1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(33') ° О В более общем случае, если [(хь хь, „х ) — функция л переменных хь ..., хм то ее преобразование Фурье имеет вид У(иг..., и„) У [Л= +ОО +Ф го чОО Г ОО ОО а обратное преобразование определяется формулой [(х,..., х„) — У' ' [У[ +ОО ововщнинын ФункЦии 451 При условии, что преобразование Фурье 1 существует, имеем У (1 (сх, ..., сх„Ц = — „Р ~ —, ..., — ~) (с(" с с (35) (с — произвольная постоянная). При тек же условиях а †! [Р (си, ..., св )] = )с1" с с~ (35') В дальнейшем мы без локазательства укажем основные свойства преобразо- ваний Фурье функций (или обобщеинык функций) одной переменной.
Все ре- зультаты без труда обобщаются иа случай любого числа измерений. 3 12. Абсолютно интегрируемые функции 1 (х) Всякая абсолютно интегрируемая функция Пх), ~ ) 1(х) ~ Ых < со, Э обладает преобразованием Фурье Р(и) =У [Д. Преобразование Фурье Р (и): (а) непрерывно; (б) ограничено: 1Р(и)! «~ ~ 1((х)1мх при любых и; (в) обращается в нуль иа бесконечности: Р (и) — ~ О. 1и1-ась Если 1(х) щ раз непрерывно дифференцируема и ее щ производных абсолютно интегрнруемы, то дг Ь1' ') -(гав)"' Р(и).
(36) Если х"1(х) абсолютно интегрируема, то Р(и) т раз непрерывно диффереицируема и Ров1 (и) =м (( — (ах) )(х)). (37) $13. Функции )( (основные функции) Символом т(х) будем обозначать бесконечно диффереицируемую функцию, асимптотически стремяшуюся к нулю вместе со всеми своими производными, быстрее любой степени 1х): (х! Хрл1(х) — — ь О какими бы нн были гл и й 1х1+а Свойства обратного преобразования У -' получаются из предыдущих, если во всех формулах заменить 1 на — й ОБОБШЕННЫП ФУГ!КЦИИ (йй) (40) 3'. Производные преобразуются согласно закону: х" Х г (г ) и' (( (пх) (Гх) 1 й'' (41) (42) 5 16.
Каадратично интегрируемые функции Квадратично интегрируемые функции определяют обобщенные функции медленного роста. Если условиться не считать различными дне функции, равные почти всюду (т. е, всюду, кроме множества точек меры нуль), то свойства преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста распространяются на квадратично интегрируемые функции. Но к этим свойствам добавляются еще н свойства, специфические для квадратично интегрируемых функций. Основные теоремы таковы: Теорема 1. Если 1(х) — хеидратично ингегририеная функция, го ин. теграя .~.
1 ( — ) ~ е ' ""((х) Ых -1 Все свойства обобщенных функций, указанные в разделе 1, распростра- няются на обобщенные фуннцни медленного роста. достаточно всюду вместо функций о подставить функции )(. В частности, обобщенные функции мед- ленного роста бесконечно дифференцируемы и все их производные являются обобщенными функциями медленного роста. Квадратнчно интегрируемые функции, функции, ограниченные во всем пространстве, и вообще все локально интегрируемые медленно растущие функции 1(х) (для которых можно найти два таких положителькых числа А н а, что )((х) ) < А)х(" прн (х)-ьос) определнют обобщенные функции мед- ленного роста; б, б„н все нх производные являются обобщенными функ.
циямн медленного роста. Решения задач волновой механики на собственные значения являются линейными н непрерывными функционалами волноных функций, т. е. квадра- тично интегрируемых функций ф(цп ..., це). Следовательно, это суть линей- ные н непрерывные функционалы функций у., т. е. обобщенные функции мед- ленного роста.
Интерес к обобщенным функциям медленного роста связан с замечатель- ными свойствами их преобразований Фурье. Если (1, есть обобщенная функция медленного роста (определенная на функциях типа Х(х)), то; 1'. Ее преобразование Фурье 1', и обратное преобразование Фурье существуют всегда и являются обобщенными функциями медленного роста (определенными на функциях т(и)). Они определяются формуламн: Ъ „[Х) б (г„(х) - и„(КХ!, Р И=~-'(У,Ы=(,!к-'21. 2'. Преобразования У и о ~ взаимны: и-'н.(у ~-')г = и, у"~ (г ви ~(г ~ =(г.
ДОПОЛНЕНИЕ А сходится в смысле среднего квадратичного ч) к квадратично интегрируемой функции; +$ !Р Р(и) = Уг(х) ( — ) !щц ~в "")(х)й». -! (43) Теорема П. Соответствие между 1(х) и Р(и) взаимно в том смысле, что ((х) =Я' ! Р(и) = ! — ) !щц ! егаик Р(и) йи ч 2п к+и г (43') Для всякого значения х, в окрестности которого 1(х) имеет ограниченную вариацию, ! (х + е) + ! (х — е) (44) ь-ьь 2 иначе говоря: ~ у'(х) ((х) йх= ~ П'(и) Р(и) йи. ') Сходимость в смысле среднего квадратичного (менее строгая, чем про. сто сходимость) функции ~р(и,$) к ~р(и) при $-ьХ означает, что + !нп ~ (ф(и, $) — ~р(и)(зйи О; с+Х иначе говоря, ф(и,й) стремятся к ф(и) почти всюду.
