую функцию Бесселя) и нерегулярные решения а( (функция Неймана), Ь»+1 (функция Ганкеля первого рода) и Ь» 1 (функция Ганкеля второго рода).
Определениес); 1'(Р)=Ы '+ (Р) "(Р)=(-') ( — ) 1-- (Р) 2Р (Р) = ню (Р) ш ссс (Р) (1 обозначает обычную функцию Бесселя порядка т)С 1, и лс вещественны, 1,(-1 1,(+1' (48) ') Уравнение (28) для частного случая у 0 получается при р = Ьг, ') Большинство авторов символом а~ обозначают ту же самую функцию, но с противоположным знаком, а в качестве сферических функций Гаикеля первого и второго рода принимают соответственно функции Ь»'1 = — (Ь(С+1 и Ь»ЗС = СЬ(ю->. Эти соотношения остаются справедливыми, если заменить Р~ на О, = аР, + + ЬО, (а, Ь вЂ” произвольно выбранные коэффициенты, не зависящие от 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
