1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 85
Текст из файла (страница 85)
(42) А !!. дВижение минимизигуюшего ВОлнОВОГО НАкетА 427 Средние значения !7' и р' вычисляются без труда, если выразить зти операторы через а и ае (уравнения (24) — (25)) и использовать соотношения (17 — 19). Получаем (п14е(п) = — (и1(а!а+ аа!) (и)= —;, в Еп (и!Р 1п)= — (п((ата+аа~)(и)=тЕ„.
(44) (43) Принцип соответствия требует (см. задачу 4), чтобы в пределе и-ь со выражения для средних значений (42) — (44) переходили соответственно в классические выражения (39) — (41) для того же значения энергии (Е„= Е„). Тот факт, что искомое равенство осуществляется при любых значениях п, является свойством, характерным именно для гармонического осциллятора. Заметим, между прочим, что в состоянии ~и) Ьр Ьу=Е„/ГВ=(п+ 1/2) й (45) в согласии с соотношениями неопределенности координата-им- пульс.
$11. Движение минимизирующего волнового пакета и классический предел Рассмотрим волновой пакет в одном измерении: 1(д)=( — „„) ехр~й.(р)д — —,(!7 — (!7))~1. (46) Это минимизирующий волновой пакет (задача 1!1. 4); он представляет частицу, локализованную в конфигурационном пространстве около среднего положения (д) со среднеквадратичным отклонением Лд = (Ь/2т!В) в и локализованную в пространстве импульсов около среднего значения (р) со среднеквадратичным отклонением Лр = (7!ть!!2)'*.
Если движение частицы определяется гамильтонианом Я, то можно показать (задача 6), что волновой пакет остается минимизирующим и осциллирует с частотой ГВ. Точнее говоря, статистическое распределение р(д,г) величины !7 изменяется по закону р(4, 1) =(! (4, 1) 1'=( — д) ехр[ — -~"-(4 — (1)!)Е1. Следовательно, оно осциллирует, не деформируясь, причем центр распределения (д)! осуществляет гармоническое движение, предсказываемое классической теорией. Статистическое распределение р ведет себя аналогичным образом. 42а ГЛ ХИ.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В противоположность этому статистическое распределение наблюдаемой ка остается постоянным во времени. Вероятность найти систему в состоянии с энергией (и+ 1/2)е!и в каждый момент времени равна (задача 6): —,( —,) е где использовано обозначение Е„„= — ((р) + л! га (!/) ). Закон распределения вероятностей позволяет найти среднеезна- чение энергии Екл (Е)=е "~ 7 '(п+ — ) йга —,( — ") =Е + — (47) и 0 и среднее квадратичное отклонение ЛЕ = Ч/(лаь/ — (уе)' = ч/Д!аЕкл.
(48) Рассматриваемый волновой пакет хорошо иллюстрирует соотношения неопределенности. Он выбран таким образом, что произведение неопределенностей Лр.Л!/ постоянно равно своему минимальному значению л/2. Что же касается соотношения время-энергия, то ЛЕ можно сравнить с промежутком времени ти, характеризующим ритм эволюции статистического распределения 7. Пусть ти есть время, необходимое для того, чтобы центр распределения (!/)! сместился на ширину распределения Л!/. Поскольку скорость центра пакета равна (р)!/лг, имеем Величина т„периодически проходит через минимум, когда (р!) достигает своего наибольшего значения ~'2тЕ„„. В этом случае имеем г! 2 'к Ь!идкл ) Используя (48), получим тииз!и ' ЛЕ /!/2 (49) в согласии с соотношением (!/Ш.
47) неопределенности время- энергия, % 12. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ Лмплитуда А колебаний центра волнового пакета выражается классическим соотношением (38) А = ( —,"; ) В пределе, когда эта амплитуда велика по сравнению с протяженностью пакета («/2н2ы)'а и в той мере, в какой можно пренебречь длинами порядка («/2л2ы)'А, классический образ точечной частицы, осциллнрующей по закону (д)1 дает удовлетворительное описание явления. Этот предел является пределом достаточно больших квантовых чисел в согласии с общим принципом соответствия. Действительно, он реализуется при Е.. » » «а2, но число квантованных уровней энергии, дающих заметный вклад при образовании волнового пакета, по порядку величины равно Отношению /АЕ к расстоянию между уровнями, т.
е. дн р 112 «;=( — '";)» Конечно, указанный классический образ предполагает также, что дисперсия по импульсам Лр =(«л222/2) ч и дисперсия по энергии ЬЕ = («аЕ.,)'а рассматриваются как пренебрежимо малые величины. Что касается энергии, то с указанной выше точностью (Е) Екл~ действительно (Е) — Е = «в/2 СЛЕ, Поэтому мы можем приписать системе энергию Е„соответствующей классической частицы. ф 12. Гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии Рассмотрим'гармонический осциллятор, находящийся в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т. Его динамическое состояние является смешанным н согласно закону Больцмана описывается матрицей плотности е-ЗГ1АГ р (50) ЗР 2-Яыг ' Изучим свойства такого смешанного состояния.