Эту скодимость обычно обозначают символом; 1щцф (и, $) = ф (и). й+Х Теорема Ш. Пусть квадратично интегрируемые функции 1(х) и Р(и) являются фурье-преобразованиями друг друга. Если производная )'(х) есть квадратично интегрируемая функция, то ее преобразование Фурье 1слир(и) есть квадратично интегрируемая функция и, наоборот, если )пир(и) есть квадратично интегрируемая функция, то !(х) дифференцируема и г'(х) есть обратное преобразование Фурье от!мир(и). Аналогичное соответствие связывает пару х)(х) и (!/а)Р'(и). 3 а меч анне. Даже если !(х) как функция не всюду днфференцируема, т обобщенная функция (медленного роста) ) существует всегда; ее преобрах зование Фурье есть обобщенная функция (медленного роста) ксиР(и); как функция, вта последняя может не быть квадратично интегрируемой функцией.
Преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение кнадратнчно интегрируемых функций (Парсеваль). Теорема ПГ. Если р(и) и 0(и) являются преобразованиями Фурье квадратично интегрируемых функций ((х) и у(х), то (й,!)=(а, Р), (45) ОБОБШЕННЫЕ ФУНКЦИИ 456 Таблица преобразований Фурье Р(и)=( — ) л( е Киих)(х) Ех I и'112 Г (,2п) К (х) ( — ) ~ е(ии"Р (и) Еи -ео Ц) ) с(Р(си) К(-х) К' (х) Р (х) Р(- и) Р' ( — и) 1(- и) — Р' (и) а КаиР (и) х) (х) г (.) ((х - хе) е(ииех) (х) Е КиихеР (и) Р (и — ио) иене /у е т("1 К 1(2Т е ""Е (х) = К 2/2у е тХ х ° 0 О, х(0 3 а м е ч а н и е. Функнии четырех аоелелиих примеров иермироеаны иа елиииму: + е +: 11(х) Рих ~ (Р(и) Рси-!, (Ф)'"' ' Е(х+ а) — Е(х — а) 2/2а ( = (х)~а) ) у)2а О, (х)>а ~ '-) ~ 112 2н' =) е " (Вен>0, К(енн>0) н4и ( ) аа ) 112 н(папи — — (а действ.
> 0) н! ааи ДОПОЛНЕНИЕ А Частным случаем (/ = у) этой теоремы является сохранение нормы +М +ь ~ )/(х) )г йх= ~ )Р(и)('йи. (4Ь) 5 17. Преобразование свертки По определению сверткой двух функций называется выражение (если оно существует): + Ю / ° у= ~ /(х — г)у(г)йй Можно также определить ~) свертку двух обобщенных функций. В частности. Ь ь Т Т (Т вЂ” некоторая обобщенная функция), +~ Ь ° / = ~ Ь(х — /)/(г) й/=/(х) (/ — некоторая функция).
Образование свертки является коммутативной операцией: /ей = у*/. Имеет место следующая теорема: Теорема ч/. Свертка двух функций /(х) и у(х) (при условии, что она существует) имеет преобразованием Фурье выражение Ч/2п/а Р(и) 0(и), где Р(и) и 0(и) являются иреобраэованиями Фурье /(к) и у(х) соответст- венно; зто преобразование взаимно. В частности, имеем: Те орем а ч/'. Если /(х) — квадратично интегрируемая функциц у(х)— абсолютно интегрируемая функция, Г(и) и 0(и) — их преобразования Фурье, /2я то свертка /ад и произведение,ччг — Р0 являютея квадратичио иятегри- 'Ч и руемыми функциями, причем второе яеляетея преобразованием Фурье первого, ДОПОЛНЕНИЕ Б СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФОРМУЛЫ Раздел 1, УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА, ПОЛИНОМЪ| ЛАГЕРРА, КУЛОНОВСКИЕ ФУНКЦИИ 5 1.
Уравнение Лапласа и вырожденная гипергеометрическая Функция Уравнением Лапласа называется уравнение тика йз й г — + (() — г) — — а1 ! (г) = 0 йг' йг (здесь а и Р— произвольные комплексные постоянные). Решение уравнения (1) можно искать в виде степенного ряда Обычно вырожденной гипергеометрической функцией вазывается ряд вида Р(а, ()1 г) = 1+ рз-' — + а г а(а+!) Р П Р (Р + 1) 2! — + О Г(а+ и) Г(()) гв 2 -Х Г (а) Г (Р + о) н( ' -е Этот ряд; 1) вполне определен для произвольных а и р при рбр — р (р целое ~~ О); 2) сходится во нсей комплексной плоскости г; 3) ивляется полиномом степени р (р целое ~ О), если а = — р, имеет существенно особую точку на бесконечности, если а це — р; 4) удовлетворяет соотношению Куммеро: Р(а, (1; г) =егу(Р— а, (1; — г).
(3) Нетрудно видеть, что если функции Р(а, !); г) и г! 3Р(а — р+1, 2 — (); г) существуют '), то они являются двумя линейно независимыми решениями уравнения (1), По методу Лапласа решения уравнения (1) могут быть также представлены в виде контурных интегралов. Если Г некоторый контур в комплексной ') Если р ие целое, то зти две функции существуют и различны. Если Р = 1, то онн тождественны друг другу, Если (1 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
