1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Х! КУЛО!ЮВСКОГ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ где к и а определг!ются уравнениями (6) и (8) соответственно, Ъгравнеиие (4) эквивалентно уравнению [ ао 1(1+ 1) э 11 ах! х' х 42 + — |у!= 9 где у! — решение, пропорциональное хг+! в окрестности начала координат. При очень больших х зто решение растет экспоненциально, за исключением ряда дискретных значений т, при которых оно ведет себя как ехр( — х!2). Наша цель состоит в определении этих особых значений т и соответствующих собственных функций. Будем искать решение уравнения в виде у — х!.!.!а-х!2о (х) что дает ~х — „, + (21+ 2 — х) — „— (1+ 1 — о)~ о! = 9, (12) Это дифференциальное уравнение есть уравнение Лапласа (см.
Дополнение Б, $ 1). Рно имеет, с точностью до постоянного множителя, только одно решение, конечное в начале координат; все остальные решения имеют сннгулярность типа (11х)2'+'. Указанное регулярное решение представляется вырожденной гипергеометрической функцией Р (1 + 1 — т, 21 + 2; х) = — Х Г(1+ 1+ р — т! (21+ 1)! хР Г(!+ ! — т) (21+ 1+ р)! р! 13 р-з Чтобы доказать это, будем искать решенне уравнення (12) в виде ряда Тейлора вблизи качала коордннат: о (х) 1 + а,х + а х' + ... + а хР + Подставляя это разлогкенпе в уравнение (12) к прнравннвая нулю коэффнцненты прн степенях х в левой части уравнсння, находнм (21 + 2) а! = (1 + 1 — т), 2 (2!+ З) а = (1+ 2 — э! аь р (21+ ! + р) ар —— (1+ р — т) ар откуда получаем (р+1 — т)(р — ! + ! — т) ...
(1+1 — т) 1 (р+21+1)(р=!+21+1) ., (!+21+1) р! ' следовательно, ар действительно является коэффнцненточ прн хр в гнпергеометрическом ряде (13). В общем случае ряд (13) является бесконечным и при х-ь со ведет себя как х ' ' е" (уравнения (Б.9 — 11)), Поэтому у, в % з. спектР энеРГии. иыРождеиие асимптотической области ведет себя как х-техгх и задача на собственные значения не имеет решения. Однако при некоторых особых значениях т коэффициенты ряда, начиная с некоторого, обращаются в нуль, и гипергеометрический ряд сводится к полиному. Для этого необходимо, чтобы 1 + ! — т было равно целому отрицательному числу или нулю, т. е. и=в=1+ 1+а' (и'=О, 1, 2, ..., со). (14) В этом случае гипергеомстрический ряд сводится к полиному степени и', радиальная функция при х †.. оо ведет себя как хле-ых и решение уравнения Шредингера оказывается приемлемым в качестве собственного решения.
Условие квантования (14) дает уровни энергии связанных состояний с моментом импульса (1пт). Каждый из пих определяется значением целого числа и'. Волновая функция соответствующего связанного состояния (не нормированная) строится с помощью радиального решения г+г -хгг тхч л'1(21+ 1)! ( — х)Р дл (л' — Р)1(21+ 1+ Р)! Р! р-е (15) Полипом степени и' в правой части этого равенства, есть (сточностью до постоянного множителя) обобщенный полипом Лагерра Ь„(е'(х), определение которого и основные свойства приводятся в дополнении Б ($ 2).
й 5. Спектр энергии. Вырождение Заменяя в равенстве (!4) параметр т его выражением (10), находим спектр энергии состояний с моментом импульса 1: г' ез 'Хе тса ~ы'= (Д ) ЕО 1 1 1 Р (16) причем радиальное квантовое число и' равно числу узлов радиальной части волновой функции.
Спектр содержит бесконечное счетное множество уровней, так как число п' может принимать все целые значения от О до + оо. Когда п'-Р оо, уровни становятся все более близкими друг другу и в пределе стремятся к значению Е = О, с которого начинается непрерывный спектр. Это обстоятельство характерно для потенциалов с больщим радиусом действия. Напротив, короткодействующие потенциалы, например, типа прямоугольной потенциальной нмы, приводят к конечному числу связанных состояний (а иногда н к полному отсутствию их). Можно показать в самом общем случае, что множество уровней энергии является бесконещым счетныи (с гл х1 кнлоновскон взлпмодвиствив точкой накопления Е = О), если потенциал, будучи отрицательным, асимптотически стремится к нулю медленней функции 1уг', гав — ь — оо г.ь н ато множество конечно нлн, может быть, пусто, если потенциал асимптоти.
чески стремится к нулю быстрее 1/г'. Объединение спектров, относящихся к различным возможным значениям 1= О, 1, 2, ..., оо, дает полный спектр атома водорода согласно теории Шредингера. Полный спектр, таким образом, образуется последовательностью чисел Еы„ определенных-уравнением (16), причем 1 и и' могут принимать все целые неотрицательные значения. Замечаем, что значения энергии зависят, в действительности, от суммы 1 + п', или, что то же самое, от «главного квантового числа» и=1+а'+ 1.