Вычислим сначала статистическую сумму Я (р) = 8 р е-иле, 430 ГЛ, ХИ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Вычисление следа легко производится в представлении, где дна. гональна наблюдаемая эа: и ()!) — ~ Е-П (и+ И2! Аи и Ням)2 ~ (Е-П "в)е а-е и Е Откуда, суммируя геометрическую прогрессию в правой части уравнения, находим Пааа2 ~ (н) = , ' „„.
(51) Средняя энергия (Е)= Зррга получается из статистической суммы с учетом уравнения (у'П1.84). Имеем 1и Е = — — — 1и (1 — е и"") . >йв 2 откуда !р ($) = Зр рЕ а!"а+не!. Вычислим втот след в представлении (Я, где оператор р днагонален. Найдем сначала величины и„(е) = (и 1 ем<па+не! (п). Имеем, учитывая (24 — 23), пч + !Зр =- уо -1- у'от, (33) (34) (Е) = — — ! = — С1)г — = — + „,А, (52) д)ля ! Ьв Ьв Лв ав др !и ияг 2 24Т 2 е~~~а~ — ! Следовательно, для средней энергии квантового осциллятора по- лучаем формулу Планка (с точностью до слагаемого йю/2). При очень низких температурах (яТ(( йв) осциллятор почти с полной достоверностью находится в своем основном состоянии (Е) йв/2.
При Очень высоких температурах (йТ» йв) средняя энергия стремится к значению, определяемому классической статисти. кой Максвелла — Больцмана: (Е) ж йТ, В качестве важного свойства квантового осциллятора в тер- модинамическом равновесии отметим следующую теорему Блоха. Т е о р е м а.
Распределение вероятности заданной комбинации ад+()р координаты и иглпульса аьсражается законом Гаусса, Чтобы доказать вту теорему, вычислим характеристическую функцию <р($) етого распределения. Функцня <р($), по определению, есть среднее зна- чение ехр [ьК(ач + Рр)1: 4 и, тнрмодинлмичнскон рлвновноив 431 где . !!3 у = ! — ) (а — ииы()).
~, 26гы Согласно тождеству (29) гй(еетВР! !1(тает'ат) Ейттт'!т !1таамт*ат откуда д (5) = еь Ут б(п ) е~йт~емт е ~ и) разлагая в ряд экспоненты и учитывая соотношение (20), получаем ит.т с у(п+т)! 'тн ((йу*)', +, г-о С з-о у, щ 1'тт'!з Т~ ( — еьеуу*)' (и + з)! (з!)' ' и! з о (55) Обозначим ,-а !ьт (55) В представлении (Л!) оператор р днагонален и и-й элемент его матрицы равен ,-("4) Ф р„— (и ! р ! и) = = (! — у) у", г( — ') (57) Из уравнений (53-57) находим (Ц ~э~ р у (5) (! у) -же~ х~~» (и+ з)! и 0 и ох=о Вта двойщая сумма может быть вычислена точно.
Суммирование по и производится с помощью разложения в ряд ! ~ч (а+я)! я (! у) ь! ~ з!и! у е-о ра=е-"" ~ —,', ( —,„) -ехр~х (, ' ф)~. з В скалярном произведении этих двух векторов недиагональные члены (з !ь !) двойной суммы все равны нулю по условиям ортогональности, так что остается ГЛ. ХИ. ГАРМОИИЧЕСКИИ ОСПИЛЛЯТОР 482 Учитывая определения х и у, это можно записать в виде е 2 2 (58) где н=тт'с!Ь ( — ).
(59) Поскольку характернстичесная функция распределения является гауссовоа, само распределение также выражается законом Гаусса: это распределение со средним квадратичным отклонением о, что и требовалось доказать. Раздел !!!. ИЗОТРОПНЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСНИЛЛЯТОРЫ й 13. Общее исследование изотропного осниллятора в р измерениях Гармонический изотропный осциллятор в р измерениях есть р-мерная система с гамильтоннаном (60) где Зв = — (рз+ т'взс)2) (6! ) Пусть Ж2 — пространство динамических состояний, относящееся к паре переменных (рису!), Ют — пространство состояний, относящееся к паре (рз, 2)2) и т.
д, Пространство о динамических состояний рассматриваемой системы есть тензорное произведение пространств д'и Жз, ..., д'р: (62) П1П2 Пр) ! П|) ! П2) ! Пр) (63) (П! Оч 1 оо Пз 0 1 оо ! Пр 0 1 оо) образованные тензорным умножением векторов, принадлежащих соответственно пространствам Жи 8'2, ..., д'р, образу!о! Обозначим с помощью )п;) (! фиксировано, п2 = О, 1, ..., со) собственные векторы гамильтониана Явь рассматриваемого как оператор в пространстве д'н эти векторы образуют полную ортонормироваиную систему в д'ь В дальнейшем будем предполагатьь что фазы векторов выбраны так, что выполняются соотношения (17 — 20), где операторы рождения и уничтожения относятся к переменным типа 6 Векторы и!и изотроииыи ОСПИЛЛЯТОР В р ИзмерииИЯХ 433 полную ортоиормированную систему в Ю а). ясно, что эти векторы являются собственными векторами М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