Имеем При каждом значении энергии Е„, т. е. при каждом значении главного квантового числа и, момент импульса 1 может принимать все целые значения от О до и — 1. Поэтому вырождение уровня Е, имеет кратность я-1 х„(21+ 1) = и (и — 1) + а = и' с-е Подпространство собственных функций с числом измерений аа натянуто на и' функций, каждая из которых соответствует определенному состоянию момента импульса (1т); при этом «азимутальное квантовое число» 1 может принимать а значений 1 = О, 1, 2, ..., а — 1, а «магнитное квантовое число» вЂ (21 + 1) значений т= — 1, — 1+1, ..., +1.
По спектроскопической традиции различные собственные значения энергии обозначаются целым положительным числом и и сопровождающей буквой (з, р, с(, 1, д, ...), указывающей на значение 1 в соответствии с принятым соглашением, о котором мы говорили в предшествующей главе; квантовое число т, указывающее на ориентацию системы, опускается. Так, основное состояние есть состояние 1г. Первое возбужденное состояние четырехкратно вырождено и включает одно состояние 2г и трп состояния 2р; второе возбужденное состояние девятикратно вы- 4 а сОБстВенные Функции сВязАнных сОстОянии 4о1 рождено и включает одно состояние Зз, три состояния Зр и пять состояний 3~( и т. д.
(рис. 36). Этот спектр совпадает с тем, который предсказывала старая квантовая теория; мы уже указывали на замечательное совпадение этого результата с экспериментальными данными. Настоящая теория хорошо предсказывает расположение спектральных линий, но не может объяснить тонкую структуру спектра, Недостаток теории в том, что она нерелятивистская. Релятивистские эффекты в определении положения уровней оказываются порядка оа/са, т, е.
примерно Е„/глса: релятивистские поправки Рис. 36. Спектр атома водорода. должны быть порядка 10-' — 10 а. С другой стороны, теория Шредингера не учитывает спин электрона, т. е. внутреннюю степень свободы электрона, не имеющую классического аналога— этот вопрос будет обсуждаться в гл. Х!11 (т. Н). К анализу тон кой структуры спектра атома водорода мы вернемся в гл. ХХ (т.
П) при изложении основ релятивистской квантовой механики электрона. й 8. Собственные функции связанных состояний Собственные функции, принадлежащие уровню энергии Е„, являются линейными комбинациями па линейно независимых функций. Результаты 5 4 лают нам па собственных ортогональных функций, принадлежащи» заданным значениям момента Гл. хь кулоиоэское Взхимодеистаие ооз импульса. Так, волновая функция квантового состояния (и/ги) записывается в виде р„,. = — иж,цр„, ( — '" ) УГ (8, р), (18) где /г„,(х) = х е "'/.„~ ~ (х), (18') а Ж„~ — постоянная нормировки.
Норму ~р,~ можно вычислить, воспользовавшись производяшей функцией полиномов Лагерра (Б.15). Норма будет равна 1, если взять 2 / (и — ( — ()! /" ы ао 'т/ 1(и 1 (Р)з Поучительно найти средние значения последовательных степеней г в квантовом состоянии (ийи). Мы не будем здесь производить подробных вычислений (задача 1), результаты даны в дополнении Б, $ 3. В частности, имеем (18") ( )„, = — (3~' — 1(1 + 1)). (19) Следовательно, электрон в среднем находится тем дальше от протона, чем больше п.
Для основного состояния находим (г)м —— За/2 в согласии с грубой оценкой 3 3. Когда 1 принимает свое наибольшее значение и†1, волновая функция имеет особенно простой вид: это есть произведение УГ(8, ~р) на радиальную функцию ((2 ) )-"( — ')"'( — ')" ' —- Среднее значение г в этом состоянии равно (г)= — ( — ) ~ ( )" е-огмагзй'=и(гп+ — ) а о в согласии с обшей формулой, приведенной выше. Аналогичное вычисление дает: (г') = и' (п + 1/2) (и + 1) а', ь =~тл — (г — "'~г2 .).1= 2 .т/за+ 1 При очень больших значениях и величина Аг/(г) становится малой, так что электрон оказывается практически локализованным вблизи сферы радиуса и'а, в то время как энергия уровня откуда получаем выражение для радиального среднего квадра- тичного отклонения: 9 т.
кулоноаскдя Функция РАссвяния 4ОЗ Р аз д ел П. КУЛОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ В 7. Кулоновская функция рассеяния После отделения движения центра масс уравнение Шредингера задачи о рассеянии двух частиц, взаимодействующих по закону Кулона, записывается, следуя обозначениям $ 1, в виде ~ — — Л+ ' ' 1тр(~)=Ерр(~), (20) где Š— энергия в системе центра масс. Эффективное сечейие рассеяния связывается с асимптотическим поведением собствен- ных функций положительной энергии уравнения (20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
